摘要：樣本空間和事件中樣本點(diǎn)結(jié)構(gòu)形式與樣本點(diǎn)數(shù)量是求解概率問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是高考命題的熱點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)，文中圍繞該問(wèn)題的解決介紹了相關(guān)思想方法及其思考策略.

關(guān)鍵詞：樣本空間;樣本點(diǎn)形式;樣本點(diǎn)數(shù)量

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）19-0028-04

樣本空間的建構(gòu)問(wèn)題已成為近幾年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，不論全國(guó)卷還是天津卷等在2021年、2020年都有考查相關(guān)知識(shí)的命題出現(xiàn)，可見(jiàn)對(duì)樣本空間建構(gòu)形式與方法必然成為高三復(fù)習(xí)重點(diǎn).文[1]闡述了樣本空間建構(gòu)在解決概率悖論中所起的重要作用，雖然涉獵一些樣本空間建構(gòu)事宜，但缺乏在解決具體概率問(wèn)題方面如何構(gòu)建樣本空間的詳細(xì)說(shuō)明，作為補(bǔ)充，下面重點(diǎn)談?wù)剺颖究臻g建構(gòu)問(wèn)題，以達(dá)到在滿(mǎn)足高三復(fù)習(xí)中對(duì)求解概率問(wèn)題的需求，同時(shí)形成關(guān)于樣本空間在解決概率問(wèn)題所需思想方法等方面比較完整的體系.

1 關(guān)于確定樣本點(diǎn)形式（維度）的思考

樣本點(diǎn)是構(gòu)建樣本空間的關(guān)鍵，搞清楚樣本點(diǎn)形式（維度）是形成正確樣本空間的前提，下面通過(guò)示例說(shuō)明如何確立樣本點(diǎn)形式.

例1拋擲一枚質(zhì)地均勻骰子和一枚質(zhì)地均勻的四個(gè)面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的正四面體，設(shè)事件A是“骰子點(diǎn)數(shù)為3或4”，事件B是“正四面體點(diǎn)數(shù)為1或3”.求事件AB的概率.

解析如果我們把A，B對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)分別確立為事件A：3，4;事件B：1，3，由此得出事件AB樣本點(diǎn)是3，顯然是錯(cuò)誤的.原因是，在確立樣本點(diǎn)形式時(shí)，一般要從三個(gè)層面來(lái)思考：

一是要基于事件A，B形成的條件來(lái)進(jìn)行思考.就此而言，本題樣本點(diǎn)是由拋擲骰子和四面體產(chǎn)生的，每次試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)的是兩個(gè)量，即骰子和四面體出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，從這個(gè)意義上講樣本點(diǎn)應(yīng)該是二維的.

二是基于由事件A，B出發(fā)求事件AB來(lái)思考.教材中定義事件AB運(yùn)算就是通過(guò)集合的交集運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)的，從這個(gè)意義上講，不同意義形成的兩個(gè)事件A，B只有是二維形式才可運(yùn)算.

三是基于古典概型中樣本點(diǎn)等可能性的要求.從這個(gè)意義上講，樣本點(diǎn)一定體現(xiàn)出骰子和四面體隨機(jī)出現(xiàn)的所有點(diǎn)數(shù).

綜合上述，該問(wèn)題的樣本點(diǎn)應(yīng)該確立為“（骰子點(diǎn)數(shù)，四面體點(diǎn)數(shù)）”的形式（也可確立為（四面體點(diǎn)數(shù)，骰子點(diǎn)數(shù)）的形式）.

據(jù)此，事件A的樣本點(diǎn)是：（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）.

同理，事件B的樣本點(diǎn)是：（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）.

事件AB的樣本點(diǎn)為：（3，1）（3，3）（4，1）（4，3）.其概率求解略，在此不多贅述（以下各示例相同）.

例2拋擲一枚質(zhì)地均勻骰子，設(shè)事件A是“骰子點(diǎn)數(shù)為3或4”，事件B是“點(diǎn)數(shù)為1或3”.求事件AB的概率.

解析基于例1的思考及由事件A，B形成的條件、其運(yùn)算要求、古典概型的等可能性這三個(gè)層面的思考，其樣本點(diǎn)應(yīng)該確立為一維的.

即：事件A對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)是：3，4;

事件A對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)是1，3.

所以AB對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)是：3.

列舉這兩個(gè)示例的目的是方便讀者在體會(huì)確立樣本形式（維度）時(shí)進(jìn)行對(duì)照分析.

2 關(guān)于確定樣本點(diǎn)數(shù)量的思考

解決了樣本點(diǎn)的形式（維度）不等于能解決概率問(wèn)題，還存在樣本空間中樣本點(diǎn)的數(shù)量問(wèn)題，下面通過(guò)示例說(shuō)明如何確立樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)量問(wèn)題.

例3已知盒中有質(zhì)地均勻、無(wú)差別黑球和白球共計(jì)12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)從盒中一次隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出兩球?yàn)橐缓谝话椎母怕?

解析由上述論述知，一次取兩個(gè)球的樣本點(diǎn)一定是二維的，形式是“兩黑、一黑一白、兩白”，但樣本空間不能是{（黑球、黑球）、（黑球，白球）、（白球，白球）}，原因是古典概型中“等可能”的要求沒(méi)有得到體現(xiàn).

事實(shí)上，從等可能角度已知條件已經(jīng)決定了樣本點(diǎn)（黑球、黑球）的數(shù)量必然要多于（白球、白球）的數(shù)量.

從運(yùn)用計(jì)數(shù)方法計(jì)算可知：樣本空間中（黑球、黑球）樣本點(diǎn)有28個(gè)點(diǎn)對(duì)，（黑球，白球）有32個(gè)點(diǎn)對(duì)，（白球，白球）有6對(duì)，樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)為66對(duì)（這些數(shù)據(jù)運(yùn)用組合計(jì)數(shù)知識(shí)易得，其概率求解是顯然的，在此不多贅述，以下同此），所以，是否滿(mǎn)足等可能是思考解決這類(lèi)問(wèn)題的根本.

3 關(guān)于樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)量計(jì)算方法與不同取法關(guān)系的思考

在實(shí)際概率問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)有放回、不放回等取法問(wèn)題，涉及計(jì)數(shù)方法的選擇問(wèn)題，下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明如何選擇計(jì)數(shù)工具來(lái)解決不同取法與計(jì)算樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

3.1 有放回取法

有放回取法是指取出計(jì)數(shù)后，又放回的選取過(guò)程，其特征是一次取法輪回的結(jié)果是已知條件始終不變，所以從計(jì)數(shù)方法角度講就是可重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題，從概率角度講就是各取法之間相互獨(dú)立，下面通過(guò)示例說(shuō)明.

例4已知盒中有質(zhì)地均勻、無(wú)差別黑球和白球共計(jì)12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)每次從盒中隨機(jī)取一個(gè)球后再放回，連續(xù)取兩次，求取出兩球?yàn)橐缓谝话椎母怕?

解析由于每次取一個(gè)，取出后又放回，所以再次取時(shí)的狀況與上次一致，也就是每次取完，盒中球數(shù)、色澤等均不變化，所以樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)算采取可重復(fù)元素的乘法原理來(lái)進(jìn)行，其數(shù)量為12×12=144.

同理事件“兩球?yàn)橐缓谝话住钡臉颖军c(diǎn)采取第一次取黑球或白球進(jìn)行討論，再借助乘法計(jì)數(shù)原理的方法來(lái)計(jì)算，其數(shù)量為8×4+4×8=64.

3.2 不放回取法

不放回取法是指取出后不再放回的選取過(guò)程，其特征是已知條件是變化的，從計(jì)數(shù)角度講就是不可重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題.從計(jì)數(shù)方法角度講一般是采取排列、組合的計(jì)數(shù)方法（因?yàn)榕帕?、組合就是不放回計(jì)數(shù)方法），從概率角度講就是各取法之間不相互獨(dú)立.下面通過(guò)示例說(shuō)明.

3.2.1 一次取一個(gè)，連續(xù)取兩次的不放回取法

例5已知盒中有質(zhì)地均勻、無(wú)差別黑球和白球共計(jì)12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)每次從盒中隨機(jī)取一個(gè)球連續(xù)取兩次（取出后不再放回），求取出兩球?yàn)橐缓谝话椎母怕?

解析由于每次取出后不再放回，所以再次取時(shí)的狀況與上次不一致，也就是盒中球數(shù)、色澤等均發(fā)生變化，由于涉及第一、二次取問(wèn)題，所以計(jì)算樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)采用排列數(shù)計(jì)數(shù)方法，其數(shù)量為12×11=132.

同理，事件“出兩球?yàn)橐缓谝话住钡臉颖军c(diǎn)8×4+4×8=64.

3.2.2 一次取兩個(gè)的不放回取法

例6已知盒中有質(zhì)地均勻、無(wú)差別黑球和白球共計(jì)12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)從盒中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出兩球?yàn)橐缓谝话椎母怕?

解析由于每次取出兩個(gè)球，樣本點(diǎn)結(jié)構(gòu)不涉及兩球之間的順序問(wèn)題，因此體現(xiàn)在樣本空間和事件中的樣本點(diǎn)計(jì)數(shù)方法都是組合思想.

3.3 其它可重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題

例7A，B，C，D四位同學(xué)參加四個(gè)學(xué)生社團(tuán)，要求每人只參加一個(gè).設(shè)事件M表示“四位同學(xué)參加的學(xué)生社團(tuán)各不相同”，事件N表示“同學(xué)A獨(dú)自參加一個(gè)社團(tuán)”，求P（M|N）.

解析題中條件要求是除同學(xué)A獨(dú)自參加一個(gè)社團(tuán)外，其它同學(xué)可以一個(gè)社團(tuán)有多名學(xué)生，每人不可參加多個(gè)社團(tuán)，所以求解樣本空間中的樣本點(diǎn)數(shù)量采用重復(fù)計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理的方法來(lái)進(jìn)行，即樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4×3×3×3=108.

由以上示例可以看出，不同取法與樣本空間樣本點(diǎn)數(shù)量求解其實(shí)就是計(jì)數(shù)原理來(lái)決定的，只要結(jié)合題目條件，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)數(shù)原理，所有問(wèn)題都能迎刃而解.

4 關(guān)于樣本空間分割在求解概率問(wèn)題的思考

恰當(dāng)?shù)貙?duì)樣本空間進(jìn)行分割可以簡(jiǎn)化概率運(yùn)算，下面通過(guò)示例談?wù)勅绾畏指顦颖究臻g求解概率問(wèn)題.

例8全國(guó)掀起的新考改帶來(lái)志愿填報(bào)方式及數(shù)量的新變化.如某省本科志愿填報(bào)時(shí)，設(shè)置了80個(gè)“專(zhuān)業(yè)+院?！钡钠叫兄驹福ǜ鳌皩?zhuān)業(yè)+院?！蹦芊皲浫∠嗷オ?dú)立）欄目供考生填寫(xiě)，由此也產(chǎn)生“沖、保、穩(wěn)”等很多填報(bào)策略.某高中畢業(yè)考生在志愿填報(bào)時(shí)連續(xù)選擇填報(bào)了20個(gè)錄取概率為0.1的“專(zhuān)業(yè)+院?！敝驹?，問(wèn)該考生能被這些高校中某個(gè)錄取的概率.

解析由已知得該樣本空間可分割為兩個(gè)部分，一部分是被錄取的樣本點(diǎn)構(gòu)成，另一部分是由沒(méi)有被任何院校錄取的樣本點(diǎn)構(gòu)成，而兩者剛好是對(duì)立事件，因此下列解法就顯得十分簡(jiǎn)潔.

考生沒(méi)有被任何一所院校錄取的概率為：0.9²⁰≈0.12，所以考生能被所填報(bào)的高校中某個(gè)錄取的概率為1-0.12=0.88;

由此可見(jiàn)，該考生被錄取的可能性很大，所以從概率角度講，在填報(bào)志愿時(shí)，大膽選擇一些錄取可能性很小的高校進(jìn)行填報(bào)的策略是可行的.

例9轟炸機(jī)轟炸某目標(biāo)，它飛到距離目標(biāo)400米、200米、100米處的概率分別是0.5，0.3，0.2，它在距離目標(biāo)400米、200米、100米時(shí)投彈命中率為0.01，0.02，0.1，求目標(biāo)被命中的概率.

解析由已知得，飛機(jī)轟炸目標(biāo)投彈只是在400米、300米、100米的情況下進(jìn)行的，也就是目標(biāo)被命中與否是在這三種狀況下進(jìn)行討論的，所以樣本空間可被分割為飛到距離目標(biāo)400米、300米、100米這三種情況進(jìn)行投彈，并且目標(biāo)被命中，這樣樣本空間就被分割成三個(gè)部分（400米、300米、100米投彈是否擊中）情況下是否命中的問(wèn)題，也就是全概率問(wèn)題（進(jìn)而借助滿(mǎn)足全概率公式即可解決）.

上述自然語(yǔ)言用符號(hào)語(yǔ)言表述：設(shè)事件A表示“距離目標(biāo)400米投彈”，設(shè)事件B表示“距離目標(biāo)200米投彈”，設(shè)事件C表示“距離目標(biāo)100米投彈”，設(shè)事件D表示“目標(biāo)被命中”.

則事件D=AD+BD+CD.

由于各事件互斥，所以P（D）=P（AD）+P（BD）+P（CD），再利用乘法公式（在此不過(guò)多贅述）即可得P（D）=0.031.

由此可以看出，例9是運(yùn)用對(duì)立事件分割樣本空間，轉(zhuǎn)化為借助對(duì)立事件概率公式求解.例10是采取一般的將樣本空間分割成若干個(gè)互斥事件，轉(zhuǎn)化為借助全概率公式求解.由此可以看出，只要根據(jù)問(wèn)題的條件，采取適當(dāng)分割樣本空間方法就能給解題帶來(lái)方便.

5 關(guān)于轉(zhuǎn)換樣本空間求解概率問(wèn)題的思考

根據(jù)已知條件，采取逐步簡(jiǎn)化樣本空間的辦法求解概率問(wèn)題，也是很好的想法，下面通過(guò)示例說(shuō)明.

例10某家庭有兩個(gè)孩子，求該家庭有一個(gè)男孩時(shí)，另一個(gè)是女孩的概率.

解析該問(wèn)題可以從條件概率求解，也可以通過(guò)樣本空間轉(zhuǎn)換求解.從樣本空間轉(zhuǎn)換角度思考：某家庭有兩個(gè)孩子的樣本空間是：{（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）}.但題目要求是在其中有一個(gè)是男孩時(shí)，討論另一個(gè)是女孩，所以樣本空間可簡(jiǎn)化為：{（男，女）（女，男）（男，男）}，所以其概率為23.

上述所列這些問(wèn)題所提供的思考與思想方法介紹旨在解決概率問(wèn)題過(guò)程中必須搞清楚的知識(shí)點(diǎn)，也是易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn).從近幾年高考命題情況看，可以說(shuō)掌握了文中所列思考與方法，這些高考中的相關(guān)題目都可迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

[1]李偉.關(guān)于高中幾何概型問(wèn)題的幾點(diǎn)注記[J]. 數(shù)理化解題研究，2017（16）：2-4.

[2] 孫軍波.樣本空間視角下的概率單元教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（25）：27-29.

[3] 肖楠，周永正.巧選樣本空間解決古典概型問(wèn)題[J].景德鎮(zhèn)高專(zhuān)學(xué)報(bào)，2006（02）：21+79.

[4] 徐傳勝.巧選樣本空間簡(jiǎn)解古典概型[J].數(shù)學(xué)通訊，2003（12）：17.

[5] 譚雪瑩，胡典順.概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)理解之樣本空間[J].數(shù)學(xué)通訊，2021（18）：1-3+55.

[責(zé)任編輯：李璟]