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      折疊問題中的特殊三角形

      2022-05-27 02:34:43黃曉曉
      初中生世界·九年級(jí) 2022年4期
      關(guān)鍵詞:等腰三角紙片原題

      黃曉曉

      折疊問題是中考的熱點(diǎn)問題,也是難點(diǎn)問題。有的同學(xué)常常因?yàn)檎也坏浇鉀Q問題的切入點(diǎn),給解題帶來了不少麻煩。如何能夠一眼識(shí)別基本圖形,快速解決問題?這就需要利用好我們身邊的教材。

      原題呈現(xiàn) (蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第63頁習(xí)題)如圖1,在一張長方形紙片上任意畫一條線段AB,將紙片沿線段AB折疊(如圖2),重疊部分的△ABC是等腰三角形嗎?試說明理由。

      聽一聽:“怎么做?”

      要證△ABC是等腰三角形,即證明其中兩邊相等,而要證兩邊相等,只需證明兩角相等即可。

      解:△ABC是等腰三角形。

      理由:由折疊的性質(zhì)可知∠BAD=∠BAC。

      ∵BC∥AD,

      ∴∠CBA=∠BAD,

      ∴∠CBA=∠BAC,

      ∴CA=CB,

      ∴△ABC為等腰三角形。

      想一想:“為什么這樣做?”

      一方面,數(shù)學(xué)習(xí)題是由教材上有限的知識(shí)通過遷移綜合得到的,因此,相關(guān)的知識(shí)源是解決問題的關(guān)鍵。追溯教材,我們發(fā)現(xiàn),與等腰三角形有關(guān)的知識(shí)源主要有“軸對(duì)稱性質(zhì)”“全等三角形”“方程”等。

      另一方面,根據(jù)隱含條件,我們?nèi)菀撞孪搿鰽BC為等腰三角形。而要證明等腰三角形,只要證明兩邊相等或兩角相等。本題要抓住題干中的隱含條件,尋找等腰三角形的判定條件。長方形給出兩邊平行的條件,可以得到兩角相等;折疊前后的圖形是全等的,抓住折疊中的不變量,發(fā)現(xiàn)兩角相等,最后利用等量代換得以證明。

      說一說:“策略是什么?”

      教材原題是通過折疊、平行兩個(gè)隱含條件找到兩角相等,證明兩邊相等,從而證明等腰三角形,由此,我們可以得到一個(gè)常用的數(shù)學(xué)結(jié)論:平行+平分=等腰。解決折疊問題,除了根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)外,還要能綜合利用數(shù)學(xué)模型及相關(guān)方法來解答。

      變式 操作與實(shí)踐:已知長方形紙片ABCD中,AD=3,AB=4。

      操作一:如圖3,任意畫一條線段EF,將紙片沿EF折疊,使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置,EB′與CD交于點(diǎn)G。試說明重疊部分△EFG為等腰三角形。

      操作二:如圖4,將紙片沿對(duì)角線AC折疊,使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置,AB′與CD交于點(diǎn)H。求△B′HC的周長。

      【解析】操作一的證明過程同教材原題。這里,我們看一下操作二的解法。

      操作二:先證明△ADH≌△CB′H,從而得到DH=HB′,然后將△B′HC的周長轉(zhuǎn)化為B′C與DC的和即可。

      ∵四邊形ABCD為矩形,

      ∴AD=BC。

      由翻折的性質(zhì)可得BC=CB′,

      ∠B′=∠B=90°,

      ∴AD=CB′,∠D=∠B′。

      在△ADH和△CB′H中,

      [∠DHA=∠B′HC,∠D=∠B′,AD=B′C,]

      ∴△ADH≌△CB′H(AAS),

      ∴B′H=DH,

      ∴△B′HC的周長=B′C+B′H+HC=BC

      +DH+HC=7。

      【點(diǎn)評(píng)】操作一同教材原題。操作二,改折痕的位置為矩形對(duì)角線。在解決操作二時(shí),我們可以利用“平行+平分=等腰”這個(gè)結(jié)論給出三角形全等的一個(gè)條件B′H=DH,這是解題的突破口。操作二還可以得到一個(gè)結(jié)論:△ADH周長=△CB′H周長=矩形ABCD周長的一半。

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