數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課：在理中練，在練中聯(lián)

黃偉東

［摘 要］為了發(fā)揮理中練、練中聯(lián)在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的作用，教師要整體把握教材，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；要精心設(shè)計(jì)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、融會(huì)貫通；要指導(dǎo)解題思路，使學(xué)生掌握不同題型的解決方法。這樣能促進(jìn)學(xué)生理解和掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到更好的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］復(fù)習(xí)課；縱向聯(lián)系；橫向聯(lián)系；理中練；練中聯(lián)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）30-0007-03

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，大多數(shù)教師都是先讓學(xué)生做大量的練習(xí)，以此來復(fù)習(xí)學(xué)過的知識(shí)，然后對(duì)這些練習(xí)進(jìn)行分析講解。這種“炒冷飯”式的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課枯燥乏味，導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)做的題目仍然不會(huì)做，甚至可能會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣。通過自身的實(shí)踐和觀摩眾多的復(fù)習(xí)課，筆者對(duì)“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要復(fù)習(xí)些什么”“如何上好數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課”等問題有了自己的一些思考，現(xiàn)與大家共同探討。

一、整體把握教材，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

俗話說：“讀一本書，要先把書讀厚，再把書讀薄。”這句話告訴我們，要先讓學(xué)生把數(shù)學(xué)課本讀厚，不僅要理解其中的數(shù)學(xué)概念和原理，還要掌握各種題型的解題方法；再讓學(xué)生把數(shù)學(xué)課本讀薄，將整個(gè)單元知識(shí)進(jìn)行橫向、縱向聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深化對(duì)單元知識(shí)的整體理解。

1.尋找知識(shí)之間的橫向聯(lián)系

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第六單元《多邊形的面積》的復(fù)習(xí)課時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，再讓學(xué)生運(yùn)用面積計(jì)算公式解決問題。

師：我們學(xué)習(xí)了《多邊形的面積》這個(gè)單元，現(xiàn)在誰來說一說，學(xué)習(xí)了哪些圖形的面積計(jì)算？它們的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來的？

生1：在這個(gè)單元中，我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算?？梢园哑叫兴倪呅无D(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或者正方形，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式，由于平行四邊形的底相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的高相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高；由于兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，所以三角形的面積等于平行四邊形的面積除以2，也就是底乘高除以2；由于兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形，所以梯形的面積等于平行四邊形的面積除以2，又因?yàn)槠闯傻钠叫兴倪呅蔚牡拙褪翘菪蔚纳系缀拖碌?，平行四邊形的高就是梯形的高，故梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

生2：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)都用到了轉(zhuǎn)化的方法。我們知道梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，當(dāng)梯形的上底和下底相等時(shí)，就變成了平行四邊形，所以平行四邊形的面積=底乘高；當(dāng)梯形的上底變成0時(shí)，就變成了三角形，所以三角形的面積=底乘高除以2。

師：同學(xué)們，這兩位同學(xué)在推導(dǎo)面積計(jì)算公式的時(shí)候都提到了轉(zhuǎn)化。那么，這兩位同學(xué)說的轉(zhuǎn)化有什么不同呢？

生3：第一位同學(xué)是根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，推導(dǎo)出平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式；第二位同學(xué)是根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式，推導(dǎo)出平行四邊形和三角形的面積計(jì)算公式。

……

上述教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度溝通了各種圖形面積計(jì)算公式之間的聯(lián)系，于無形中滲透轉(zhuǎn)化的思想方法，既有利于學(xué)生運(yùn)用多種策略靈活地解決圖形面積計(jì)算的問題，也有助于學(xué)生在計(jì)算組合圖形面積時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)過的規(guī)則圖形的面積來計(jì)算。

2.尋找知識(shí)之間的縱向聯(lián)系

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第六單元《小數(shù)加法和減法》的復(fù)習(xí)課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生比較小數(shù)數(shù)位不同的小數(shù)加減法和小數(shù)數(shù)位相同的小數(shù)加減法、小數(shù)加減法和整數(shù)加減法在計(jì)算上有什么聯(lián)系與區(qū)別。

師：誰來說一說，小數(shù)數(shù)位不同的小數(shù)加減法和小數(shù)數(shù)位相同的小數(shù)加減法分別是怎么計(jì)算的？

生1：小數(shù)數(shù)位不同的小數(shù)加減法和小數(shù)數(shù)位相同的小數(shù)加減法都要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，在缺少的數(shù)位上補(bǔ)0，從最低位算起，計(jì)算的最后結(jié)果要化簡(jiǎn)。

師：那小數(shù)加減法和整數(shù)加減法在計(jì)算上有什么聯(lián)系與區(qū)別？

生2：小數(shù)加減法和整數(shù)加減法都是相同數(shù)位上的數(shù)要對(duì)齊，其中小數(shù)加減法是要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊后再計(jì)算，而整數(shù)加減法是末位對(duì)齊后再計(jì)算。

師：為什么計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？

生3：計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)，只有小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊了，才能做到相同數(shù)位對(duì)齊。

……

上述教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生比較小數(shù)數(shù)位不同的小數(shù)加減法和小數(shù)數(shù)位相同的小數(shù)加減法、小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的聯(lián)系和區(qū)別，使學(xué)生從“相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊”聯(lián)系到小數(shù)計(jì)算和整數(shù)計(jì)算，更深入地理解了算理。

二、精心設(shè)計(jì)練習(xí)，學(xué)會(huì)舉一反三、融會(huì)貫通

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，不僅要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，還需要通過練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，教師圍繞一個(gè)單元設(shè)計(jì)練習(xí)題就非常重要了，這樣可以全面了解學(xué)生理解和掌握知識(shí)的情況，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維。教師可以設(shè)計(jì)一題多問、一題多變、一題多解、多題一解等形式的練習(xí)，充分發(fā)揮練習(xí)的價(jià)值，提高學(xué)生解決問題的能力。

1.一題多問

一題多問，就是通過一道題目改變不同的條件或問題，延伸出多道相關(guān)的數(shù)學(xué)題。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)上冊(cè)第六單元《兩、三位數(shù)乘一位數(shù)》的復(fù)習(xí)課時(shí)，教師出示一道題目，讓學(xué)生根據(jù)算式提出不同的條件，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。

出示練習(xí)：抗擊“新冠”疫情，A區(qū)捐款120萬元，? ? ? ? ? ，B區(qū)捐款多少萬元？

（1）120+5? （2）120-5? （3）120×5? （4）120÷5? （5）318-120

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們根據(jù)算式想一想，題中應(yīng)該補(bǔ)上什么條件？

生1：根據(jù)算式120+5，題中應(yīng)該補(bǔ)上“B區(qū)比A區(qū)多捐款5萬元”或者“A區(qū)比B區(qū)少捐款5萬元”的條件；根據(jù)算式120-5，題中應(yīng)該補(bǔ)上“B區(qū)比A區(qū)少捐款5萬元”或者“A區(qū)比B區(qū)多捐款5萬元”的條件。

生2：根據(jù)算式120×5，題中應(yīng)該補(bǔ)上“B區(qū)捐款是A區(qū)捐款的5倍”的條件；根據(jù)算式120÷5，題中應(yīng)該補(bǔ)上“A區(qū)捐款是B區(qū)捐款的5倍”的條件；根據(jù)算式318-120，應(yīng)該補(bǔ)上“A區(qū)和B區(qū)一共捐款318萬元”的條件。

……

上述教學(xué)，教師設(shè)計(jì)開放性的練習(xí)，融合加減乘除法的知識(shí)，讓學(xué)生在提問中學(xué)會(huì)辨析不同的問題，培養(yǎng)他們理解與分析問題的能力。同時(shí)，這樣有助于實(shí)施德育，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。

2.一題多變

一題多變，指以一道習(xí)題為參照，通過變化其中的情境、數(shù)字或符號(hào)，延伸出多道習(xí)題。一題多變，不僅能提高學(xué)生的審題能力，還能提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第一單元《四則運(yùn)算》的復(fù)習(xí)課時(shí)，教師設(shè)計(jì)了一題多變的對(duì)比題組，引導(dǎo)學(xué)生在比較中鞏固整數(shù)四則混合運(yùn)算法則。

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們來復(fù)習(xí)整數(shù)四則混合運(yùn)算。誰來說一說整數(shù)四則混合運(yùn)算法則？

生1：在一道算式里，既有小括號(hào)，又有中括號(hào)，要先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的。算式里有小括號(hào)的，要先算小括號(hào)里的；小括號(hào)里要先算乘除法，再算加減法。在沒有括號(hào)的算式里，同級(jí)運(yùn)算從左往右依次計(jì)算；不同級(jí)運(yùn)算先算乘除法，再算加減法。

出示練習(xí)：（1）240÷6-2×17，240÷（6-2）×17，（240÷6-2）×17；（2）51-36÷3+1，（51-36）÷3+1，51-（36÷3+1）；（3）180÷（36÷12）+6，180÷（36÷12+6），180÷[36÷（12+6）]。

師：同學(xué)們先說一說運(yùn)算順序，再計(jì)算。

生2：240÷6-2×17，先同時(shí)算除法和乘法，再算減法。

生3：240÷（6-2）×17，先算小括號(hào)里的，再依次算除法和乘法。

生4：（240÷6-2）×17，先算小括號(hào)里的除法，再算小括號(hào)里的減法，最后算乘法。

生5：51-36÷3+1，先算除法，再依次算減法和加法……

上述教學(xué)，教師精心設(shè)計(jì)相同的數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)，通過改變小括號(hào)和中括號(hào)的位置，讓學(xué)生在遞等式計(jì)算中學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用整數(shù)四則混合運(yùn)算法則，清楚地知道先算什么再算什么。

3.一題多解

一題多解，指能用不同的方法解答同一道題目。通過一題多解的訓(xùn)練，可有效拓展學(xué)生的解題思路和方法。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)思維拓展課中的“和差問題”時(shí)，學(xué)生通過畫線段圖解決“和差問題”，發(fā)現(xiàn)了不一樣的解題思路。

出示題目：小明買一套衣服用了95元，上衣比褲子貴17元。上衣和褲子各多少元？

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們先根據(jù)題目畫出線段圖，再用多種方法解決問題。

生1：這里的“買一套衣服用了95元”是指買上衣和褲子一共要用95元，又因?yàn)椤吧弦卤妊澴淤F17元”，由此知道了上衣和褲子的“和”與“差”，說明這是一道“和差問題”。于是，我先算褲子的價(jià)格，95-17表示2條褲子的價(jià)格，所以1條褲子的價(jià)格是（95-17）÷2=39（元）；再根據(jù)“買一套衣服用了95元”，算出1件上衣的價(jià)格是95-39=56（元）。

生2：我算褲子價(jià)格的方法和生1一樣，算1件上衣的價(jià)格，則是根據(jù)“上衣比褲子貴17元”計(jì)算出來的，即39+17=56（元）。

生3：我先算上衣的價(jià)格，95+17表示2件上衣的價(jià)格，所以1件上衣的價(jià)格是（95+17）÷2=56（元）；再根據(jù)“買一套衣服用了95元”，算出1條褲子的價(jià)格是95-56=39（元），或者根據(jù)“上衣比褲子貴17元”，算出1條褲子的價(jià)格是56-17=39（元）。

……

上述教學(xué)，教師精心選擇一道典型的題目，使學(xué)生在解答一道題目中實(shí)現(xiàn)了一題多解。這樣不僅讓學(xué)生理解了“和差問題”的解題方法，還讓他們經(jīng)歷了分析問題和解決問題的過程，真正習(xí)得了數(shù)學(xué)知識(shí)。

4.多題一解

多題一解，指呈現(xiàn)多道題目，但是它們的答案是相同的。通過多題一解，意在引導(dǎo)學(xué)生歸納出多道題的共性。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材二年級(jí)上冊(cè)第二單元《100以內(nèi)的加法和減法（二）》的復(fù)習(xí)課時(shí)，教師先出示一道加法算式，引導(dǎo)學(xué)生編題，再總結(jié)出加法的各種含義。

師：（出示45+23=68）請(qǐng)同學(xué)們用這道加法算式編題，并想一想加法有哪些不同的含義。

生1：小紅有45個(gè)蘋果，小明有23個(gè)蘋果，一共有多少個(gè)蘋果？

生2：小花第一天折了45只千紙鶴，第二天比第一天多折了23只千紙鶴，第二天折了多少只千紙鶴？

生3：迪迪有45支鉛筆，又買了23支鉛筆，現(xiàn)在一共有多少支鉛筆？

生4：拿走45支彩筆，還剩23支彩筆，原來有多少支彩筆？

……

師：下面，我們來總結(jié)一下。加法可以表示“部分整體型”“添加型”“比較型”和“拿走型”，它們都是用加法來計(jì)算的。

……

以往的復(fù)習(xí)課都是教師呈現(xiàn)題目，學(xué)生列式解答。上述教學(xué)，教師采用逆向思維的方式設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題，先呈現(xiàn)算式，再讓學(xué)生編題，這樣能使學(xué)生對(duì)用加法解決問題有更加深刻的理解。

三、解題思路指導(dǎo)，掌握不同題型的解決方法

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，教師還要教會(huì)學(xué)生面對(duì)不同題型時(shí)，懂得選擇適合的解題方法。如解答選擇題時(shí)，可以用分析法、排除法、代入法、特殊值法、直接求解法、枚舉法等。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)“期末總復(fù)習(xí)”時(shí)，教師通過具體的題目，引導(dǎo)學(xué)生思考每道題目可以用什么方法來解答。

出示練習(xí)：下面選項(xiàng)中，（? ? ）成反比例關(guān)系。

A.圓的周長(zhǎng)和直徑

B.梯形的周長(zhǎng)一定，它的上底和下底

C.圓的半徑和面積

D.長(zhǎng)方形的面積一定，它的長(zhǎng)和寬

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們想一想，這道選擇題用什么方法解答比較好？

生1：我會(huì)用分析法。A選項(xiàng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式C=πd，發(fā)現(xiàn)圓的直徑變大，周長(zhǎng)就變大，所以圓的周長(zhǎng)和直徑成正比例關(guān)系；B選項(xiàng)，因?yàn)樘菪蔚闹荛L(zhǎng)是上底加下底再加兩條腰的長(zhǎng)度，所以梯形的周長(zhǎng)、上底和下底不成比例；C選項(xiàng)，根據(jù)圓的面積計(jì)算公式S=πr2，發(fā)現(xiàn)圓的半徑和面積不成比例；D選項(xiàng)，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式S=ab，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬成反比例關(guān)系。故，這道題的答案應(yīng)選D。

出示練習(xí)：3、5、7和（?）可以組成比例。

A.6? ? B.3.5? C.4.2? ? D.4

師：同學(xué)們想一想，這道題用什么方法解答？

生2：我用排除法。A選項(xiàng)，3、5、7、6不成比例；B選項(xiàng)，3、5、7、3.5不成比例；C選項(xiàng)，因?yàn)?、5、7、4.2可以寫出比例3︰5=7︰4.2，所以是正確的……

課堂上，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)固然重要，但掌握解題方法和技巧更重要。這樣可讓學(xué)生面對(duì)各種題型時(shí)，能靈活地選擇適合的解題方法，提高自身解決問題的能力。

總之，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，教師要處理好質(zhì)與量、難與易、練習(xí)與反饋之間的關(guān)系，讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)有所收獲，進(jìn)而為下一階段的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（責(zé)編 杜 華）