許衛(wèi)俊

立體幾何問題一般側(cè)重于考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特性、體積、面積以及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，對同學(xué)們的邏輯推理和空間想象能力有較高的要求.解答立體幾何問題的常用方法是幾何法、向量法.這兩種方法有各自的特色和適用情形，下面結(jié)合實(shí)例來進(jìn)行探討.

一、幾何法

幾何法是通過分析點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，利用幾何圖形的性質(zhì)、定義、定理來解題的方法.運(yùn)用幾何法解題，需熟悉幾何體和幾何圖形的特征結(jié)構(gòu)，根據(jù)幾何中的性質(zhì)、定義、定理等添加輔助線，構(gòu)建線面之間的平行、垂直關(guān)系，通過嚴(yán)密的邏輯推理和運(yùn)算求得空間角、距離，并判定空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

例1.如圖1，在四棱錐 P - ABCD 中，PA ⊥ 面ABCD，AB = BC = 2，AD = CD = 7，PA = 3，∠ABC = 120°，G 為線段PC上的點(diǎn).

（Ⅰ）證明：BD ⊥ 平面PAC;

（Ⅱ）若G是PC的中點(diǎn)，求DG與平面PAC所成的角的正切值;

（Ⅲ）若G滿足PC⊥平面BGD，求 PGGC 的值.

解答第一個(gè)問題，需利用線面垂直的判定定理;解答第二個(gè)問題，需根據(jù)直線與平面所成的角的定義添加輔助線，便可根據(jù)余弦定理求得角的大小;解答第三個(gè)問題，需根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理尋找直角三角形，根據(jù)勾股定理求得三角形的邊長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)系式解題.運(yùn)用幾何法解題，只需根據(jù)題意，聯(lián)系相關(guān)的幾何性質(zhì)、定義、定理，尋找其使用的條件，便可根據(jù)這些性質(zhì)、定義、定理進(jìn)行求解.

二、向量法

向量法是運(yùn)用向量的性質(zhì)、幾何意義、運(yùn)算法則解題的方法.運(yùn)用向量法解答立體幾何問題，往往需根據(jù)幾何體的特點(diǎn)尋找合適的基底，或建立合適的空間直角坐標(biāo)系，給線段賦予方向，給點(diǎn)賦予坐標(biāo)，通過向量運(yùn)算求得空間角、距離，判定空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

例 2.如圖 2，在四棱錐 M - ABCD 中，底面 ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且AM和AB、AD的夾角都是60°，N是CM的中點(diǎn)，求BN的長.

并將其作為基底表示出其它的線段，便可根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)量積公式、模的公式求得| ?BN|，即可解題.運(yùn)用向量法求解，可將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，這樣不僅能轉(zhuǎn)換解題的思路，還能簡化解題的過程.

例3.如圖3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D在棱A1B1上，E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點(diǎn)，AE ⊥ A1B1， AA1 = AB= AC = 2;當(dāng) D 為 A1B1的中點(diǎn)時(shí)，求平面 DEF 與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

在找到三條相互垂直，且交于一點(diǎn)的直線后，便可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的方向向量、平面的法向量，再通過空間向量的坐標(biāo)系運(yùn)算求得二面角的大小.在求平面的法向量時(shí)，需根據(jù)線面垂直的判定定理，在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交的直線，并使其與法向量垂直，利用待定系數(shù)法即可求出平面的法向量.通過搭建空間直角坐標(biāo)系，將抽象的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為具象的坐標(biāo)運(yùn)算問題，可有效避免復(fù)雜的幾何推理論證.

總之，幾何法的適用范圍較廣，大部分的立體幾何問題都可以用幾何法求解.而向量法的適用范圍較窄，只適用于求解有關(guān)正方體、長方體、直三棱柱等規(guī)則空間幾何體的問題，且使用過程中的運(yùn)算量較大，同學(xué)們要謹(jǐn)慎計(jì)算，避免出現(xiàn)失誤和錯(cuò)解.

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學(xué)）