余建剛

一、問題的提出

李政道博士在一次訪問中說(shuō)：“求學(xué)問，先學(xué)問，只學(xué)答，不學(xué)問，非學(xué)問?！逼淞x是“做學(xué)問先要學(xué)‘怎么問，如果在學(xué)校只學(xué)‘如何答，那不是做學(xué)問?！崩钫阑貞浧鹱约涸诿绹?guó)讀研究生時(shí)，其導(dǎo)師、著名物理學(xué)家費(fèi)米每周都要花半天時(shí)間跟他討論，為的就是讓他學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，自己找答案。有一次，費(fèi)米問李政道太陽(yáng)的中心溫度是多少。李政道答道，大概一千萬(wàn)攝氏度吧。費(fèi)米就問：“你有沒有自己演算過(guò)？”李政道說(shuō)：“沒有，因?yàn)橛?jì)算比較復(fù)雜?！辟M(fèi)米告訴他，一定要經(jīng)過(guò)自己的思考和計(jì)算，才能接受別人的結(jié)論。

眾所周知，滾動(dòng)軸承廣泛應(yīng)用于交通運(yùn)輸以及機(jī)械制造工業(yè)等等，大大地減少摩擦力的影響。在高中階段的學(xué)生，尤其是物理尖子生，對(duì)“滾動(dòng)摩擦”非常感興趣，但鑒于高中教材關(guān)于“滾動(dòng)摩擦”的介紹篇幅太小，學(xué)生常會(huì)產(chǎn)生以下困惑。

（1）在無(wú)動(dòng)力條件下，剛性圓柱（球）沿水平面做無(wú)滑滾動(dòng)，為什么會(huì)越轉(zhuǎn)越慢，是克服摩擦力做功？

（2）自行車胎氣不足時(shí)，為什么踩起來(lái)會(huì)費(fèi)力些，主要的影響因素是什么？

（3）“滾動(dòng)”一定比“滑動(dòng)”要省力嗎？

為回答此三問，筆者嘗試從學(xué)生視角出發(fā)，深入剖析問題，挖掘其物理本質(zhì)，希望撥開云霧見“真知”。

二、“滾動(dòng)摩擦”的模型構(gòu)建

在無(wú)動(dòng)力條件下，剛性圓柱（球）沿水平剛性面做無(wú)滑滾動(dòng)，為什么會(huì)越轉(zhuǎn)越慢？對(duì)于這個(gè)問題，不少高中生感到困惑，其原因是模型構(gòu)建出問題。多數(shù)高中生建立的模型受力分析如圖1所示，乍一看，似乎沒問題，剛性圓柱（球）在水平地面上受到重力，地面的支持力和摩擦力，方向均正確。但假如該同學(xué)受力分析正確，那么倘若以圓柱體的軸心為轉(zhuǎn)軸進(jìn)行力矩分析，發(fā)現(xiàn)摩擦力產(chǎn)生的是動(dòng)力矩（如圖1摩擦力矩為順時(shí)針方向），根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=fR=Ic β，得角加速度β>0，又β=，故得出結(jié)論剛性圓柱（球）繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不斷增加。在無(wú)動(dòng)力條件下，圓柱（球）越滾越快，這顯然是荒謬的，那么問題出在哪呢？

究其原因在于剛體只是一個(gè)理想模型，滾動(dòng)物體和地面都不能是絕對(duì)的剛體，在真實(shí)情況中，滾動(dòng)物體和水平面都可能發(fā)生形變，而滾動(dòng)過(guò)程可能會(huì)導(dǎo)致支承面形變的不對(duì)稱。為了簡(jiǎn)單，下面我們討論滾動(dòng)物體為剛性、支承面發(fā)生微小形變的情況。

當(dāng)放在支承面上的圓柱（球）靜止時(shí)，支承面由于受到圓柱（球）的壓力而形變，圓柱與平面的接觸處不再是一個(gè)點(diǎn)而變成一個(gè)圓弧面，支承面的變形是對(duì)稱的，如圖2（a）所示，剛性圓柱的接觸面受到圓弧面施加的力N，方向沿豎直向上，即為支持力;支持力N與重力G在同一豎直線上。即靜止時(shí)，支承面作用于剛性圓柱（球）的接觸面上的合力與重力二力平衡。

當(dāng)圓柱（球）質(zhì)心C以速度vc向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于剛性圓柱向前滾動(dòng)，支承面形變不對(duì)稱，接觸處前方的支撐面微小隆起，而使支撐面作用于物體的合彈力N的作用點(diǎn)從最低點(diǎn)向前移，即支承面形變不再對(duì)通過(guò)重心C的豎直線對(duì)稱。這種形變的差異其實(shí)非常微小，圖2（b）所示為“放大”后形變的圖，其“宏觀”形變類似在用搟面杖搟面片時(shí)看到的現(xiàn)象。這時(shí)，支承面對(duì)圓柱的作用力F的等效作用點(diǎn)也會(huì)向前移動(dòng)，且作用力F的方向也不再沿豎直方向而向后傾斜。作用力F的豎直分量可以視為支持力N，水平分量可以視為靜摩擦力f。作用力F對(duì)質(zhì)心形成逆時(shí)針的力矩，使圓柱（球）的角速度減小;水平分量靜摩擦力f使質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度vc減小。角速度ω和質(zhì)心速度vc同步減小，圓柱得以繼續(xù)保持無(wú)滑滾動(dòng)，越滾越慢。

值得一提的，真實(shí)情況是可能地面和圓柱面都同時(shí)發(fā)生形變，或者某一種形變?yōu)橹鲗?dǎo)作用，但共同特征都是支承面對(duì)圓柱（球）的作用點(diǎn)從最低點(diǎn)向前移，彈力N作用點(diǎn)前移，N與重力G不在一條直線上，形成了一個(gè)阻礙滾動(dòng)的力偶矩，這就是實(shí)際情況下的滾動(dòng)摩擦。從能量角度分析，圓柱（球）動(dòng)能之所以減少并不是圓柱（球）克服靜摩擦做功，動(dòng)能之所以耗散是圓柱（球）滾動(dòng)過(guò)程向前擠壓接觸面時(shí)，介質(zhì)的非彈性形變?cè)斐蓹C(jī)械能的耗散。

三、“滾動(dòng)摩擦”的定量分析

上文已回答了本文的第一個(gè)問題，第二個(gè)問題“當(dāng)自行車胎氣不足，為什么踩起來(lái)很費(fèi)力？”我們可以把這個(gè)問題簡(jiǎn)化為使?jié)L輪保持以一定角速度不變持續(xù)滾動(dòng)所需外力大小問題，所需外力大則費(fèi)力。