丁玉霞

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要板塊，也是高考數(shù)學(xué)試題中的重要考查內(nèi)容.三角函數(shù)問題側(cè)重于考查三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、公式以及進(jìn)行三角恒等變換的技巧.常見的考點有：求三角函數(shù)的值、求三角函數(shù)的最值、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求三角函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心、三角函數(shù)的圖象變換等.下面結(jié)合實例對三角函數(shù)中的常見考點進(jìn)行分析.

考點一：求三角函數(shù)的值

三角函數(shù)的求值問題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于中等難度題目.常見的考查形式有：（1）根據(jù)已知角求三角函數(shù)的值;（2）根據(jù)已知三角函數(shù)的值求另一個三角函數(shù)的值;（3）根據(jù)已知三角函數(shù)的值求角.解答這類問題，考生既要熟練掌握三角函數(shù)中的基本公式，還要學(xué)會“變用”和“逆用”這些公式.

例1

解：

要求得 sin（α+β），需構(gòu)造出α+β，可聯(lián)想到兩角和的正弦公式.于是將已知的兩式平方，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2α+ cos2β=1得到 sin α cosβ+ cos α sinβ，便可根據(jù)兩角和的正弦公式求得三角函數(shù)的值.

例2.

解：

本題較為簡單，已知關(guān)系式中的角與所求目標(biāo)式中的角成2倍關(guān)系，運(yùn)用余弦的二倍角公式進(jìn)行求解即可.在進(jìn)行三角恒等變換的過程中，有時需注意角的取值范圍，以便確定三角函數(shù)值的符號.

考點二：求三角函數(shù)的最值

求三角函數(shù)的最值，通常要求根據(jù)已知的三角函數(shù)式求最值，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，中等難度.解答此類問題，往往需先利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式、二倍角公式、和差公式等進(jìn)行三角恒等變換，將三角函數(shù)式化簡為只含有一種函數(shù)名稱、一個角的最簡形式.若函數(shù)式的最簡形式為單項式，可根據(jù)該三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求最值;若函數(shù)式的最簡形式為多項式，需通過換元，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的函數(shù)式，利用二次函數(shù)、對勾函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式來求最值.

例2

解：

判斷出函數(shù)的周期，便可將問題轉(zhuǎn)化為求 f （x） = 2 sin x + sin 2x 在[0，π）上的最小值.對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極小值，再將其與端點值比較，就能確定三角函數(shù) f （x） 在[0，2π）上的最小值.一般地，對于最簡三角函數(shù)式 f （x）= A sin（ωx + φ）+ B（A > 0），若無法直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，則可考慮用導(dǎo)數(shù)法來求最值.

考點三：考查三角函數(shù)的圖象變換

三角函數(shù)的圖象變換主要包括平移變換、伸縮變換和對稱變換.三角函數(shù)的圖象變換問題主要考查三角函數(shù) f （x）= A sin（ωx + φ）+ B 、f （x）= A cos（ωx + φ）+ B、 f （x）= A tan（ωx + φ）+ B 中的參數(shù)A、ω 、φ 、B對函數(shù)式的影響.一般地，改變A，可將圖象沿著y軸伸長或縮短 A倍;改變 ω ，可將圖象沿著x軸伸長或縮短 1 ω 倍;改變 φ ，可將圖象沿著x軸平移 φ 個單位;改變B，可將圖象沿著y軸平移 φ 個單位.

例3

解

解答函數(shù)圖象變換問題，要先將搞清題目中的變換是平移變換、伸縮變換，還是對稱變換，明確對函數(shù)圖象有影響的量.有時還需將目標(biāo)函數(shù)式與正弦函數(shù) y = sin x、余弦函數(shù) y = cos x、正切函數(shù) y = tan x 進(jìn)行對比，才能確定變化的量.

考點四：考查三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)的性質(zhì)主要有周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性.考查三角函數(shù)性質(zhì)的問題一般出現(xiàn)在解答題中，屬于難度較大的題目.此類問題的命題形式靈活多變，常見的有求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求三角函數(shù)的周期、求三角函數(shù)在某個區(qū)間上的對稱軸、判斷三角函數(shù)的奇偶性.解答此類問題，需先將函數(shù)式化簡為 f （x）= A sin（ωx + φ）+ B、f （x）= A cos（ωx + φ）+ B、f （x）= A tan（ωx + φ）+ B 的形式，然后根據(jù)正弦函數(shù) y = sin x、余弦函數(shù) y = cos x、正切函數(shù) y = tan x 的周期、單調(diào)性、對稱性建立關(guān)系式，通過整體代換解題.

例4

解：

我們將 f （x）= 2sin （x + π 6 ） +1 與 y = sin x 對比，將 x + π 6 整體看作 y = sin x 中的 x，那么 y = sin x 的單調(diào)區(qū)間即為 f （x）= 2sin （x + π 6 ） +1的單調(diào)區(qū)間，求得 x + π 6 中 x 的取值范圍即可解題.

例子5

解：

一般地，可利用公式 T = 2π ω （ω>0）求周期;可根據(jù)自變量的范圍確定ωx + φ 的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心，列不等式求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+t、y=Acos（ωx+φ）+t、 y=Atan（ωx+φ）+t的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心;可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷三角函數(shù)的奇偶性.

三角函數(shù)問題在高考中占比較大，同學(xué)們要重視對這些常見考點的分析與總結(jié)，熟悉一些常見的命題形式和一些常用的解題方法和技巧，這樣才能從容應(yīng)對高考試題中的三角函數(shù)問題.