葉琳瑋 羅家貴

通過研究近幾年的全國高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)：含參不等式恒成立問題的難度系數(shù)較大，常以壓軸題的形式出現(xiàn)，其考查形式也多種多樣，側(cè)重于考查邏輯思維能力和綜合分析能力.本文結(jié)合2021年八省聯(lián)考卷的第22題來談一談求含參不等式恒成立問題的幾個路徑.

題目：

第二個問題是含參不等式恒成立問題，主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、放縮不等式的方法、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、極值等.同學(xué)們需靈活運用分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.解答本題有如下幾種路徑：

一、構(gòu)造函數(shù)

當(dāng)含參不等式恒成立問題涉及到三角函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等時，可采用構(gòu)造函數(shù)法來求解.先將不等式變形為 f （x） > 0或f （x） < 0 的形式，構(gòu)造出新函數(shù)，然后討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，使得 f （x）min > 0，或f （x）max < 0 ，便可使不等式恒成立，據(jù)此建立關(guān)系式，即可解題.

解：

題目中涉及了冪函數(shù)、三角函數(shù)，可采用構(gòu)造函數(shù)法來解題.將不等式變形為 g（x）- 2 - ax ≥ 0 的形式，將左邊的式子構(gòu)造成函數(shù) F（x） ，并對其求導(dǎo)，然后在一次導(dǎo)數(shù)含參數(shù)的情況下，對二次導(dǎo)函數(shù)進行分析，通過分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用不等式性質(zhì)、零點存在性定理即可解題.在運用構(gòu)造函數(shù)法解答不等式恒成立問題時，要先構(gòu)造出合適的新函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號.若導(dǎo)函數(shù)的符號無法確定，需要進行二次求導(dǎo)，以便判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定極值點，求得函數(shù)的極值、最值.

二、分離參數(shù)

分離參數(shù)法是解含參不等式恒成立問題的常用方法.該方法主要適用于解答不等式中的參數(shù)容易被分離出來的題目.通過分離參數(shù)，將不等式變形式為a ≤ f （x） 或 a ≥ f （x） 的形式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，從而求得a的取值范圍.

解：

題目中的參數(shù)是一次項的系數(shù)，因此要分離參數(shù)并不難，但是需要對變量進行分類討論，才能確定不等號的方向.分離參數(shù)后，不等式另一邊的函數(shù)式較復(fù)雜，需通過求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)單調(diào)性，得到最值，并結(jié)合第一題的結(jié)論來解題.

三、放縮不等式

對于較為復(fù)雜的不等式問題，常需運用放縮法來求解.在放縮不等式時，要靈活利用不等式的性質(zhì)、定理，以及一些重要的不等式，對題目中的不等式進行放縮，從而將復(fù)雜不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式，其目的就是化繁為簡.運用該方法解題時，需要注意不等式成立的條件，不可隨意放縮.

解：

不等式中不僅涉及了冪函數(shù)，還涉及了三角函數(shù)，而判斷復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)性比較困難，于是想到在條件成立的情況下，結(jié)合重要不等式 ex ≥ x + 1放縮冪函數(shù)式，從而使不等式簡化，這樣便可快速求得參數(shù)的值.

四、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想是聯(lián)系數(shù)量關(guān)系和幾何關(guān)系的橋梁，在解題中發(fā)揮著重大的作用.數(shù)形結(jié)合法是解答函數(shù)、不等式問題的重要方法.該方法尤其適用于解絕對值不等式、含參不等式問題，可以減少復(fù)雜的分類討論過程.運用數(shù)形結(jié)合法解答不等式恒成立問題，需先將不等式進行變形，畫出函數(shù)的圖象，通過分析圖形之間的位置關(guān)系以及圖形的性質(zhì)，來找到使不等式恒成立的臨界情形.

解：

題目中涉及到了冪函數(shù)、三角函數(shù)和一次函數(shù)，利用第一個問題的結(jié)論和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可知不等式左邊的函數(shù)的圖象是下凹的，且不等式右邊的函數(shù)與不等式左邊的函數(shù)都經(jīng)過（0，2），可據(jù)此求得切線的方程，得到參數(shù)的值.將數(shù)形結(jié)合起來，可化簡運算的步驟，提高運算的速度.

綜上所述，解答含參不等式恒成立問題的方法多種多樣，這些方法雖然都是從不同的角度分析題目得到的，但是并不是孤立的.在解題時，我們要學(xué)會將函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、方程知識融會貫通起來，靈活運用構(gòu)造函數(shù)法、分離參數(shù)法、放縮法、數(shù)形結(jié)合法等來求得問題的答案.

（作者單位：西華師范大學(xué)）