張偉俊

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“義務教育數(shù)學課程應使學生通過數(shù)學的學習，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。”也就是說，數(shù)學教學不僅要傳授知識，更要啟迪智慧、發(fā)展素養(yǎng)、滋潤生命。智慧數(shù)學，源于智慧教育，主張以教師智慧的教促進學生智慧的學，以數(shù)學的智慧發(fā)展學生的智慧，從而實現(xiàn)“化知識為智慧，積智慧為素養(yǎng)”的育人目標；在課程目標和教學內(nèi)容上，強調(diào)幫助學生習得數(shù)學基礎知識、基本技能的同時，滲透數(shù)學思想方法和思維方法，著力培養(yǎng)學生的問題意識、思維能力和創(chuàng)新精神，以發(fā)展學生的智慧，培育學生的核心素養(yǎng)；在教學過程與教學方法上，強調(diào)構(gòu)建充滿靈性和思維活力的課堂，以智慧的教學促進學生智慧的發(fā)展。具體來說，主要體現(xiàn)在以下五個方面。

一、聚焦核心素養(yǎng)，突出學科育人

近年來，從“雙基”到“三維目標”再到“核心素養(yǎng)”的課程目標變革，反映的是從“教材”到“學科”再到“育人”的課程觀念的轉(zhuǎn)型。智慧數(shù)學，針對數(shù)學教育過程中過分注重知識傳授和技能訓練的現(xiàn)狀，倡導“化知識為智慧，積智慧為素養(yǎng)”，引導數(shù)學教學從“知識本位”走向“素養(yǎng)本位”。智慧數(shù)學教學就是以人的智慧發(fā)展為目的，以數(shù)學知識教育為抓手，引領(lǐng)學生在數(shù)學學習過程中將客觀的、靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為個體自身主觀的、個性化的智慧，從而在長期的智慧浸潤和積淀中逐步形成核心素養(yǎng)。這樣的數(shù)學教學就是導向?qū)W科育人的實踐探索，努力從培養(yǎng)“知識人”走向培養(yǎng)“智慧人”。所謂智慧人，其內(nèi)在體現(xiàn)為“求真、求善、求美”的至高境界，外在表現(xiàn)為運用知識靈活處理問題的能力。因此，智慧數(shù)學教學強調(diào)讓學習可見，讓思維發(fā)生，讓文化浸潤。

例如，“勾股定理”的教學設計理念和思路。

勾股定理被譽為“幾何明珠”“千古第一定理”。它的教學不僅僅要讓學生掌握勾股定理的結(jié)論，更重要的是在探究勾股定理的過程中，彰顯勾股定理的數(shù)學教育價值和思想教育價值。

首先，教師要創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的認知沖突和探究興趣，引導學生從特殊到一般展開探究，讓學生在自主探究、合作交流、自覺反思的過程中，收獲勾股定理的結(jié)論，體會數(shù)學探究的思路和方法，發(fā)展嘗試探究的精神；其次，在探究過程中，要堅持“學生先試，教師后導”“學生先學，教師后教”的原則，突出學生主體地位，引導學生積極動腦、動手、動口，在做數(shù)學、學數(shù)學、用數(shù)學的過程中，體會從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學核心素養(yǎng)；再次，要引導學生探尋勾股定理的歷史背景和文化貢獻，激發(fā)學生的民族自豪感和愛國情感，發(fā)展學生的國際視野和人文情懷。

這樣的數(shù)學教學，不僅能讓學生學到數(shù)學知識，而且能發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)和人文素養(yǎng)，學科育人價值也就得到了充分彰顯。

二、聚焦單元教學，突出整體設計

智慧數(shù)學教學，倡導從聚焦知識點的“課時教學”轉(zhuǎn)向?qū)雍诵乃仞B(yǎng)的“單元教學”，就是以整體教學觀為指導，以教材的自然單元為基礎，對教學目標與內(nèi)容、教學活動與方式、教學過程與評價等，進行系統(tǒng)規(guī)劃、整體設計和有序?qū)嵤?，努力實現(xiàn)“整體大于局部之和”的教學效果。在當前分課時教學的背景下，要實現(xiàn)整體設計的效果，必須妥善處理好整體設計與分課時實施之間的關(guān)系。為此，智慧數(shù)學教學遵循“整體→局部→整體”的認知規(guī)律，形成了“總→分→總”式的單元教學實施路徑，構(gòu)建了單元起始課、自主學習課、單元總結(jié)課和綜合實踐課等四種課型。首先，教師從整體入手，上好單元起始課，以結(jié)構(gòu)化的視角幫助學生形成對整個單元的認知結(jié)構(gòu)；其次，教師對學習內(nèi)容進行適當?shù)姆纸?，讓學生分課時對重難點內(nèi)容進行自主學習、深度學習，達到“分而治之，各個擊破”的效果；最后，再回到整體，教師上好單元總結(jié)課，引導學生進行總結(jié)提煉，形成更高層次的結(jié)構(gòu)體系，并在此基礎上開展相應的綜合實踐，引領(lǐng)學生遷移運用所學知識與方法解決實際問題或者進行拓展性探究。

例如，“勾股定理”的單元教學安排。

蘇科版數(shù)學八（上）第3章“勾股定理”，共6課時。為了避免“備一課，上一課”帶來的知識割裂感，讓學生“既見樹木，又見森林”，筆者對“勾股定理”的單元教學路徑進行了整體規(guī)劃，如表1。

以上設計，首先，從整體入手，幫助學生構(gòu)建對于本章“學什么，為什么學，怎樣學”等問題的整體認知；然后，再到部分，對勾股定理、勾股定理逆定理及其簡單應用，分課時展開自主學習和探究；最后，回到整體，進行總結(jié)梳理，形成體系，開展相關(guān)綜合應用。這樣的單元整體設計，既能使學生心里有方向，手里有方法，也能使知識連成“線”，聚成“塊”，便于學生形成更牢固的認知結(jié)構(gòu)。

三、聚焦真實情境，突出問題解決

問題是思維的起點，高質(zhì)量的問題是高品質(zhì)數(shù)學學習的驅(qū)動器。智慧數(shù)學教學，倡導創(chuàng)設真實情境，以問題為紐帶組織教學，引領(lǐng)學生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題→提出問題→分析問題→解決問題”的全過程，并以“問題+追問”“問題+變式”“問題+拓展”等形式促進學生思考，錘煉學生的思維。這是發(fā)展學生智慧的關(guān)鍵所在，尤其是要在這樣的過程中發(fā)展學生的問題意識和創(chuàng)新精神，錘煉學生的問題解決能力。

例如，勾股定理的探究教學。

問題1：在三角形中，已知兩個角的大小可以求出第三個角的大小，那么已知兩條邊的長度可以求出第三條邊的長度嗎？比如：在△ABC中，AC=3，BC=4，你能求出AB的長嗎？

追問：你覺得添加一個什么條件，AB的長就確定了？如果添加∠C=90°，AB的長確定嗎？你會求嗎？AB的長是確定的，但是不會求，怎么辦呢？

問題2：在數(shù)學學習中，我們經(jīng)常以“網(wǎng)格”為載體開展數(shù)學探究，如果將這個直角三角形畫到網(wǎng)格紙中，你能求AB的長嗎？

追問：如果AB的長不能直接求，能轉(zhuǎn)化成求其他量嗎？

問題3：如果沒有網(wǎng)格背景，我們還能解決類似的問題嗎？比如：在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，你能求出AB的長嗎？

變式：如果在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，你能求出AB的長嗎？

總結(jié)：由此你能得到什么結(jié)論？

以上探究過程，以問題為紐帶，引領(lǐng)學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的探究過程。首先，基于學生的已有認知基礎，在師生對話中引導學生逐步聚焦問題“在直角三角形中，已知兩直角邊，如何求斜邊”；其次，創(chuàng)設“可求”又“不會求”的認知沖突，啟發(fā)學生引入網(wǎng)格背景，將求直角三角形斜邊長的問題轉(zhuǎn)化為求以直角三角形斜邊長為邊長的正方形的面積問題，并組織學生在自主探究、合作交流的過程中，用“割補法求面積”實現(xiàn)問題的解決；再次，從“有網(wǎng)格背景”到“無網(wǎng)格背景”，啟發(fā)學生遷移運用已有經(jīng)驗，形成解決問題的通法，解決了沒有網(wǎng)格背景下“已知直角三角形的兩條直角邊求斜邊”的問題，繼而將問題推向一般情形，順利探究出“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”的結(jié)論。在這樣的探究過程中，學生全身心地投入，從特殊走向一般，收獲的不僅僅是勾股定理的結(jié)論，更重要的是經(jīng)歷了探究過程，學會了探究方法，發(fā)展了數(shù)學思維，收獲了成功的喜悅。這積淀下來的便是數(shù)學智慧和核心素養(yǎng)。

四、聚焦學科實踐，突出學習過程

從“坐而論道”轉(zhuǎn)向“學科實踐”是育人方式變革的必然要求。智慧數(shù)學教學倡導以學科實踐撬動“坐而論道式”的學習方式，引導學生在親身經(jīng)歷中學習數(shù)學，真正將認知與行動、理論與實踐、數(shù)學知識與日常生活有機結(jié)合起來。學科實踐作為一種新的學習方式，指向的是學科探究、學科活動、具身學習、做中學，引導學生能像學科專家一樣在真實的問題情境中實踐、探索和思考。同時，它還強調(diào)學習方式與學科特質(zhì)深度融合，也就是說，這樣的實踐活動必須有獨特的“學科性”和濃厚的“學科味”。因此，數(shù)學學科實踐就是要引導學生基于真實的情境、問題、任務、項目進行學習，突出學習過程，引領(lǐng)學生真正學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。

上文勾股定理的探究教學就是一個學科實踐活動。學生在動腦、動手、動口中學習，收獲的不僅僅是數(shù)學知識，更重要的是像一個數(shù)學專家一樣在研究，研究的思路、研究的方法都將是一生受用的，這正是指向數(shù)學智慧和核心素養(yǎng)的教學。數(shù)學“綜合與實踐”與數(shù)學學科實踐，既有聯(lián)系，也有區(qū)別。數(shù)學“綜合與實踐”以跨學科主題學習為主，數(shù)學學科實踐更側(cè)重單學科實踐活動，但它們都指向“實踐”和“活動”，是培育數(shù)學智慧和核心素養(yǎng)的重要抓手。

例如，教師帶領(lǐng)學生了解勾股定理的前世今生。

問題：勾股定理是人類的寶貴財富，勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為數(shù)學史上的里程碑。你了解古代數(shù)學家在這方面的貢獻嗎？我們可以從以下三個方面（或其中的某一方面）展開研究，并將研究成果整理成文。

1.四大文明古國對勾股定理有何記載？對我們有何啟示？

2.勾股定理有哪些不同的證法？你最喜歡哪一種？這些證法有何共同之處？

3.運用勾股定理可以解決哪些問題？你有何心得？

以上設計，引導學生自主參與、全程參與探究過程，一方面能激發(fā)學生的學習興趣，引領(lǐng)學生循著古代數(shù)學家的足跡繼續(xù)開啟勾股定理探索之路；另一方面滲透了對學生的思想教育，讓學生為我國古人的聰明才智而自豪，民族自豪感和愛國情感油然而生。同時，還能引領(lǐng)學生體會“勾股定理是人類的共同財富”，發(fā)展學生的國際視野和人文情懷。

五、聚焦反思感悟，突出意義建構(gòu)

悟，是學習的至高境界。有的是理性的領(lǐng)悟，有的是瞬間的頓悟，但真正的感悟都來自親身經(jīng)歷與切身體驗。正所謂“實踐出真知”，這也是強調(diào)學科實踐的原因所在。智慧數(shù)學教學倡導留足學生反思感悟的時間和空間，引導學生透過具體的事例感悟數(shù)學的本質(zhì)，努力在學習的過程中尋找規(guī)律，把握規(guī)律，運用規(guī)律。這樣的反思感悟，可以是在一個活動之后的“真知灼見”，可以是一節(jié)課后的“總結(jié)提煉”，也可以是一個單元之后的“認知重構(gòu)”，但目標是一致的，就是引領(lǐng)學生從感性走向理性，從現(xiàn)象走向本質(zhì)，從膚淺走向深刻，從零散走向整體。當然，要實現(xiàn)這樣的目標，除了需要學生有豐富的現(xiàn)實體驗，也需要教師的專業(yè)引領(lǐng)，給予學生必要的方法指導和過程支持。同時，教師還要通過及時追問的方式，啟迪學生思考為什么是這樣的，是怎么想到的，引領(lǐng)學生在思考中解決問題，在解決問題中不斷積累策略和方法。

比如，在上述案例中，教師指導學生先探索網(wǎng)格背景中直角三角形問題，然后去掉網(wǎng)格背景進行探究，最后探究一般的直角三角形的三邊關(guān)系。活動結(jié)束后，教師引導學生反思、感悟探究活動的心得體會，讓學生充分感受到從特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等研究問題的思路和方法。學生在這樣的過程中，不僅獲得了數(shù)學知識與技能，還能體悟數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，這樣的學習才是有意義的學習。

總之，“智慧數(shù)學”是一種教學主張，旨在通過對數(shù)學課程內(nèi)容和教學方式的協(xié)同變革，實現(xiàn)“化知識為智慧，積智慧為素養(yǎng)”的育人目標。當然，這是一項系統(tǒng)工程，需要一個漫長的過程，但是我們相信，“智慧數(shù)學”理念的落地生根，必將進一步深化數(shù)學教育改革，促進學生智慧發(fā)展。

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)湖塘實驗中學）

本文系江蘇省常州市教育科學“十四五”規(guī)劃課題《系統(tǒng)構(gòu)建初中智慧數(shù)學的實踐研究》階段性研究成果。