劉天明

[摘? 要] 應(yīng)用類比法可以將相關(guān)或相似的內(nèi)容進行串聯(lián)，形成清晰的知識脈絡(luò)，進而實現(xiàn)化多為少;同時，應(yīng)用類比法是在原有認知上的一種新知建構(gòu)，這樣從熟悉的內(nèi)容出發(fā)，有助于淡化新知的抽象感和陌生感，進而實現(xiàn)化難為易. 可見，應(yīng)用類比法可以有效攻克高中數(shù)學(xué)“多”和“難”兩座大山，促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

[關(guān)鍵詞] 類比;化多為少;化難為易

數(shù)學(xué)知識具有較強的邏輯性，前面所學(xué)的內(nèi)容往往是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，為了便于知識的遷移和內(nèi)化，在教學(xué)中要多關(guān)注新舊知識點的聯(lián)系，從而引導(dǎo)學(xué)生建立完整的知識體系，形成良好的認知結(jié)構(gòu). 良好的認知結(jié)構(gòu)應(yīng)具有一定的層次性和關(guān)聯(lián)性，而要形成良好的認知結(jié)構(gòu)需要在教學(xué)中采用一些手段，類比法就是行之有效的教學(xué)手段之一. 通過類比不僅可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)清晰的知識脈絡(luò)，而且通過類比有助于知識的深化，提升學(xué)生的思辨能力. 教學(xué)實踐表明，培養(yǎng)學(xué)生良好的認知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù)，是后續(xù)學(xué)習(xí)的核心條件，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯分析能力的前提和關(guān)鍵. 基于此，筆者選取了在“不等關(guān)系”教學(xué)中的幾個片段，展示了類比法的重要價值，以期共鑒.

[?]教學(xué)活動設(shè)計

1. 新舊類比，形成良好的認知結(jié)構(gòu)

【教學(xué)片段1】

師：當你看到“不等式”這個標題時，你感覺這個內(nèi)容與之前學(xué)習(xí)的哪些內(nèi)容可能存在一定的聯(lián)系呢？

生1：一元一次方程.

生2：一元二次方程.

生3：一元一次不等式.

師：大家說得很好，這些內(nèi)容確實與今天要學(xué)的知識密切相關(guān). 生1和生2說的方程是等式，生3說的是不等式，看來大家已經(jīng)將“等式”與“不等式”建立了聯(lián)系，已經(jīng)形成了一個“認知鏈”，本節(jié)課就順著這個思路開啟我們的探究之旅.

師：現(xiàn)在先回憶一下與等式相關(guān)的知識，你能列舉一個關(guān)于恒成立的例子嗎？

生4：（a+b）2=a2+2ab+b2.

師：很好. 如果讓你列舉一個關(guān)于解等式的例子，你會想到什么呢？

生5：方程. 比如……

師：很好，其實我們在研究等式時主要就解決了兩個問題：一是恒成立問題，二是解方程. 猜想一下，研究不等式主要是哪些內(nèi)容呢？

設(shè)計意圖：對于“如何研究不等式”這一問題，教師并沒有開門見山地提出，而是先讓學(xué)生回顧“如何研究等式”，在教師的引導(dǎo)下總結(jié)和歸納出研究等式的主要內(nèi)容，然后通過類比推出研究不等式的主要內(nèi)容是證明不等式恒成立和解不等式. 巧妙地通過類比法引入主題，不僅讓學(xué)生了解到了要研究的主要內(nèi)容是什么，而且與之前所學(xué)的知識建立了聯(lián)系，這樣便于學(xué)生將不等式的內(nèi)容內(nèi)化至已有的等式認知體系中，從而形成良好的認知結(jié)構(gòu).

2. 類比性質(zhì)，提升學(xué)生的思辨能力

【教學(xué)片段2】

師：若a=b，則ac=bc，這個等式恒成立嗎？

生齊聲答：恒成立.

師：很好，那么類比上面等式的性質(zhì)，你聯(lián)想到了什么呢？

生6：若a>b，則ac>bc.

師：很好，現(xiàn)在請大家驗證一下，這個不等式是否恒成立呢？（問題給出后學(xué)生積極地進行實驗，利用特殊值法很快得出了答案）

生7：不一定成立. 這個不等式是否成立與c值有關(guān)：若c>0，則不等式成立;若c≤0，則不等式不成立.

師：非常好. 看來大家觀察得非常仔細，對于很多相同或相似的問題要仔細推敲，切勿盲目套用，這是在類比推理和知識遷移時必須關(guān)注的問題.

設(shè)計意圖：在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生學(xué)習(xí)時過于表面化和形式化，缺乏良好的思辨能力，當遇到形似的問題時就喜歡照抄照搬，從而因忽略了問題的本質(zhì)而造成了錯誤. 比如，由等式的性質(zhì)“若a=b，則ac=bc”，直接進行形式類比，得到“若a>b，則ac>bc”這一錯誤的結(jié)論. 教學(xué)時，教師故意預(yù)設(shè)陷阱，引導(dǎo)學(xué)生進行驗證和反思，進而啟發(fā)學(xué)生在應(yīng)用類比法時要避免出現(xiàn)形式類比，要學(xué)會深入問題的本質(zhì)去思考問題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和全面性.

3. 類比方法，提升自學(xué)能力

【教學(xué)片段3】

師：大家一起分析了不等式與等式之間的聯(lián)系，生3還提出了一元一次不等式. 確實，初中學(xué)習(xí)的一元一次不等式為我們下面的探究提供了堅實的基礎(chǔ). 現(xiàn)在一起回顧一下與一元一次不等式相關(guān)的內(nèi)容.

師：以求x+1<0的解集為例，如果通過函數(shù)圖像進行研究，你能簡單說明一下具體的過程嗎？（教師預(yù)留時間讓學(xué)生回憶舊知，并組織好數(shù)學(xué)語言進行準確的表述）

生8：首先，構(gòu)造一元一次函數(shù)，即將不等式x+1<0轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x+1;接下來，繪制函數(shù)y=x+1的圖像，令y=0，可知圖像與x軸的交點為（-1，0）. 要使x+1<0，即使y<0. 觀察函數(shù)y=x+1的圖像及其與x軸的交點容易得出：當x<-1時，對應(yīng)的y值恒小于0. 由此可得不等式x+1<0的解集為x<-1.

師：說得非常好，思維清晰，語言表達準確. 那么如何求一元二次不等式x2+2<3的解集呢？

生9：首先將x2+2<3變形，轉(zhuǎn)化為x2-1<0，這樣方便求解.

師：說得很好. 類比一元一次不等式的求解過程，請小組合作探究x2-1<0的解集應(yīng)該如何去求. （教師預(yù)留時間讓學(xué)生進行組內(nèi)交流）

生10：同前面所學(xué)的方法一樣，首先構(gòu)造一元二次函數(shù)y=x2-1，并作出該函數(shù)的圖像;然后令y=0，該函數(shù)與x軸的交點為（-1，0），（1，0）. 要使x2-1<0，即使y<0，結(jié)合圖像可知：當-1

設(shè)計意圖：很多數(shù)學(xué)知識之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性，解題方法也存在一定的相似性. 因此，要讓學(xué)生明白在學(xué)習(xí)中要善于觀察這些相似或相關(guān)的問題，才能順利地實現(xiàn)知識遷移. 同時，通過類比有助于學(xué)生提升自主學(xué)習(xí)能力，這對學(xué)生來講是至關(guān)重要的，只有學(xué)會學(xué)習(xí)才能在解決問題時毫不費力. 在一元二次不等式解法的探究中，教師將主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自主回顧初中學(xué)過的利用圖像法求一元一次不等式解集的過程，嘗試在原有的認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進行知識遷移，從而發(fā)現(xiàn)一元二次不等式的求解方法.在回憶和探究的過程中充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，提升學(xué)生的解題信心.

[?]教學(xué)反思

“不等關(guān)系”是“不等式”章節(jié)的第一課時內(nèi)容，教材里的內(nèi)容并不多，部分教師講授本節(jié)課內(nèi)容時常感覺無內(nèi)容可講，為了提高教學(xué)進度常將其與第二課時內(nèi)容合并在一起進行講解，還有部分教師應(yīng)用大量的實例讓學(xué)生感受不等關(guān)系，這樣的教學(xué)方式顯得急于求成和枯燥乏味了. 筆者在教學(xué)中利用類比法組織教學(xué)，在原有的課本內(nèi)容的基礎(chǔ)上略有提升，不僅引出了本章的主題，而且還帶領(lǐng)學(xué)生分析了本章的主要教學(xué)內(nèi)容和研究方法，讓學(xué)生先從整體上形成對不等式的認識，這樣不僅有助于學(xué)生后期完善良好的認知結(jié)構(gòu)，而且為后續(xù)教學(xué)奠定了堅實的基礎(chǔ). 但在應(yīng)用類比法時還需要注意以下兩點：

1. 關(guān)注原有的認知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識之間具有一定的關(guān)聯(lián)性，新知并非是孤立存在的，而是在原有認知結(jié)構(gòu)上的知識建構(gòu)，因此在探究時要善于調(diào)動原有認知. 類比法就是利用原有認知為新知探究架橋鋪路的，這樣不僅可以使原有認知得以深化，而且還能豐富原有認知，便于知識體系的完善和新知的內(nèi)化. 如在探究一元二次不等式時就是以一元一次不等式的研究方法為起點的，為新知的探究提供了重要的參考依據(jù). 在教學(xué)中，要重視原有認知的開發(fā)和利用，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生運用類比法完成新知的建構(gòu)，這樣有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有助于學(xué)生提升自主學(xué)習(xí)能力.

2. 提高可辨別性

數(shù)學(xué)知識雖然存在著千絲萬縷的聯(lián)系，然問題本質(zhì)往往又是千差萬別的，所以提升認知結(jié)構(gòu)的可辨別性是類比學(xué)習(xí)的一項重點內(nèi)容. 若不重視知識之間的區(qū)別，解題時就容易出現(xiàn)張冠李戴，那么將失去類比學(xué)習(xí)原有的價值. 比如，根據(jù)“若a=b，則ac=bc”推導(dǎo)出“若a>b，則ac>bc”，這種遷移就是一種負遷移，這種現(xiàn)象在教學(xué)中應(yīng)引起教師的高度重視. 教學(xué)中可通過設(shè)置問題、設(shè)計陷阱等手段引導(dǎo)學(xué)生反思，進而發(fā)揮類比學(xué)習(xí)的價值，提高學(xué)生的思辨能力，實現(xiàn)知識的正遷移.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理應(yīng)用類比法不僅可以豐富教學(xué)內(nèi)容，而且有助于學(xué)生建構(gòu)和完善認知體系. 教師要善于從學(xué)生的原有認知出發(fā)，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生可以站在更高處看清學(xué)習(xí)的內(nèi)容，最大限度地拓展學(xué)生的視野，促進學(xué)生不斷提升學(xué)習(xí)能力.