例談求函數(shù)值域的三種路徑

吳榮

求函數(shù)的值域問(wèn)題側(cè)重于考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、解析式、定義域.此類問(wèn)題的難度一般不大，通常要求根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的值域，函數(shù)的解析式不同，其求值域的途徑也不同.本文主要談一談求函數(shù)值域的三種路徑，

一、數(shù)形結(jié)合

在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，借助函數(shù)的圖象來(lái)分析問(wèn)題，往往能有效提升解題的效率.在求函數(shù)的值域時(shí)，可根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，或根據(jù)代數(shù)式的幾何意義繪制出相應(yīng)的幾何圖形，通過(guò)分析圖象或圖形中點(diǎn)、線的位置關(guān)系，找出臨界的情形，從而求得函數(shù)的值域.

在采用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域時(shí)，要深入挖掘代數(shù)式的幾何意義，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使其與直線的斜率公式、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、圓錐曲線的方程等靠攏，據(jù)此畫出幾何圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求得函數(shù)式的最值.

二、采用反函數(shù)法

利用反函數(shù)法求函數(shù)的值域，需根據(jù)函數(shù)的解析式求得其反函數(shù)，即將x、y的位置替換，用y表示出x，那么原函數(shù)中y的取值范圍即為反函數(shù)的定義域.通過(guò)求反函數(shù)的定義域，進(jìn)而求得函數(shù)的值域，

該函數(shù)式較為復(fù)雜，直接求其值域較為困難，于是采用反函數(shù)法，求其反函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，進(jìn)而得到函數(shù)的值域，

三、換元

對(duì)于一些較為復(fù)雜的函數(shù)式，通常可采用換元法來(lái)求函數(shù)的值域.可將函數(shù)式中頻繁出現(xiàn)的式子、絕對(duì)值內(nèi)部的式子、根號(hào)下的式子用一個(gè)新元替換，以便去掉絕對(duì)值符合、根號(hào)，將函數(shù)式簡(jiǎn)化，求得換元后的函數(shù)式的取值范圍，即可求得函數(shù)的值域，

運(yùn)用換元法求函數(shù)的值域，關(guān)鍵在于選取合適的代數(shù)式進(jìn)行換元，在換元的過(guò)程中，要確保自變量的取值范圍保持不變，

求函數(shù)值域的途徑很多，除了上述三種途徑，還有利用判別式法、分離常數(shù)、利用函數(shù)的單調(diào)性等，在求函數(shù)的值域時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)仔細(xì)分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)換元、構(gòu)造幾何模型、求其反函數(shù)，來(lái)求得函數(shù)的值域.

（作者單位：江蘇省如皋市第二中學(xué)）