薛超

三角函數(shù)最值問題具有較強(qiáng)的綜合性，主要考查同學(xué)們對三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、公式等知識點(diǎn)的掌握情況.此類問題的常見命題形式是根據(jù)已知函數(shù)式求最值，下面重點(diǎn)探討一下三類三角函數(shù)的最的求法.

一、y = a sin x + b cos x 型

形如 y = a sin x + b cos x 的三角函數(shù)式中同時含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，并且都是一次式.可先根據(jù)輔助角公式 a sin x + b cos x = cos（x +θ）=?sin（x +φ），其中 tan θ= ，tan φ= ，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角、只含一種函數(shù)名稱的三角函數(shù)，即可根據(jù)正弦或者余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得三角函數(shù)式的最值.

例1.若-≤ x ≤，求函數(shù) f （x）= sin x + cos x的最值.

解：

二、y = a sin2 x + b cos x + c 型

y = a sin2 x + b cosx + c 型函數(shù)式中同時含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，且其中一個是二次式.求 y = a sin2 x +b cos x + c 型三角函數(shù)式的最值，往往要利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2 x + cos2 x =1將函數(shù)式化為只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的式子，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.這樣目標(biāo)函數(shù)就成為復(fù)合函數(shù)，需遵循“同增異減”的原則來討論定義域上函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值.

例2.

解：

三、型

這種類型的三角函數(shù)式為分式，且分子和分母中分別含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù).求解此類三角函數(shù)最值問題，需將y看作參數(shù)，再根據(jù)輔助角公式將函數(shù)式化為只含一個角、一種函數(shù)名稱的式子，根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式，解該不等式即可求得y的取值范圍，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

例3.

解：

三角函數(shù)最值問題的命題形式多種多樣，同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中要學(xué)會總結(jié)歸納，將形式、解法相同的題目放在一起對比、分析，以便總結(jié)出一類題目的通性通法，這樣不僅能提升學(xué)習(xí)的效率，還有利于培養(yǎng)抽象思維能力.

本文系江蘇省陶研會立項(xiàng)課題《高中生小組合作學(xué)習(xí)下數(shù)學(xué)錯題反思的有效性研究》（課題批準(zhǔn)文號：JSTY624）研究成果.