曾光

平面向量作為高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)，考查向量的題目在今年全國(guó)各個(gè)考卷中均有出現(xiàn). 考查的題型一般為選擇題或填空題，考查形式表現(xiàn)十分豐富，有的以三角形為載體出現(xiàn)，有的以多邊形為載體出現(xiàn)，還有的沒有圖形，而是以模和夾角出現(xiàn). 想要解決以上問題，需要具備哪些關(guān)鍵能力呢？下面讓我們逐一探究.

【題型一】考查向量三角形法則的轉(zhuǎn)化運(yùn)用.

【2022年全國(guó)新高考I卷3】在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA. 記=，=，則=（）

A. 3-2B. -2+3C. 3+2D. 2+3

【分析】本題考查的必備知識(shí)是平面向量的線性運(yùn)算. 關(guān)鍵能力是對(duì)向量加減法的三角形法則的靈活運(yùn)用. 如圖2，用、去表示，可考慮在△BCD中，把先轉(zhuǎn)化為、，再通過數(shù)乘關(guān)系轉(zhuǎn)化和三角形法則轉(zhuǎn)化為、.

【詳解】如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，所以=2. 在△BCD中，把-=，即-=2，-=2（-），移項(xiàng)整理得：=3-2 .

所以=3-2=3+2=-2+3. 故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】1. 解決本題的關(guān)鍵是要重視向量的三角形法則：在一個(gè)三角形中，三條邊代表三個(gè)向量，其中具備“首接首、尾接尾”的那個(gè)向量是“和向量”（被減向量）.

2. 本題的向量轉(zhuǎn)化也不是唯一的，可以先在△ABC中轉(zhuǎn)化，用、去表示，即=+，然后再進(jìn)行變形整理最后亦可以得到答案.

3. 本題只考查向量線性轉(zhuǎn)化一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，較為簡(jiǎn)單.如果把向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積結(jié)合在一起的話，難度就要大了.請(qǐng)看以下兩道高考題.

【2022年高考北京卷10】在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°. P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1，則·的取值范圍是（）

A.[-5，3]B.[-3，5]C.[-6，4]D.[-4，6]

【分析】本題以三角形為載體，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)與向量數(shù)量積問題求范圍，比上一題難度大很多. 但是透過現(xiàn)象看本質(zhì)，雖然涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，然而對(duì)考查的關(guān)鍵能力是相同的，通過向量的三角形法則就可以把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題. 同時(shí)本題可以一題多解，既可以用向量法，也可以用坐標(biāo)法. 請(qǐng)考生注意對(duì)比兩種解法的不同特點(diǎn).

【詳解】向量法：

解析：如圖，因?yàn)镻C=1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

在△PAC中，=+，在△PBC中，=+.………………（三角形法則轉(zhuǎn)化）

·=（+）（+）=·+·+·+·=1+（+）+0

=1+·+0 =1+5cosθ， θ為向量、的夾角，θ∈[0，π]，cosθ∈[-1，1]，

因此1+5cosθ∈[-4，6].

坐標(biāo)法：

解析：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0，0），A（3，0），B（0，4），D（3，4）

因?yàn)镻C=1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)P（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，

所以=（3-cosθ，-sinθ），=（-cosθ，4-sinθ），

所以·=（-cosθ）×（3-cosθ）+（4-sinθ）×（-sinθ）

=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ

=1-3cosθ-4sinθ

=1-5sin（θ+φ），其中sinφ=，cosφ=.

因?yàn)?1≤sin（θ+φ）≤1，所以-4≤1-5sin（θ+φ）≤6，即·∈[-4，6].

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】1. 由向量法可看到，通過三角形法則轉(zhuǎn)化可以把動(dòng)點(diǎn)問題化為定點(diǎn)問題，即化“動(dòng)”為“靜”，把難度降低了.

2. 在三角形法則轉(zhuǎn)化中，盡量轉(zhuǎn)化為垂直的向量，化“曲”為“直”，因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為零，大大減少了運(yùn)算量.如本題轉(zhuǎn)化為和，·=0.

3. 由以上兩種方法可看出，向量法要靈活運(yùn)用三角形法則，運(yùn)算量不大. 而坐標(biāo)法，過程推理簡(jiǎn)單，也是解決向量問題的重要方法，但前提是由已經(jīng)條件能夠建立坐標(biāo)系.

4. 如果向量問題與二次函數(shù)結(jié)合起來的話，則難度會(huì)進(jìn)一步提升. 請(qǐng)看下一題.

【2022年高考浙江卷15】設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則+ +…+ 的取值范圍是_______.

【分析】由題意知，、、……、這8 個(gè)向量都是變量，我們可以通過三角形法則將其轉(zhuǎn)化為固定的量，即化“動(dòng)”為“靜”，這樣問題就容易解決問題了.

同樣地，本題也可以用坐標(biāo)法去解.根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，A7 A3所在直線為x軸，A5 A1所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)? P（x，y），再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可得到+ +…+ =8（x2+y2）+8，然后利用cos22.5°≤|OP|≤1即可解出.

【詳解】向量法：

解析：如圖一：在△PA1O中，=-，………………（三角形法則轉(zhuǎn)化）

同理有= - ，……=-，則：

+ +…+ =（-）2+（ - ）2+…+（-）2

-2·++-2 ·++…+-2·+

=++…+-2·（+ +…+）+8.

根據(jù)對(duì)稱性可得（+ +…+）=0，

于是，上式=++…++8=8+8，因?yàn)閏os22.5°≤|OP|≤1，

≤≤1，≤≤1，12+2≤8+8≤16.

故+ +…+的取值范圍是[12+2，16].

坐標(biāo)法：

解析：以圓心為原點(diǎn)，A7 A3所在直線為x軸，A5 A1所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖二所示：

圖一圖二

則A1（0，1）， A2（，）， A3（1，0）， A4（，-）， A5（0，-1）， A6（-，-），A7（-1，0），A8（-，），設(shè)P（x，y），于是+ +…+=x2+（y-1）2+（-x）+（-y）+…+（--x）+（-y）

= 8（x2+y2）+8，

因?yàn)閏os22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2+y2≤1，

故+ +…+的取值范圍是[12+2，16].

故答案為：[12+2，16].

【點(diǎn)評(píng)】1. 本題融合了向量、動(dòng)點(diǎn)、多邊形和二次函數(shù)多個(gè)知識(shí)，難度較大. 在向量法中通過向量三角形法則轉(zhuǎn)化，化“動(dòng)”為“靜”，便找到了解決本題的鑰匙，問題得到迎刃而解.

2. 在以上三題中，難度不斷增大，但是通過運(yùn)用三角形法則轉(zhuǎn)化，都能把問題解決. 因此，再一次強(qiáng)調(diào)：在向量問題中必須要重視向量三角形法則的轉(zhuǎn)化運(yùn)用. 這是解決以上題型的“核心技術(shù)”.

3. 由以上兩法可看出，相對(duì)來說，向量法運(yùn)算量不大.而坐標(biāo)法的運(yùn)算量要大于向量法.

【題型二】考查數(shù)量積公式及2 = 2.

【2022年全國(guó)甲卷13】設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且=1，=3，則（2+）·=_________.

【分析】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算公式：·=·cosθ. 設(shè)與的夾角為θ，依題意可得cosθ=，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出·，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)與的夾角為θ，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即cosθ=，

又=1，=3，所以·=·cosθ=1×3×=1，

所以（2+）·=2·+2=2·+2=2×1+32=11.

故答案為：11.

【點(diǎn)評(píng)】1. 只要能熟練掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律就可以解決本題.

2. 根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式，2=·cos0，而cos0=1，因此有2=2. 在數(shù)量積問題考查中，經(jīng)常用到以上性質(zhì)及其逆向應(yīng)用.請(qǐng)看下一題.

【2022年全國(guó)乙卷理3】已知向量，滿足=1，=，-2=3，則·=（）

A. -2????B. -1 C. 1 D. 2

【分析】本題給出的條件全是向量的模，沒有夾角及其它條件，令人感到無從下手. 這時(shí)，如果運(yùn)用上面提到的性質(zhì)：2=2，逆向運(yùn)用它，便可以找到本題的突破口. 因此，本題考查的關(guān)鍵能力是2=2，即-22=（-2）2. 再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】∵-22=（-2）2=2-4·+42，

又∵=1，=，-2=3，

∴9=1-4·+4×3=13-4·，

∴·=1

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】1. 本題運(yùn)用-22=（-2）2這個(gè)性質(zhì)，盤活了整個(gè)解題過程，達(dá)到“一子落，滿盤活”的效果.

2. 本題比上題多考查了一個(gè)關(guān)鍵能力：2=2. 而且在解題過程中反復(fù)運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)及它的逆性質(zhì)：2=2.

3. 數(shù)量積問題除了考查2=2這個(gè)性質(zhì)外，還會(huì)考查數(shù)量積的坐標(biāo)形式. 請(qǐng)看下一題.

【2022年全國(guó)新高考II卷4】已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，則t=（）

A. -6 B. -5 C. 5 D. 6

【分析】本題條件以坐標(biāo)形式出現(xiàn)，因此要考慮用坐標(biāo)形式去運(yùn)算求解. 其次條件涉及兩個(gè)夾角相等，所以本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式及夾角公式的運(yùn)用.夾角公式：<，>=.

【詳解】因?yàn)?（3，4），=（1，0），=+t，所以=（3+t，4），

又因?yàn)閏os〈，〉=cos〈，〉，由夾角公式得=，解得t=5.

故選：C

【點(diǎn)評(píng)】夾角公式是由數(shù)量積公式變形而得，本質(zhì)上還是考查數(shù)量積公式.

【備考建議】1. 在新高考改革命題特點(diǎn)中，重視對(duì)“一核四層四翼”的考查. 因此，我們?cè)趥淇歼^程中，要避免過多地機(jī)械刷題，而是要理解必備知識(shí)，掌握關(guān)鍵能力.

2. 在新高考中對(duì)向量的考查，基本上為以上6個(gè)題目類型，可以歸納為兩種題型. 題型一考查的關(guān)鍵能力主要是：向量三角形法則的轉(zhuǎn)化運(yùn)用. 題型二考查的關(guān)鍵能力主要是：數(shù)量積公式及2=2. 請(qǐng)注意：夾角公式是由數(shù)量積公式變形而來的，本質(zhì)上為同一公式.

3. 在三角形法則的轉(zhuǎn)化運(yùn)用中，要注意三點(diǎn)：化“動(dòng)”為“靜”、化“繁”為“簡(jiǎn)”、化“曲”為“直”（盡量化為垂直的向量）.

4. 對(duì)于向量法與坐標(biāo)法，向量法的運(yùn)算量往往小于坐標(biāo)法，應(yīng)優(yōu)先選擇使用向量法.

5. 對(duì)于平面向量的問題，雖然向量法的運(yùn)算量往往小于坐標(biāo)法，但是如果可以建立坐標(biāo)系的話，也可以考慮用坐標(biāo)法，畢竟能把問題解決才是王道，因此坐標(biāo)法也是解題的重要方法.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)