[摘? 要] PCK（教學(xué)內(nèi)容知識(shí)）是數(shù)學(xué)教師教學(xué)必備知識(shí). 以初高中函數(shù)概念銜接教學(xué)為載體，從MK，PK和CK三個(gè)維度，以高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為要求，探討PCK在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的作用.

[關(guān)鍵詞] PCK;函數(shù)概念;初高中銜接

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）》明確指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是“具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)”[1]. 這樣的背景下，數(shù)學(xué)教師的教育教學(xué)理念、教學(xué)方法和手段以及教師角色都需要重新定位. 實(shí)踐證明，不管采用哪種教學(xué)模式，學(xué)生主體地位的體現(xiàn)程度都取決于教師的主導(dǎo)作用的發(fā)揮，而PCK（教學(xué)內(nèi)容知識(shí)）是能夠支持教師體現(xiàn)主導(dǎo)作用并進(jìn)行有效教學(xué)的最直接、最有效的專業(yè)知識(shí).? 黃毅英、許世紅明確給出了數(shù)學(xué)教師教學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，包括MK（數(shù)學(xué)知識(shí)）、PK（教學(xué)法知識(shí)）、CK（內(nèi)容知識(shí)）三個(gè)部分，是數(shù)學(xué)教師教學(xué)必備知識(shí)，而PCK是這些必備知識(shí)的公共部分[2].

函數(shù)作為初高中銜接的核心知識(shí)，不僅在高中知識(shí)體系中具有統(tǒng)領(lǐng)作用，而且對(duì)于發(fā)展學(xué)生的抽象思維和符號(hào)語(yǔ)言意識(shí)、幫助學(xué)生建立模型思想具有重要的意義，影響著高中數(shù)學(xué)中所有函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

[?]從CK的角度來(lái)看

CK（內(nèi)容知識(shí)）是指教師具備的數(shù)學(xué)學(xué)科概念及其他知識(shí)，即教師要掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、內(nèi)涵和外延以及學(xué)科內(nèi)和學(xué)科間的聯(lián)系，也就是“教什么”的問(wèn)題.

1. “課程標(biāo)準(zhǔn)”分析

“初中課程標(biāo)準(zhǔn)”的要求是通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)例，了解函數(shù)的概念和三種表示方法[3];“高中課程標(biāo)準(zhǔn)”的要求是通過(guò)學(xué)生日常生活中熟悉的實(shí)例，用變量的關(guān)系，從集合的角度描述函數(shù)概念，通過(guò)學(xué)習(xí)建立完整的函數(shù)概念，深刻理解對(duì)應(yīng)關(guān)系和符號(hào)的意義.

2. 高中教材分析

（1）高中教材（人教A版，后同）的“函數(shù)的概念和性質(zhì)”位于“一元二次函數(shù)”和“冪函數(shù)”之間. 通過(guò)回顧初中熟悉的一元二次函數(shù)模型，再?gòu)募辖嵌葘W(xué)習(xí)函數(shù)概念和性質(zhì)，緊跟著學(xué)習(xí)冪函數(shù)，鞏固研究函數(shù)的一般思路和方法. 在函數(shù)的概念教學(xué)中，應(yīng)該把握概念教學(xué)的基本路徑，增強(qiáng)教學(xué)的整體性.

（2）注重現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境的設(shè)置. 教材通過(guò)四個(gè)日常生活中的真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生思考“上述問(wèn)題中的函數(shù)有哪些共同特征？”由此概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征. 在豐富的活動(dòng)情境中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

（3）例題、習(xí)題的設(shè)置有梯度，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和建模能力. 教材注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容本身的背景和模型應(yīng)用，重視發(fā)展學(xué)生的抽象思維和符號(hào)語(yǔ)言意識(shí).

綜合以上分析，高中的“函數(shù)概念”對(duì)內(nèi)容知識(shí)（CK）有以下要求：

（1）對(duì)函數(shù)三要素、“集合對(duì)應(yīng)說(shuō)”的理解不能停留于表面;

（2）掌握函數(shù)與方程、不等式之間的密切聯(lián)系，課堂問(wèn)題的設(shè)置要呈現(xiàn)梯度;

（3）運(yùn)用函數(shù)觀察、研究事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律是一種重要的思想，函數(shù)是客觀世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要模型;

（4）整體而言，要從整個(gè)單元的高度進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)，讓學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握知識(shí).

[?]從MK的角度來(lái)看

MK（數(shù)學(xué)知識(shí)）需要結(jié)合學(xué)生已有知識(shí)和認(rèn)知水平來(lái)分析教學(xué)內(nèi)容，從知識(shí)內(nèi)容、思想方法、能力素養(yǎng)等方面分析學(xué)生已經(jīng)掌握的情況，即教師要掌握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)的情況. 同時(shí)，教師要了解學(xué)生在高中函數(shù)概念學(xué)習(xí)中可能遇到的知識(shí)困難和思維障礙，也就是“學(xué)什么”的問(wèn)題.

1. 知識(shí)層面

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)從“變量說(shuō)”層面學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)概念，并且學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，這是高中階段從“對(duì)應(yīng)說(shuō)”層面學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基礎(chǔ). 以初中所學(xué)的函數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)，在“預(yù)備知識(shí)”（必修第一冊(cè)第二章）中回顧梳理了二次函數(shù)知識(shí). 這樣學(xué)生就充分具備了進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念的最近發(fā)展區(qū)知識(shí). 但是，為什么要重新定義函數(shù)概念？如何通過(guò)實(shí)例體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的真正含義和函數(shù)的抽象符號(hào)表示？解答這些問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較困難的.

2. 思想方法、核心素養(yǎng)層面

在初中階段，通過(guò)具體函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步培養(yǎng)了學(xué)生函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 高中教材在實(shí)例分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)比較、歸納、總結(jié)出不同案例的共同特征，建立函數(shù)概念，這是在初中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過(guò)程. 因此，要讓學(xué)生充分觀察、分析、歸納（舍棄無(wú)關(guān)信息，聚集關(guān)鍵特征，獲得共同屬性），形成總結(jié)函數(shù)概念所需要的素材，然后歸納總結(jié)函數(shù)三要素，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和創(chuàng)新精神[4]. 構(gòu)建問(wèn)題情境解釋函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)的模型應(yīng)用，強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

根據(jù)以上分析，筆者認(rèn)為做好初高中函數(shù)概念教學(xué)銜接的關(guān)鍵是：以初中階段已學(xué)的函數(shù)知識(shí)（變量之間的依賴關(guān)系）為基礎(chǔ)，用數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)描述函數(shù)，建立新的函數(shù)定義，理解新定義的必要性，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

[?]從PK的角度來(lái)看

PK（教學(xué)法知識(shí)）就是教師在MK和CK的基礎(chǔ)上，具體落實(shí)課堂教學(xué)內(nèi)容. 換句話講，就是教師根據(jù)MK確定教學(xué)重點(diǎn)，根據(jù)CK確定教學(xué)難點(diǎn)，并有針對(duì)性地提出突出重點(diǎn)和突破難點(diǎn)的策略，創(chuàng)設(shè)合適的情境，設(shè)置合理的問(wèn)題，利用多種途徑獲取能夠反饋學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的信息. 綜合各方因素，選擇合適的教學(xué)策略，做好相關(guān)的概念表征來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念知識(shí)體系，等等. 簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是“怎么教”的問(wèn)題.

1. 用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言建立函數(shù)概念

（1）具體實(shí)例，感知概念

教材中的實(shí)例1是“復(fù)興號(hào)”高速列車行進(jìn)的路程和運(yùn)行時(shí)間的關(guān)系，回顧初中階段所學(xué)的“變量說(shuō)”函數(shù)概念，同時(shí)強(qiáng)調(diào)運(yùn)行時(shí)間的變化范圍;課堂中，教師由此可以提出問(wèn)題：你認(rèn)為怎樣描述才能準(zhǔn)確反映這個(gè)問(wèn)題情境中的函數(shù)？教師在與學(xué)生討論的基礎(chǔ)上給出表述的示范.

實(shí)例2是工人工資與工作天數(shù)的關(guān)系，是離散型函數(shù);課堂中，教師可以讓學(xué)生模仿實(shí)例1給出精確的表述，然后設(shè)置“問(wèn)題串”：?jiǎn)栴}1，比較實(shí)例1與實(shí)例2，是同一個(gè)函數(shù)嗎？問(wèn)題2，這兩個(gè)函數(shù)有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為什么不是同一個(gè)函數(shù)？問(wèn)題3，你認(rèn)為影響兩個(gè)函數(shù)不同的要素有哪些？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到不能只由對(duì)應(yīng)關(guān)系相同判定兩個(gè)函數(shù)相同，促使學(xué)生思考怎樣區(qū)別不同的函數(shù)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)自變量的變化范圍的重要性，歸納概括出函數(shù)三要素.

實(shí)例3將“空氣質(zhì)量指數(shù)”的函數(shù)關(guān)系用圖像表示，體會(huì)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是不容易的. 課堂中，教師必須給學(xué)生適當(dāng)?shù)拈喿x思考的時(shí)間，可以給出以下幾個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考探索：?jiǎn)栴}1，根據(jù)給出的圖像，你能說(shuō)出8：00的空氣質(zhì)量指數(shù)值I嗎？你能說(shuō)出16：00的空氣質(zhì)量指數(shù)值I嗎？問(wèn)題2，給定任意時(shí)刻t，能確定空氣質(zhì)量指數(shù)值I嗎？問(wèn)題3，給定時(shí)間t，如何找到唯一確定的I與它對(duì)應(yīng)？（讓學(xué)生在圖上先找出來(lái)，再把對(duì)應(yīng)過(guò)程表達(dá)出來(lái)——體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系）問(wèn)題4，I是t的函數(shù)嗎？函數(shù)的解析式是什么？問(wèn)題5，這個(gè)函數(shù)可以怎樣表示？（體會(huì)用符號(hào)表示的必要性）問(wèn)題6，模仿實(shí)例1和實(shí)例2，你能用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題情境中的函數(shù)嗎？I的取值范圍無(wú)法完全確定，這是學(xué)生在初中函數(shù)學(xué)習(xí)中不具備的，教師要適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生可以通過(guò)引入一個(gè)較大范圍的集合，使函數(shù)值“落在范圍內(nèi)”（為區(qū)分函數(shù)概念中的集合B和函數(shù)的值域做好鋪墊）.

實(shí)例4提供的是恩格爾系數(shù)表，學(xué)生在初中已經(jīng)知道可以用表格表示函數(shù)，實(shí)例4能進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)用表格表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為函數(shù)的符號(hào)表示做好了充分的鋪墊.

（2）歸納函數(shù)概念

課堂上首先可以設(shè)置以下幾個(gè)問(wèn)題：實(shí)例1至實(shí)例4的四個(gè)函數(shù)的共同特征有哪些？你能由此總結(jié)概括出函數(shù)的一般特征嗎？教學(xué)中一定要給予充分的時(shí)間讓學(xué)生總結(jié)歸納，當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)教師再適時(shí)提醒他們重新回顧實(shí)例中對(duì)函數(shù)的表述，然后師生一起概括出函數(shù)的本質(zhì)特征，最后由教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：我們可以用圖像、表格、解析式等方式表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 為了方便統(tǒng)一表述，用符號(hào)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系.

筆者認(rèn)為，在函數(shù)概念教學(xué)中，可以設(shè)置學(xué)生熟悉的日常生活情境，引導(dǎo)學(xué)生在多個(gè)情境中聚焦共性;可以設(shè)置有梯度的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)情境中概括出共同特征，總結(jié)得到函數(shù)的一般特征. 在這個(gè)過(guò)程中可以落實(shí)學(xué)生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2. 用具體實(shí)例體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的真正含義

學(xué)生對(duì)函數(shù)概念中的“任意”“唯一”是比較難以理解的，如果教師只是強(qiáng)調(diào)這些字眼，然后就進(jìn)入解題訓(xùn)練，這樣做的效果是不太好的. 為了讓學(xué)生更好地理解函數(shù)概念，筆者設(shè)置了三個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1，我們學(xué)習(xí)了新的函數(shù)概念，那你能用新概念解釋舊知識(shí)嗎？例如一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，你會(huì)怎樣表述這些函數(shù)呢？問(wèn)題2，你能構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x（10-x）來(lái)表述嗎？問(wèn)題3，y=t2（t∈R），y=x2（x∈R）是同一個(gè)函數(shù)嗎？引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的定義與要素進(jìn)行判斷，加深理解函數(shù)符號(hào)y=f（x），進(jìn)一步體會(huì)“f”是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在這個(gè)過(guò)程中可以落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

總之，作為青年教師，一定要認(rèn)識(shí)到PCK對(duì)自身專業(yè)成長(zhǎng)的重要性. 在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，多反思自己的教學(xué)過(guò)程，從CK，MK，PK三個(gè)維度提升自己的能力. 有了豐富的學(xué)識(shí)，良好的表達(dá)能力，并且能站在學(xué)生的立場(chǎng)進(jìn)行思考，自然就會(huì)發(fā)展出許多不同的教學(xué)策略，使用不同的教學(xué)表征讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 劉璇燕. 國(guó)內(nèi)關(guān)于學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）的研究綜述及其對(duì)師資培訓(xùn)的啟示[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2010（06）：10-13.

[3]? 中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4]? 章建躍. 第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”教材介紹與教學(xué)建議[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（10）：17-24.