對一道高中數(shù)學(xué)課本習(xí)題的多種證法探究

董強

摘要：正方形和正三角形都是平面內(nèi)的對稱圖形，證明一個三角形為正三角形有很多的方法，可證三角相等、三邊相等、等腰三角形中有一個角為60°等.文章通過一道高中數(shù)學(xué)課本習(xí)題，探究了這些方法.

關(guān)鍵詞：習(xí)題;構(gòu)造;同一法;探究

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）19-0022-03

北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第二章《解三角形》章末復(fù)習(xí)題二B組有一道證明等邊三角形的試題（第65頁第2題），題目是在正方形中有一點，使得其到正方形兩頂點連線與正方形一邊均成15°角，來證明該點與正方形其他兩頂點連線與正方形另一邊形成正三角形.

1 試題呈現(xiàn)

試題如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)的一點，且∠PBC=∠PCB=15°.

2 證法探究

分析考慮到正方形和正三角形的對稱性，可以建立平面直角坐標(biāo)系通過兩點間距離相等證明，或用正余弦定理證明三邊相等，或通過作輔助線利用三角函數(shù)證明三個角均為60°，或通過再構(gòu)造等邊三角形利用平面幾何知識證明原三角形三內(nèi)角相等，或通過設(shè)點或構(gòu)造圓找點構(gòu)造等邊三角形，利用同一法證明等.

評析證法1和證法2的思路均為證明三角形的三邊相等，證法1通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將點坐標(biāo)化，則三角形三邊長度相等問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離相等問題，利用兩點間的距離公式或者向量的模長即可以求解，證法2將邊長問題利用正余弦定理進行解決，從而證得了三角形的三邊相等.這兩種方法是學(xué)生最容易想到也是比較簡單的證法.

評析證法6利用圓的性質(zhì)給出了找到正方形內(nèi)使得目標(biāo)三角形為等邊三角形的點，根據(jù)對稱性，正方形內(nèi)有這樣的四個點，其中每兩個點與正方形四個頂點中距這兩點最近的一個頂點構(gòu)成等邊三角形，這四個點形成的四邊形是一個小正方形.證法7對證法6的過程進行了簡化，將理論中存在的點設(shè)出來，利用同一性證明了等邊三角形.

參考文獻：

[1] 嚴(yán)士健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)5（必修）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 嚴(yán)士健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)5（必修）教師教學(xué)用書[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[責(zé)任編輯：李璟]