陳剛

不等式證明問題比較常見，且具有較強的綜合性，常與向量、集合、數(shù)列、函數(shù)等知識相結合，求解此類問題的方法很多，掌握一些常用的證明方法，有助于拓展解題的思路，提升解題的效率．本文主要談一談證明不等式的三種常用方法：比較法、換元法、放縮法．

一、比較法

比較法是證明不等式的常用方法，包括作差比較法和作商比較法．運用比較法證明不等式的步驟為：①根據(jù)不等式的結構特點，將不等式左右兩邊的式子作差或作商；②將差式或商式進行因式分解或配方；③將所得差值與0比較，所得的商式與1比較，比較法的適用范圍廣，適用于解答大多數(shù)不等式證明問題．

不等式兩邊的式子均為平方式，很難比較出它們的大小，于是將其兩邊平方并作差，再將其結果與0比較，即可證明不等式．為了便于比較出差式與0的大小，往往要將差式化簡為幾個因式的積或完全平方式的形式，

要證明的不等式中含有根式，需運用作商比較法證明不等式．在化簡商式時，需將商式化為最簡形式，以便判斷該式與1的大小關系，從而證明不等式成立．

二、換元法

換元法適用于證明變量的個數(shù)較多或結構復雜的不等式，運用換元法證明不等式，需先仔細觀察已知條件和所要證明不等式的結構，找到條件與所證目標之間的聯(lián)系；然后根據(jù)二者之間的聯(lián)系，選擇合適的式子或某一部分用新變量替換；再化簡換元后的不等式，并根據(jù)基本不等式、函數(shù)單調性、導函數(shù)的性質證明不等式成立．

根據(jù)已知條件和對數(shù)函數(shù)的運算性質將所證目標不等式進行化簡、消元，便可將函數(shù)式轉化為關于lgx的函數(shù)式，再令lgx=t，通過換元，將函數(shù)式轉化為關于t的簡單二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質和對數(shù)函數(shù)的值域即可解題，

三、放縮法

放縮法是證明不等式的常用方法．運用放縮法證明不等式，需仔細觀察所要證明的不等式的結構特點，根據(jù)切線的幾何意義，通過添項或減項，借助基本不等式，利用函數(shù)的單調性等對不等式進行適當?shù)姆糯蠡蚩s?。?/p>

將已知關系式進行變形，可發(fā)現(xiàn)a2 +ab+b2 =a+b與基本不等式a2+ b2≥2a6之間有聯(lián)系，于是兩次利用基本不等式將代數(shù)進行放縮，從而證明結論．在運用基本不等式放縮不等式時，要注意三個前提條件：一正、二定、三相等，尤其要注意等號成立的條件，

總之，證明不等式，需仔細觀察不等式的結構特征，建立已知條件和所要求證不等式之間的聯(lián)系，再通過作差、作商、換元、放縮等方式來進行合理的變形、化簡．

（作者單位：江蘇省蘇州市昆山經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)高級中學）