擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型下保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略選擇博弈

林 祥, 朱冠霞, 錢藝平

(浙江工商大學(xué)金融學(xué)院，杭州 310018)

0 引言

再保險(xiǎn)合約是在原保險(xiǎn)合約上的保險(xiǎn)合約，是再保險(xiǎn)公司與保險(xiǎn)公司之間的保險(xiǎn)合約，是保險(xiǎn)公司分散經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)，控制保險(xiǎn)責(zé)任，擴(kuò)大承保能力的重要手段。保險(xiǎn)公司是與投保人簽訂保險(xiǎn)合約的保險(xiǎn)人，再保險(xiǎn)公司是與保險(xiǎn)公司簽訂分保合同的保險(xiǎn)人。當(dāng)投保人與保險(xiǎn)公司簽訂保險(xiǎn)合約，保險(xiǎn)合約的期望收益已經(jīng)確定。因此，在保險(xiǎn)公司向再保險(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)時(shí)，在承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)和獲得收益之間有一個(gè)替換，存在著價(jià)格和需求之間的一個(gè)博弈。若再保險(xiǎn)價(jià)格太高，保險(xiǎn)公司將購買少量的再保險(xiǎn)或者不購買再保險(xiǎn)，自己承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，獲得收益。若再保險(xiǎn)價(jià)格太低，則再保險(xiǎn)公司不愿意提供再保險(xiǎn)合約。

Borch[1]研究了兩家保險(xiǎn)公司通過談判達(dá)成一個(gè)互惠再保險(xiǎn)合約問題，利用博弈理論得到兩家保險(xiǎn)公司合作對(duì)策的互惠再保險(xiǎn)合約。Borch[2]和Arrow[3]給出了再保險(xiǎn)市場(chǎng)模型和市場(chǎng)均衡的價(jià)格，但這是一個(gè)靜態(tài)模型。隨后，有大量的文獻(xiàn)研究了使得期望終端財(cái)富效用最大化或破產(chǎn)概率最小化的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略選擇問題，具體見文獻(xiàn)[4–10]。也有大量文獻(xiàn)研究在各種風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度下的最優(yōu)再保險(xiǎn)問題，Cai 和Tan[11]使用保險(xiǎn)公司總成本的在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)和條件期望尾部值(CTE)作為最優(yōu)化目標(biāo)，得到停止損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)自留額。Chi 和Tan[12]通過對(duì)保險(xiǎn)公司在VaR 和條件在險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)標(biāo)準(zhǔn)下的總風(fēng)險(xiǎn)暴露最小化，研究了兩類最優(yōu)再保險(xiǎn)模型。Zhou 等[13]通過控制定額分擔(dān)和停止損失再保險(xiǎn)策略，考慮了使得保險(xiǎn)公司自留風(fēng)險(xiǎn)的VaR 和CTE 測(cè)度最小化問題。Cui 等[14]在一般保費(fèi)原理下，利用扭曲測(cè)度研究了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)問題，得到最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的顯示解。Bensoussan 等[15]、Pun 和Wong[16]、Chen 等[17]、Deng 等[18]研 究 兩 個(gè) 競(jìng) 爭 保 險(xiǎn) 公司之間的非零和再保險(xiǎn)和投資隨機(jī)微分博弈問題。但這些文獻(xiàn)都站在保險(xiǎn)公司的角度，僅僅考慮保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略選擇。

也有一些文獻(xiàn)從再保險(xiǎn)公司的角度，研究再保費(fèi)定價(jià)和最優(yōu)再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問題。Suijs 等[19]把再保險(xiǎn)策略選擇問題轉(zhuǎn)化成保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的具有隨機(jī)損益的合作博弈問題。Jean-Baptiste 和Santomero[20]考慮了非對(duì)稱信息下保險(xiǎn)者和再保險(xiǎn)者通過再保險(xiǎn)分散風(fēng)險(xiǎn)問題，得到信息對(duì)風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)和再保險(xiǎn)保費(fèi)定價(jià)的影響。Zeng 和Luo[21]通過把再保險(xiǎn)轉(zhuǎn)化為連續(xù)時(shí)間隨機(jī)合作博弈問題，利用隨機(jī)控制原理得到Pareto 最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為停止損失再保險(xiǎn)或比例再保險(xiǎn)，依賴于保費(fèi)原理的選擇。Boonen 等[22]研究了再保險(xiǎn)合約的價(jià)格，與無差別定價(jià)相比，保險(xiǎn)者和再保險(xiǎn)者通過討價(jià)還價(jià)，從再保險(xiǎn)中獲得收益。Hu 等[23]在保險(xiǎn)者或再保險(xiǎn)者索賠過程模型不確定下，從委托-代理框架考慮了連續(xù)時(shí)間再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)問題，得到最優(yōu)再保險(xiǎn)合約的顯示表達(dá)式。王愫新等[24]同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問題，且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格服從Heston 隨機(jī)方差模型，在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司終端期望財(cái)富效用最大化目標(biāo)下，得到了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略，以及值函數(shù)的顯示表達(dá)式。王愫新和榮喜民[25]用帶漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng)來描述賠付過程，保險(xiǎn)公司可以向再保險(xiǎn)公司購買比例再保險(xiǎn)，并都能投資于金融市場(chǎng)，得到保險(xiǎn)公司的最優(yōu)分保和投資策略，以及再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保和投資策略的顯示解。Chen 和Shen[26]在期望財(cái)富效用最大化下，考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的隨機(jī)leader-follower 比例再保險(xiǎn)博弈問題，在指數(shù)效用函數(shù)下，得到了再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi)，保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留額，以及保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司值函數(shù)的顯示表達(dá)式。Hu 等[27]在再保險(xiǎn)公司索賠強(qiáng)度不確定下，從委托-代理框架考慮了連續(xù)時(shí)間比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)合約選擇問題，在指數(shù)效用函數(shù)下，得到最優(yōu)再保險(xiǎn)合約的顯示表達(dá)式。

在實(shí)際再保險(xiǎn)市場(chǎng)，保險(xiǎn)公司可以選擇分?；虿环直?，同時(shí)，再保險(xiǎn)公司也可以承保或不承保，以及承保的數(shù)量，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司關(guān)于再保險(xiǎn)之間存在著一個(gè)博弈。對(duì)比已有文獻(xiàn)的研究，本文的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。首先，本文在同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司利益條件下，根據(jù)博弈主導(dǎo)者的不同建立了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的三種再保險(xiǎn)策略選擇博弈模型?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)再保險(xiǎn)合約的研究，要么站在保險(xiǎn)公司的角度，要么站在再保險(xiǎn)公司的角度，或僅僅考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo)情形。其次，在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都具有指數(shù)效用下，得到了三種博弈情形下比例再保險(xiǎn)合約能夠成交的條件。這些新的結(jié)果對(duì)保險(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)公司承保有重要的指導(dǎo)意義，同時(shí)也為再保險(xiǎn)合約設(shè)計(jì)提供參考。最后，分析了再保險(xiǎn)合約，以及保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系。現(xiàn)有文獻(xiàn)并沒有考慮效用損益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系，這些結(jié)果有助于更好地理解再保險(xiǎn)合約的選擇和設(shè)計(jì)，完善再保險(xiǎn)策略選擇理論。

1 模型

1.1 盈余過程

為了更好地理解擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，首先給出經(jīng)典的Cramer-Lundberg 風(fēng)險(xiǎn)模型

假設(shè)保險(xiǎn)公司通過購買再保險(xiǎn)來控制自己的風(fēng)險(xiǎn)水平，對(duì)每一次賠付，假設(shè)保險(xiǎn)公司購買的比例再保險(xiǎn)水平為1?a，其中a稱為風(fēng)險(xiǎn)暴露，即為保險(xiǎn)公司的自留風(fēng)險(xiǎn)比例。同時(shí)保險(xiǎn)公司要支付部分保費(fèi)給再保險(xiǎn)公司，假設(shè)η為再保險(xiǎn)公司所要求的單位時(shí)間的保費(fèi)收入，則再保險(xiǎn)保費(fèi)為(1?a)η，且η ≥μ。在保險(xiǎn)公司自留比例為a時(shí)，保險(xiǎn)公司的盈余過程為

如果自留額a滿足0≤a ≤1，則稱a是可行再保險(xiǎn)策略。所有的可行再保險(xiǎn)策略組成的集合記為Π1。假設(shè)再保險(xiǎn)公司自身并沒有參與其它的保險(xiǎn)活動(dòng)，其收入來源完全由再保險(xiǎn)保費(fèi)構(gòu)成，則再保險(xiǎn)公司承保后的盈余過程為

其中y0≥0 是再保險(xiǎn)公司的初始盈余，(1?a)為再保險(xiǎn)公司的分入比例。如果分入比例1?a滿足0≤1?a ≤1，則稱1?a是可行分入策略。所有的可行分入策略組成的集合記為Π2。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

若保險(xiǎn)公司不分保，則保險(xiǎn)公司在T時(shí)刻的期望盈余效用為

在實(shí)際再保險(xiǎn)市場(chǎng)，保險(xiǎn)公司可以選擇分保或不分保，同時(shí)，再保險(xiǎn)公司也可以承?；虿怀斜＃约俺斜５臄?shù)量，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間關(guān)于再保險(xiǎn)存在著一個(gè)博弈。假設(shè)保險(xiǎn)公司以期望盈余效用增加作為分保的條件，再保險(xiǎn)公司也以期望盈余效用增加作為承保的依據(jù)。一個(gè)合理的再保險(xiǎn)合約應(yīng)該同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的利益，雙方的期望終端盈余效用都要增加，再保險(xiǎn)合約才能成交。由于保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司所處主體地位的不同，需要考慮誰是博弈的主導(dǎo)者，故對(duì)應(yīng)以下三種情形：

(i) 保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)。保險(xiǎn)公司決定再保險(xiǎn)保費(fèi)和購買比例再保險(xiǎn)的數(shù)量，再保險(xiǎn)公司只能根據(jù)再保險(xiǎn)保費(fèi)決定是否承保此數(shù)量再保險(xiǎn)。保險(xiǎn)公司選擇可行比例再保險(xiǎn)策略a?，使得

保險(xiǎn)公司決定購買此再保險(xiǎn)時(shí)再保費(fèi)應(yīng)滿足

如果保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司具有一般的效用函數(shù)，那么要判斷三種博弈情形下解的存在唯一性是比較困難的，即使三種博弈情形下存在解，要得到其解的顯示表達(dá)式也是十分困難的。

2 CARA 效用保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司

2.1 保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

下面，在保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)下，考慮保險(xiǎn)公司的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略和再保險(xiǎn)公司的承保條件。

推論1 如果再保費(fèi)滿足η<α1σ2，則有V1(t,x)> ˉV1(t,x)，即保險(xiǎn)公司選擇最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略能夠提高保險(xiǎn)公司的期望盈余效用。

證明 由(17)和(20)，可得

2.2 保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo)

下面，在保險(xiǎn)公司決定購買再保險(xiǎn)比例，再保險(xiǎn)公司決定再保費(fèi)下，考慮再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保費(fèi)和保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略。

定理3 在指數(shù)效用函數(shù)下，保險(xiǎn)公司的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略為

2.3 再保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

下面，在再保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)，考慮再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保比例和保險(xiǎn)公司購買該再保險(xiǎn)的條件。

定理4 假設(shè)再保險(xiǎn)公司具有指數(shù)效用函數(shù)，則再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保比例為

注2 在三種博弈情形下，我們得到的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略和再保費(fèi)都是常數(shù)，但特別注意最優(yōu)再保險(xiǎn)策略和再保費(fèi)都是依賴于索賠大小和索賠強(qiáng)度，這是基本符合實(shí)際的。因?yàn)闆]有考慮投資，所以最優(yōu)再保險(xiǎn)策略是常數(shù)，不隨時(shí)間的變化而變化。不考慮投資，是因?yàn)閱为?dú)考慮再保險(xiǎn)有利于更好地探討在不同的情形下再保險(xiǎn)合約能夠成交的條件，以及再保險(xiǎn)合約對(duì)保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司效用損益的影響。

3 結(jié)果比較與靈敏性分析

下面分別考慮三種博弈情況下最優(yōu)再保險(xiǎn)合約與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系，并通過數(shù)值計(jì)算得到保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系。

由于V1(t,x)<0 和ˉV1(t,x)<0，定義

為保險(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)后對(duì)應(yīng)的效用損益。若L1(T)> 0，則表示保險(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)后終端期望盈余效用會(huì)增加，即保險(xiǎn)公司有效用收益，L1(T)的大小為保險(xiǎn)公司效用增加百分比；L1(T)< 0 表示保險(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)后終端期望盈余效用會(huì)減少，即保險(xiǎn)公司有效用損失，L1(T)的大小為保險(xiǎn)公司效用損失百分比。同樣的，定義

為再保險(xiǎn)公司選擇承保后對(duì)應(yīng)的效用損益。若L2(T)> 0，則表示再保險(xiǎn)公司承保后有效用收益；若L2(T)< 0，則表示再保險(xiǎn)公司承保后有效用損失。如果L1(T)>0 且L2(T)> 0，則再保險(xiǎn)合約可以成交；否則，至少一方有效用損失，再保險(xiǎn)合約不能成交。

除非特別說明，各模型參數(shù)取值如表1 所示。

表1 數(shù)值例子中的各個(gè)模型參數(shù)值

3.1 保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

由定理1 中的(19)，得下面的推論。

推論4 保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留比例a?是α1的減函數(shù)，a?是η的增函數(shù)，a?是σ的減函數(shù)。

由于α1為保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，α1越大，保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，所以保險(xiǎn)公司愿意分出更多的風(fēng)險(xiǎn)，自留比例越小。因?yàn)棣菫樵俦ＹM(fèi)，η越大，表明再保險(xiǎn)成本越高，故保險(xiǎn)公司自留更多風(fēng)險(xiǎn)。由于σ是保險(xiǎn)公司的賠付大小，σ越大，保險(xiǎn)公司面臨的賠付風(fēng)險(xiǎn)越大，所以保險(xiǎn)公司自留更少的風(fēng)險(xiǎn)。

圖1 給出保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與再保費(fèi)η之間的關(guān)系。由圖1 可知，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都有效用收益，即在此再保費(fèi)下，保險(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)公司承保都能提高其效用，再保險(xiǎn)合約是可以成交的。保險(xiǎn)公司的效用收益L1(T)隨著再保費(fèi)η的增加而減少，因?yàn)棣窃酱?，再保險(xiǎn)成本越高，購買再保險(xiǎn)需要花費(fèi)更多財(cái)富，導(dǎo)致期望盈余效用減少。再保險(xiǎn)公司的效用收益L2(T)是再保費(fèi)η的先增后減函數(shù)，這與直觀的再保費(fèi)越高，再保險(xiǎn)公司承保收取更多的保費(fèi)，再保險(xiǎn)公司具有更多的財(cái)富，從而期望盈余效用越大不一致。因?yàn)榈谝环矫妫俦ＹM(fèi)越高，再保險(xiǎn)公司承保收取更多的保費(fèi)導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司盈余增加；第二方面，再保費(fèi)越高，再保險(xiǎn)成本越高，保險(xiǎn)公司購買更少的再保險(xiǎn)導(dǎo)致再保險(xiǎn)公司盈余減少。當(dāng)再保費(fèi)較小時(shí)，第一方面占主導(dǎo)，因此再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著再保費(fèi)的增加而增加；當(dāng)再保費(fèi)較大時(shí)，第二方面占主導(dǎo)，因此再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著再保費(fèi)的增加而減小。

圖1 效用損益與η 之間的關(guān)系

圖2 給出保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α1之間的關(guān)系。由圖2 可知，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都有效用收益，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用收益都隨著α1的增加而增加。因?yàn)棣?為保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，α1越大，保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)需要更多的補(bǔ)償，導(dǎo)致效用收益增加。從圖2 還可以發(fā)現(xiàn)，α1對(duì)保險(xiǎn)公司的效用收益L1(T)影響敏感，對(duì)再保險(xiǎn)公司的效用收益L2(T)影響不敏感。因?yàn)棣?為保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，直接影響保險(xiǎn)公司的效用收益，而對(duì)再保險(xiǎn)公司效用收益的影響是通過再保費(fèi)傳導(dǎo)過來。因此，α1對(duì)再保險(xiǎn)公司的效用收益影響沒有對(duì)保險(xiǎn)公司的效用收益的影響敏感。

圖2 效用損益與α1 之間的關(guān)系

3.2 保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司共同主導(dǎo)

推論5 再保險(xiǎn)公司最優(yōu)再保費(fèi)η?是σ和α2的增函數(shù)，保險(xiǎn)公司最優(yōu)自留額?a?是α2的增函數(shù)。

所以?a?隨著α2的增大而增大。

由于σ越大，再保險(xiǎn)公司承保面臨的賠付風(fēng)險(xiǎn)越大，所以再保險(xiǎn)公司要求更多的再保費(fèi)。由于α2為再保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，α2越大，再保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，所以再保險(xiǎn)公司承保需要更多的再保費(fèi)，同時(shí)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn)成本越高，故保險(xiǎn)公司自留更多的風(fēng)險(xiǎn)。

由推論2 可知

圖3 給出保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α1之間的關(guān)系。由圖3 可知，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都有效用收益，再保險(xiǎn)合約是可以成交的。保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用收益都隨著α1的增加而增加，并且再保險(xiǎn)公司的效用收益大于保險(xiǎn)公司的效用收益。

圖3 效用損益與α1 之間的關(guān)系

圖4 給出保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與再保險(xiǎn)公司的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α2之間的關(guān)系。由圖4 可知，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都有效用收益。同時(shí)，由圖4 可知，保險(xiǎn)公司的效用收益隨著α2的增加而減小，而再保險(xiǎn)公司的效用收益是α2的增函數(shù)。由推論5 可知，再保費(fèi)和保險(xiǎn)公司的最優(yōu)自留額都是α2的增函數(shù)。因此，隨著再保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加，再保險(xiǎn)公司承保收取更多的再保費(fèi)，導(dǎo)致保險(xiǎn)公司的期望盈余效用減小，再保險(xiǎn)公司的期望盈余效用增加。

圖4 效用損益與α2 之間的關(guān)系

3.3 再保險(xiǎn)公司占主導(dǎo)

由定理4 中的(38)，易得下面的推論。

推論6 再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)承保比例1?a?是σ和α2的減函數(shù)，是η的增函數(shù)。

由于σ越大，再保險(xiǎn)公司承保面臨的賠付風(fēng)險(xiǎn)越大，因此再保險(xiǎn)公司承保更少的再保險(xiǎn)。由于α2為再保險(xiǎn)公司絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，α2越大，再保險(xiǎn)公司越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，所以再保險(xiǎn)公司只愿意承擔(dān)更少的風(fēng)險(xiǎn)，承保比例越小。因?yàn)棣菫樵俦ｋU(xiǎn)公司的再保費(fèi)，η越大，表明承保能獲得更多的收益，故再保險(xiǎn)公司承保更多的風(fēng)險(xiǎn)。

圖5 給出保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與再保費(fèi)η之間的關(guān)系。由圖5 可知，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都有效用收益。再保險(xiǎn)公司的效用收益隨著再保費(fèi)η的增加而增加，因?yàn)棣窃酱螅斜Ｄ塬@得更多的收益，所以再保險(xiǎn)公司的效用收益會(huì)增加。保險(xiǎn)公司的效用收益是再保費(fèi)η的先增后減函數(shù)。因?yàn)樵俦ｋU(xiǎn)公司決定承保比例，第一方面，再保費(fèi)越高，再保險(xiǎn)成本越高，購買再保險(xiǎn)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司盈余減少；第二方面，再保費(fèi)越高，再保險(xiǎn)公司承保比例越高，保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)在減小，導(dǎo)致保險(xiǎn)公司盈余會(huì)增加。當(dāng)再保費(fèi)較小時(shí)，第二方面占主導(dǎo)，因此保險(xiǎn)公司的效用收益會(huì)增加；當(dāng)再保費(fèi)較大時(shí)，第一方面占主導(dǎo)，因此保險(xiǎn)公司的效用收益會(huì)減小。

圖5 效用損益與η 之間的關(guān)系

圖6 給出保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的效用損益與σ之間的關(guān)系。由圖6 可知，保險(xiǎn)公司的效用收益隨著σ的增加而增加，而再保險(xiǎn)公司的效用收益是σ的減函數(shù)。因?yàn)樵俦ｋU(xiǎn)公司決定承保比例，σ越大，由(38)可知再保險(xiǎn)公司承保更少的再保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司分出更少的保費(fèi)，所以保險(xiǎn)公司的效用收益會(huì)增加，再保險(xiǎn)公司的效用收益會(huì)減少。

4 結(jié)論

本文在擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型下考慮了保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的再保險(xiǎn)策略選擇博弈問題。在保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都具有指數(shù)效用函數(shù)條件下，得到了三種博弈情形下保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司之間的再保險(xiǎn)策略的顯示解，以及再保險(xiǎn)合約能夠成交時(shí)再保費(fèi)滿足的條件。通過數(shù)值計(jì)算得到效用損益與模型主要參數(shù)之間的關(guān)系，并給出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)分析。

本文僅僅考慮在三種博弈情形下再保險(xiǎn)合約能夠成交的條件，并且再保險(xiǎn)公司沒有參與其它的保險(xiǎn)活動(dòng)，其收入來源完全由再保險(xiǎn)保費(fèi)構(gòu)成。在后續(xù)的研究中，將考慮再保險(xiǎn)公司本身具有保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，并將引入投資，即保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司都投資于金融市場(chǎng)，并且金融市場(chǎng)與保險(xiǎn)市場(chǎng)相關(guān)，探討投資對(duì)再保險(xiǎn)合約成交的影響。