我國中小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教育研究的回顧與展望

潘禹辰 蔣蘇杰 徐文彬

【摘 要】 ?基于CNKI數(shù)據(jù)庫的檢索，通過對1997至2021年的451篇我國中小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教育研究文獻(xiàn)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，教與學(xué)的研究多以描述現(xiàn)狀為主，傾向于從教學(xué)方面尋求學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步或發(fā)展核心素養(yǎng)的途徑;依托課程標(biāo)準(zhǔn)和教材開展的課程研究還有較大突破空間，尤其是在教材分析框架上可更加彰顯“統(tǒng)計(jì)與概率”的學(xué)科特色;教師專業(yè)發(fā)展方案的設(shè)計(jì)尚有很大空白，評價研究也比較局限于試題分析.除了繼續(xù)在各研究主題上推進(jìn)之外，還需要綜合考慮教學(xué)、學(xué)習(xí)、課程、教師、評價等方面，并且對義務(wù)教育這一早期統(tǒng)計(jì)教育階段給予足夠的關(guān)注.

【關(guān)鍵詞】 ?統(tǒng)計(jì)與概率;統(tǒng)計(jì)教育;概率教育;中小學(xué)

基于對現(xiàn)代社會中數(shù)據(jù)重要性的認(rèn)識及由此引發(fā)的對公民統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的迫切需求，從上世紀(jì)八十年代起，世界各國都在各學(xué)段尤其是中小學(xué)階段進(jìn)行了關(guān)于統(tǒng)計(jì)教育的課程改革，“統(tǒng)計(jì)與概率”成為許多國家中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一部分.我國亦是如此，而且學(xué)界對于“統(tǒng)計(jì)與概率”應(yīng)該教什么，怎么教，以及學(xué)生學(xué)得如何，展開了不少討論或研究.本研究試圖梳理該領(lǐng)域研究在幾十年來的進(jìn)展與成果，并展望其未來可能的研究方向.

1 ?核心概念

對“統(tǒng)計(jì)”與“概率”這兩大概念的界定需從其內(nèi)涵與外延兩方面來確定.就其內(nèi)涵而言，從學(xué)科本質(zhì)出發(fā)，統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于確定性和隨機(jī)性數(shù)據(jù)資料的收集、整理、分析和推斷的科學(xué).而概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的度量是概率的基本概念[1].從發(fā)展歷史來看，統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門學(xué)科，經(jīng)歷了古典記錄統(tǒng)計(jì)學(xué)、近代描述統(tǒng)計(jì)學(xué)和現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)三個階段，近代描述統(tǒng)計(jì)學(xué)興起的標(biāo)志是引進(jìn)概率論.而概率論的源頭則是數(shù)學(xué)家們?yōu)橘€徒解決賭博難題時形成的數(shù)學(xué)專題，以期尋找偶然中的必然，不確定性中的規(guī)律[2].其外延往往要結(jié)合數(shù)學(xué)教育中各學(xué)段的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容來闡述，譬如，小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的概率內(nèi)容主要包括可能性的知識（即了解簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率）[3];而初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)是一個包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的完整過程[4].

從“統(tǒng)計(jì)”與“概率”的關(guān)系來看，盡管二者都研究隨機(jī)現(xiàn)象，但概率論的研究基礎(chǔ)是定義和假設(shè)，需要建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行嚴(yán)格的計(jì)算;而統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)，通過較多的數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，它的研究要借助概率論的結(jié)果[5].“統(tǒng)計(jì)”與“概率”存在著一種辯證關(guān)系，概率論為統(tǒng)計(jì)學(xué)提供了刻畫和分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)計(jì)學(xué)則為概率論提供了模型使用的對象[6].學(xué)界普遍支持二者走向融合（從歷史發(fā)展的角度來看，更應(yīng)是回歸融合）.

2 ?研究概貌

以CNKI數(shù)據(jù)庫為檢索源，以“統(tǒng)計(jì)與概率教育”“統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)”“統(tǒng)計(jì)教育”“統(tǒng)計(jì)教學(xué)”“概率教育”“概率教學(xué)”為主題詞，分別對期刊論文、碩博士論文和會議論文進(jìn)行檢索.檢索范圍設(shè)為全部，但考慮到選取具有一定學(xué)術(shù)價值的文獻(xiàn)，將期刊檢索設(shè)定為中文核心或CSSCI來源.初次檢索獲得期刊論文1 219條記錄，碩博士論文484條記錄，會議論文149條記錄，選取與中小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教育研究有關(guān)的文獻(xiàn)，并通過廣泛閱讀加以補(bǔ)充，最終得到98篇期刊論文，333篇碩博士論文，20篇會議論文.

將所有文獻(xiàn)按發(fā)表年份整理，得到如圖1所示的我國中小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教育研究文獻(xiàn)數(shù)量趨勢圖.最早的期刊論文出現(xiàn)在1997年（2篇），分別對教學(xué)和課程內(nèi)容進(jìn)行探討，相關(guān)學(xué)位論文則是從2003年開始陸續(xù)出現(xiàn).兩類文獻(xiàn)的數(shù)量發(fā)展趨勢有一定相似性，在新世紀(jì)的幾次課程改革前后有明顯波動，這與每一次課改中對統(tǒng)計(jì)教育的重視及相關(guān)要求的修訂有關(guān).會議論文數(shù)量較少，反映出該領(lǐng)域的國內(nèi)學(xué)術(shù)交流較弱，且缺乏專門平臺.從學(xué)位論文的歷史趨勢來看，研究關(guān)注度上升一段時間后又不可避免地有所回落，于曲折中前進(jìn).

3 ?研究進(jìn)展

若將我國中小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教育研究的主題劃分為：教學(xué)研究、學(xué)習(xí)研究、課程研究、教師研究、評價研究、綜合研究，則可獲得所圖2所示的研究主題分布情況.總的來說，研究者對知識本身（課程）及其獲取過程（教與學(xué)）比較感興趣，但是對與之相關(guān)的教師和教與學(xué)的評價稍有忽視.綜合研究是指包含兩個及以上主題的研究（這些主題都是具體展開研究的對象，而非作為研究的鋪墊出現(xiàn)），這類研究也以課程、教學(xué)和學(xué)習(xí)研究的組合為主.下面則是這些研究主題的具體進(jìn)展. ????圖2 我國中小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教育的研究主題分布 ??3.1 教學(xué)研究

大部分教學(xué)研究都從教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查入手，將教學(xué)策略的提出和教學(xué)方式的變革作為核心，該研究主題的進(jìn)展將依據(jù)不同視角來闡述.

3.1.1 教學(xué)模式的視角

關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)模式的研究數(shù)量不多，而且絕大多數(shù)是從已有教學(xué)模式出發(fā)進(jìn)行的應(yīng)用研究（會存在對已有模式的改善）.其中，PBL（Problembased Learning）教學(xué)模式和APOS（Action，Process，Object，Schema）理論出現(xiàn)頻次相對較多.譬如，封曉晗在文獻(xiàn)分析的基礎(chǔ)上整合出PBL教學(xué)模式理論模型，包括前期分析、PBL問題設(shè)計(jì)和PBL教學(xué)過程設(shè)計(jì)三大部分，在據(jù)此進(jìn)行的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)成績有所提高，而且在自主學(xué)習(xí)能力上也有明顯提升[7].何紅梅則認(rèn)為，高中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容從隨機(jī)事件概念引出概率概念，然后介紹概率計(jì)算，再進(jìn)入具體應(yīng)用，這種編排與APOS理論模型中的四個階段是對應(yīng)的，實(shí)證研究表明了APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)讓學(xué)生理解更為透徹，具有顯著優(yōu)勢[8].在鮮有的構(gòu)建教學(xué)模式的研究中，高翔針對小學(xué)生統(tǒng)計(jì)推理能力培養(yǎng)，整體上使用設(shè)計(jì)研究的方法，先通過文獻(xiàn)分析構(gòu)建教學(xué)模式原型，然后依據(jù)調(diào)查、內(nèi)容分析等實(shí)證研究方法進(jìn)行修正，最后得到了一個包含“創(chuàng)設(shè)真實(shí)數(shù)據(jù)問題情境、合作問題解決初探、小組展示自評、回歸真實(shí)情景再探、講解相關(guān)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容、總結(jié)反思”六個教學(xué)環(huán)節(jié)的FCSR教學(xué)模式[9].

3.1.2 教學(xué)方法的視角

更多研究是從具體教學(xué)方法的層面來尋求教學(xué)的改善.最為常見的是問題教學(xué)法，這類似于教學(xué)模式視角中的PBL教學(xué)模式，說明無論是教學(xué)模式還是教學(xué)方法，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中研究者都比較關(guān)注“問題”.羅永寧進(jìn)行問題驅(qū)動教學(xué)設(shè)計(jì)，發(fā)現(xiàn)該教學(xué)下的高中生能有效提升提問和制定解決方案的能力，這表明其對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)中“數(shù)據(jù)意識”“數(shù)據(jù)收集”“數(shù)據(jù)整理與分析”的培養(yǎng)優(yōu)勢[10].還有研究是以任務(wù)驅(qū)動或活動經(jīng)驗(yàn)教學(xué)法為名，實(shí)際上都是與統(tǒng)計(jì)問題解決和統(tǒng)計(jì)實(shí)踐相關(guān)，但是這類方法的實(shí)施卻有一定難度.譬如，李珊認(rèn)為，當(dāng)前初中統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中的基本活動經(jīng)驗(yàn)由于教師在設(shè)計(jì)上的困難和學(xué)生參與質(zhì)量不佳等原因，存在許多問題[11].還有一些教學(xué)方法涉及具體的技術(shù)工具或數(shù)學(xué)工具，劉涓認(rèn)為，初中統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中，可以用實(shí)物或計(jì)算機(jī)來模擬實(shí)驗(yàn)，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使概念直觀化，并培養(yǎng)學(xué)生解決問題和動手操作的能力，而其實(shí)施需要教師具備信息技術(shù)技能和其他學(xué)科知識，并且結(jié)合學(xué)生情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的選材和設(shè)計(jì)[12].

3.1.3 學(xué)科本身與核心素養(yǎng)的視角

從數(shù)學(xué)學(xué)科本身出發(fā)來改善概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的研究，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的融入能在一定程度上促進(jìn)學(xué)習(xí)，但是又具有難度.梁秀華的調(diào)查表明，由于教師對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識不深以及學(xué)生對教材以外數(shù)學(xué)知識的興趣不高，高中課堂融入數(shù)學(xué)文化的現(xiàn)狀不佳，數(shù)學(xué)文化融入概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)主要能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但是對成績的積極作用有限，可能還需要在長期的研究中觀察效果[13].吳駿針對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)學(xué)史概念教學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓絕大多數(shù)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)史教學(xué)的魅力，并有效提高了部分學(xué)生的認(rèn)知水平[14].

基于發(fā)展核心素養(yǎng)的研究通常圍繞高中課程的“數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)”或義務(wù)教育的“數(shù)據(jù)分析觀念”來展開，并將素養(yǎng)發(fā)展作為研究中對教學(xué)改進(jìn)的目標(biāo)，而早期試圖在教學(xué)中更好地滲透統(tǒng)計(jì)思想的研究也可間接地被視為意圖發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng).在實(shí)際教學(xué)中，研究者發(fā)現(xiàn)了教師由于對這類素養(yǎng)的忽視或界定不清、無法操作化，以及概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)本身的難度較大，從而無法很好地落實(shí)素養(yǎng)培養(yǎng).從具體的教學(xué)模式或方法角度來尋求發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的研究在上文已有所提及.比較獨(dú)特的是，孫晴基于ADDIE模型和系統(tǒng)理論進(jìn)行概率單元教學(xué)整體設(shè)計(jì)，并通過實(shí)驗(yàn)證明了該教學(xué)模式對核心素養(yǎng)提升的作用[15].韓程棟則將STEAM教育理念融入到小學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)中[16].還有研究關(guān)注數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩個核心素養(yǎng)，這可能是因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)重視問題解決和數(shù)據(jù)處理.

3.1.4 信息技術(shù)的視角

20世紀(jì)以來，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合一直受到研究者關(guān)注，而在概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，研究者同樣意識到了技術(shù)的優(yōu)越性和教學(xué)實(shí)踐中的困難.對具體技術(shù)應(yīng)用的研究涵蓋了EXCEL等一般軟件，以及圖形計(jì)算器等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)器具.近年來，將信息技術(shù)融入教學(xué)的研究視角進(jìn)一步拓寬.胡飛認(rèn)為，高中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與計(jì)算智能和符號智能有所聯(lián)系，可以圍繞人工智能預(yù)測和人工智能決策，在教學(xué)中滲透人工智能教育[17].劉嬌則出于對“可視化教學(xué)有助于概率知識表征的多元化和動態(tài)化，從而促進(jìn)學(xué)生概念理解的目的”的認(rèn)可，構(gòu)建了高中概率可視化教學(xué)設(shè)計(jì)流程模型，總結(jié)了適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的三種可視化工具：數(shù)學(xué)圖形（韋恩圖、樹狀圖等）、關(guān)系圖（概念圖和思維導(dǎo)圖）、數(shù)學(xué)軟件（幾何畫板等）[18].

除了從如上所述的視角展開的教學(xué)研究之外，有一些單純調(diào)查教學(xué)現(xiàn)狀的研究，這類研究與學(xué)習(xí)研究和教師研究有些相似，但是不如它們那么深入和有針對性.極個別研究關(guān)注到了不同學(xué)段間的銜接問題，期刊論文則出現(xiàn)了大量教案形式的教學(xué)設(shè)計(jì)研究.

3.2 學(xué)習(xí)研究

對學(xué)習(xí)者的研究始于對概率統(tǒng)計(jì)思維本身的思考，以及教學(xué)對概念理解的作用.學(xué)習(xí)研究大多建立在國外相關(guān)理論框架的基礎(chǔ)上，關(guān)注學(xué)生認(rèn)知水平的測評和錯誤觀念的確定.

3.2.1 學(xué)習(xí)研究的理論基礎(chǔ)

比格斯（Biggs）和科利斯（Collis）提出的SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome，觀察到的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)）分類法及其后由此衍生的理論框架在學(xué)習(xí)研究中最為常見.SOLO分類法劃分了五個不斷增長的認(rèn)知發(fā)展水平：前結(jié)構(gòu)水平（prestructural）、單一結(jié)構(gòu)水平（unistructural）、多元結(jié)構(gòu)水平（multistructural）、關(guān)聯(lián)水平（relational）和進(jìn)一步抽象水平（extended abstract）[19].瓊斯（Jones）等人將數(shù)據(jù)推斷分為四個方面：描述數(shù)據(jù)、組織數(shù)據(jù)、表示數(shù)據(jù)、分析和解釋數(shù)據(jù)，并給出了四個逐漸復(fù)雜的水平：特質(zhì)的（idiosyncratic）、過渡的（transitional）、定量的（quantitative）和分析的（analytical）[20].莫奈（Mooney）后來又將其加以推廣，提出了針對初中生的M3ST框架（Middle School Students Statistical Thinking，初中生統(tǒng)計(jì)思維）[21].

認(rèn)知診斷和學(xué)習(xí)進(jìn)階是另外兩個常用理論，且在近年的研究中受到青睞.兩者有時同時出現(xiàn)，譬如，白勝男基于認(rèn)知診斷理論，提取“概率概念”中的5個基本概念和9個認(rèn)知屬性，建立假設(shè)進(jìn)階并根據(jù)G-DINA模型對其檢驗(yàn)和修訂，最終確定了四個進(jìn)階水平：主觀感知水平、初步量化水平、結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化水平、系統(tǒng)量化水平[22].此外，還有研究者根據(jù)自身的不同研究主題參考其他的理論成果，譬如，布魯姆的教育目標(biāo)分類理論、加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論、維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論等.

3.2.2 不同學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平

早期研究曾關(guān)注跨學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平.李俊對六年級和八年級（沒有學(xué)過概率），以及十二年級（學(xué)過理論概率）的學(xué)生進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)沒有學(xué)過概率的學(xué)生在理解水平上差距不大，說明對概率的理解不會自然地加深，而對理論概率計(jì)算的重視使得兩類學(xué)生在“兩步試驗(yàn)中比較機(jī)會”這類問題上的表現(xiàn)差距最為明顯[23].跨學(xué)段的認(rèn)知水平研究也有助于把握認(rèn)知發(fā)展的動態(tài)過程并建立評價框架，譬如，張丹對小學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念發(fā)展過程的刻畫[24]，以及童莉等人建構(gòu)的義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的評價框架[25].

2010年往后的研究多關(guān)注某一個學(xué)段（尤其是中學(xué)生），并且均發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用、綜合問題的解決等高水平層次上表現(xiàn)不佳.許多研究圍繞高中的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)或義務(wù)教育中的數(shù)據(jù)分析觀念，對其界定并劃分維度開展調(diào)查，鑒于這兩個概念所指向的能力較為綜合，研究對象以畢業(yè)年級為主.譬如，鐘粵敏將《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下稱“2017版課標(biāo)”）中概率部分涉及的行為動詞與SOLO理論的各水平相對應(yīng)，測試發(fā)現(xiàn)四成學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平，在將概率與其他數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系時會產(chǎn)生思維僵化[26].歐陽瑋媛的研究則顯示出高三學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維處于M3ST框架中的定量偏過渡水平[27].對初中生的研究揭示了其數(shù)據(jù)分析觀念的發(fā)展在性別和城鄉(xiāng)地區(qū)上的差異[28]，胡敏調(diào)查的五年級學(xué)生則在面對分類、決策和變異的時候都存在困難[29].

3.2.3 錯誤觀念及其成因

統(tǒng)計(jì)錯誤觀念的研究從統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)圖表和統(tǒng)計(jì)推斷等入手，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生因日常確定性思維對諸如“期望”等概念的誤解，以及在數(shù)據(jù)表征時的設(shè)計(jì)困難.更多研究關(guān)注概率錯誤概念，李俊總結(jié)了十四種錯誤類型，并指出“預(yù)言結(jié)果法”“機(jī)會不能量化及預(yù)測”“簡單復(fù)合法”“等可能性”是最常見的四個錯誤概念（無關(guān)乎年級和學(xué)校類型），這在學(xué)界達(dá)成了一定共識[30].后來還有研究從認(rèn)知心理學(xué)的角度來解釋錯誤概念，在王連國提出的六種高中生概率學(xué)習(xí)認(rèn)知障礙（歸屬為言語信息、智慧技能、元認(rèn)知三大類）中，元認(rèn)知監(jiān)控障礙和元認(rèn)知知識障礙在總體上看來最為嚴(yán)重[31].

概率錯誤觀念可能由概率本身、學(xué)生自身、教師及其教學(xué)所導(dǎo)致.概率統(tǒng)計(jì)問題的生活化和學(xué)生的確定性思維定勢，很容易產(chǎn)生直覺性錯誤，教師對知識理解的不深刻也在一定程度上減弱了教學(xué)效果[32].在對條件概率的研究中發(fā)現(xiàn)，部分錯誤可以在學(xué)習(xí)后得到改善，但由于教師習(xí)慣于講授式課堂，而且不甚關(guān)心學(xué)生存在的學(xué)習(xí)困難，這使得學(xué)生很難在出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙時得到良好的幫助[33].其它原因可能還包括樣本空間等具體知識點(diǎn)的理解困難、因果思維，以及問題背景的迷惑等.

目前為止的學(xué)習(xí)研究都以關(guān)注認(rèn)知層面為主，尚未單獨(dú)考慮非認(rèn)知因素.研究表明了學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的情感素養(yǎng)與認(rèn)知素養(yǎng)顯著正相關(guān)[34]，而不少學(xué)生對統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的態(tài)度卻還是出于應(yīng)試需要，這方面的研究有待進(jìn)一步擴(kuò)充.

3.3 課程研究

課程研究多以課程標(biāo)準(zhǔn)或教材為研究對象，主要有國內(nèi)不同版本比較與中外比較兩種類型.

3.3.1 國內(nèi)課程標(biāo)準(zhǔn)的分析與比較

對課程標(biāo)準(zhǔn)的研究數(shù)量不多，一般都以新舊版本的比較研究出現(xiàn)，并集中在高中階段，關(guān)注知識點(diǎn)的分布與變化，以及教學(xué)要求的變化.研究發(fā)現(xiàn)，2003年的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》相比過往的教學(xué)大綱，在知識結(jié)構(gòu)上注重基礎(chǔ)性、完整性和連貫性，將獨(dú)立事件等內(nèi)容歸為選修部分，以避免對學(xué)生學(xué)習(xí)造成不良干擾，并通過增加幾何概型、條件概率等內(nèi)容來更好地與初中知識銜接[35].在教學(xué)要求上，從對結(jié)果的關(guān)注轉(zhuǎn)變到對過程的關(guān)注，強(qiáng)調(diào)安排充足時間讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動過程，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思想和隨機(jī)觀念，并開始關(guān)注信息技術(shù)對教學(xué)與學(xué)習(xí)的作用[36][37].新一輪的課改將數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)列為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，打破了原本選修課程中對文理科的區(qū)別，在課程內(nèi)容上增加了更能體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的內(nèi)容，如隨機(jī)事件的獨(dú)立性等，降低了排列組合知識的學(xué)業(yè)要求[38];教學(xué)也強(qiáng)調(diào)與實(shí)際生活的聯(lián)系，并且進(jìn)一步提高對概率模塊的重視，不僅將獨(dú)立事件提前學(xué)習(xí)，而且在選擇性必修中增強(qiáng)了條件概率的學(xué)習(xí)要求[39].少數(shù)研究著眼于義務(wù)教育階段，發(fā)現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的相關(guān)概念表述更為細(xì)化，內(nèi)容設(shè)置和教學(xué)方式更關(guān)注學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)[40].

3.3.2 國內(nèi)教材的分析與比較

更多研究對教材內(nèi)容進(jìn)行分析與比較（且以比較為主）.無論哪個學(xué)段，人教版教材都最常被作為研究對象，北師大版、滬教版（上教版）和蘇教版次之.就分析框架而言，通常圍繞宏觀結(jié)構(gòu)和微觀內(nèi)容展開，包括章節(jié)結(jié)構(gòu)、內(nèi)容分布、呈現(xiàn)方式、廣度和深度等，以期在分析與比較中獲得啟示.在對各個學(xué)段的教材研究中發(fā)現(xiàn)，人教版和蘇教版小學(xué)教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的編排順序基本一致，都是前后關(guān)聯(lián)、環(huán)環(huán)相扣;在呈現(xiàn)方式上，蘇教版在兩個學(xué)段間有減少圖片、增加文字和表格的抽象化趨勢，但人教版的層次性不足;基于習(xí)題的難度分析表明兩版本沒有明顯差異，而且呈現(xiàn)出有背景、計(jì)算少的特點(diǎn)[41].至于初中的各版本教材，人教版、北師版、滬教版和浙教版具有社會背景為主導(dǎo)、文字為主要呈現(xiàn)形式、問題針對新知識點(diǎn)、例題示范性單一等共性，存在知識點(diǎn)與例題配置比例、編排和處理方式、關(guān)聯(lián)性和認(rèn)知要求等方面的不同，人教版在知識體系的綜合性上更強(qiáng)[42][43].高中教材研究有不少新舊教材的比較，教材革新趨勢體現(xiàn)出對問題解決過程、統(tǒng)計(jì)觀念和隨機(jī)思想培養(yǎng)以及信息技術(shù)等的關(guān)注，與課程改革的理念一致.

還有一些教材研究值得關(guān)注，它們或是將更多版本或跨學(xué)段的教材納入分析[44]，或是在分析視角的選擇和框架建構(gòu)上較為新穎[45].至于在分析與比較中獲得的啟發(fā)，一方面是教材編寫上的互相借鑒，另一方面則是教學(xué)建議.由于教材研究較少將實(shí)際的教學(xué)情況考慮進(jìn)來，所以經(jīng)比較后得到的結(jié)論不常對教材的好壞下判斷，而是結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)或相關(guān)文件的要求，從共性與差異中尋找課程改革的趨勢，以期挖掘教材可以延續(xù)的優(yōu)點(diǎn)（也有專門對教材與課程標(biāo)準(zhǔn)一致性的研究，但是數(shù)量極少）.從教學(xué)的角度看，研究者強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時的能動性，以培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的宗旨，關(guān)注具有現(xiàn)代氣息的真實(shí)問題情境、學(xué)生對完整統(tǒng)計(jì)活動的親歷，在設(shè)計(jì)時要考慮學(xué)生實(shí)際，有整體意識.

3.3.3 國內(nèi)外課程的比較

在與其他國家課程的對比中，研究對象涉及美、英、澳等西方發(fā)達(dá)國家，以及日本和新加坡等與我國文化相近的國家.以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)進(jìn)行的比較研究不多，其中較典型的是，鄭明月統(tǒng)觀了整個基礎(chǔ)教育階段，綜合中國上海版、中國全國版，以及美國、英國、澳大利亞和新加坡版，共五個國家六個課程標(biāo)準(zhǔn)，對統(tǒng)計(jì)內(nèi)容進(jìn)行分析，認(rèn)為其統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在小學(xué)階段的相似度最高，而中學(xué)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在廣度與深度上均存在差異，并基于此提出了統(tǒng)計(jì)的核心內(nèi)容和發(fā)展主線[46].

教材仍然是國內(nèi)外課程比較的主要對象.研究普遍發(fā)現(xiàn)我國概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的廣度和深度不如其他國家的課程，尤其在概率內(nèi)容上，而且對知識獲得過程和信息技術(shù)的融合還有所欠缺.吳立寶等人對亞洲、歐洲、美洲和大洋洲一共10個國家的初中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容分布進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容比重都較低，但是國外教材的涉及面比中國更廣.[47]再以新加坡為例，吉?dú)g認(rèn)為中新兩國的小學(xué)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容都重視基礎(chǔ)性，知識點(diǎn)數(shù)量相差不大但具體內(nèi)容有差異，新加坡教材的內(nèi)容深度稍高些[48];在初中階段，李旭冉認(rèn)為，我國人教版教材的統(tǒng)計(jì)活動整體設(shè)計(jì)要優(yōu)于新加坡，但是新加坡教材對統(tǒng)計(jì)思想的滲透更佳，整體難度偏高[49].

3.4 教師研究

在為數(shù)不多的對教師的研究中，研究者比較關(guān)注教師在概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的學(xué)科知識（Content Knowledge，簡稱CK）和學(xué)科教學(xué)知識（Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK），李丹認(rèn)為這兩個方面共同構(gòu)成了面向教學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識[50].研究普遍揭示了教師的素養(yǎng)不足.譬如，竺琨媛發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教師的概率統(tǒng)計(jì)PCK整體情況不理想且發(fā)展不均衡，尤其對CK本身的理解缺乏深度和廣度，而職后專業(yè)發(fā)展還存在一些缺失，特別是選修知識 [51].孫學(xué)東同樣發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教師的概率知識多停留在計(jì)算和練習(xí)，在理解上會存在與學(xué)生一樣的誤區(qū)，且解決問題的方法會逐漸傾向于學(xué)生需理解的方法，其知識儲備沒有隨教齡增加而良好上升[52].隨著時代發(fā)展，基于整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識（Technological Pedagogical and Content Knowledge，簡稱TPCK）的視角，孫成成以幾何概型為例的研究表明教師的CK、PCK水平較高，但TPCK水平較低，運(yùn)用信息技術(shù)的目的限于提高互動，未能挖掘技術(shù)在能力培養(yǎng)和評估上的優(yōu)勢[53].

教師本身的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)及其教學(xué)水平極大影響著學(xué)生在該領(lǐng)域的發(fā)展，教學(xué)觀念亦是如此.馬玉林在對小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)觀的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，三分之二的教師在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)上持有教師中心教學(xué)取向，即提高學(xué)生成績，而非發(fā)展數(shù)學(xué)思維，這與統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)和新課改的要求相距甚遠(yuǎn)[54].針對研究中反映的問題，研究者普遍強(qiáng)調(diào)教師專業(yè)發(fā)展的重要性，但是尚未給出較系統(tǒng)的專業(yè)發(fā)展方案.

3.5 評價研究

評價研究以學(xué)業(yè)評價為主要研究對象，常以中考或高考卷作為分析依據(jù).試題分析分為兩個方面：考點(diǎn)分布情況和錯誤分析.以近十年的高考試題為研究對象，發(fā)現(xiàn)具有多角度考查基礎(chǔ)知識、知識考查綜合化、題目簡潔且貼近生活的三大特點(diǎn)，而且重視數(shù)學(xué)閱讀能力、豐富統(tǒng)計(jì)圖表形式，并滲透抽樣思想、統(tǒng)計(jì)推斷思想、隨機(jī)思想等[55][56].在學(xué)生的作答情況上，早期有研究將高考易錯點(diǎn)分為八大類，涉及事件、古典概率和排列組合、二項(xiàng)式定理、抽樣方法等常考知識點(diǎn)[57].近來，張靜發(fā)現(xiàn)，無論是讀題，還是辨別概念和選取公式，甚至基本的計(jì)算，學(xué)生都存在不同程度的錯誤[58].

其他的評價研究涉及評價框架，也往往是針對學(xué)生.研究者引入了國際上（涵蓋）統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的評價方法，譬如，賀睿杰等人詳細(xì)介紹了美國“統(tǒng)計(jì)概念理解水平”（Level of Conceptual Understanding in Statistics，簡稱LOCUS）項(xiàng)目，為我國研究者建立框架和開發(fā)試題提供了啟示[59].專門的建立本土化框架的研究較為少見（上文提及的童莉等人的研究是具有代表性的一個例子），但是在許多學(xué)位論文中，研究者會依據(jù)現(xiàn)有的常用評價框架，稍作更改后用于自己的調(diào)查.還發(fā)現(xiàn)了一項(xiàng)構(gòu)建教學(xué)評價框架的研究：劉維花明確了數(shù)據(jù)分析教學(xué)的情境性、靈活性、隨機(jī)性和過程性，結(jié)合調(diào)查研究建立了包含教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)過程、教學(xué)效果5個一級指標(biāo)和18個二級指標(biāo)的數(shù)據(jù)分析觀念教學(xué)評價框架[60].評價研究目前還局限于試題等易分析的內(nèi)容上，研究視角有待拓寬，理論研究也可加強(qiáng).

3.6 綜合研究

包含兩個主題的綜合研究成果幾乎都已融入上述各主題的概述中，故不再贅述.多主題研究中常見的有教學(xué)考一體化研究[61]，以及對學(xué)習(xí)、評價和教材內(nèi)容等動態(tài)變化相結(jié)合所進(jìn)行的分析[62].從綜合研究的研究過程來看，研究的幾個子主題一般是獨(dú)立進(jìn)行，在結(jié)論部分再融合，前期研究思路的設(shè)計(jì)上或許可以再加強(qiáng)一些關(guān)聯(lián)度，體現(xiàn)“并行式”或“漸進(jìn)式”的設(shè)計(jì)緣由.

4 ?結(jié)論與展望

基于上述分析，下面對目前“我國中小學(xué)‘統(tǒng)計(jì)與概率教育研究”的情況做概括與討論.

4.1 教與學(xué)的研究已形成較穩(wěn)定的研究思路，并逐步走向融合

對教與學(xué)研究的分析發(fā)現(xiàn)，在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的這兩類研究已經(jīng)形成了一些基本研究思路和視角.總的來說，研究一般都從當(dāng)前的教與學(xué)現(xiàn)狀，包括問卷或測試、訪談所得到的實(shí)證結(jié)果出發(fā)，提出教學(xué)建議，或是直接從某個策略出發(fā)，將策略的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證作為整個研究的內(nèi)容.具體而言，根據(jù)上述分析，教學(xué)研究非常關(guān)注“統(tǒng)計(jì)問題”在教學(xué)中的作用，以及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)（或統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)等）這一培養(yǎng)目標(biāo);學(xué)習(xí)研究在認(rèn)知層面已有較明確的理論分析框架借鑒，學(xué)習(xí)者在該領(lǐng)域內(nèi)容學(xué)習(xí)中暴露出的問題也已明晰.已有研究（成果）呈現(xiàn)的這些特點(diǎn)都能為未來研究提供指引.

另外，教與學(xué)兩者在實(shí)際研究中已經(jīng)很難完全分離，尤其是在陳述現(xiàn)狀時，往往都會綜合教師和學(xué)生兩個方面，而教學(xué)方法的順利實(shí)施也必然要考慮學(xué)生能否適應(yīng)和配合.這些跡象表明，未來的教學(xué)研究不僅僅是教的研究，而是教與學(xué)的研究，應(yīng)重視學(xué)習(xí)者在研究中的地位，避免教與學(xué)的割裂.

4.2 教材研究相對成熟，但在分析框架上有待彰顯“統(tǒng)計(jì)與概率”的領(lǐng)域特色

教材研究因其主要使用的內(nèi)容分析法不需要太多諸如一線教學(xué)等外在研究支持（這些動態(tài)因素的缺失也可能是一個缺點(diǎn)），其發(fā)展比較迅速，尤其在期刊論文中也有不少此類研究（相比之下，對研究設(shè)計(jì)要求較高的學(xué)習(xí)研究數(shù)量就很少）.從知識點(diǎn)和例習(xí)題出發(fā)的廣度、深度和難度研究也有相對穩(wěn)定的一套分析框架或模型.

教材研究最大的突破點(diǎn)可能是在分析框架建立時要對“統(tǒng)計(jì)與概率”具體學(xué)科內(nèi)容加以考慮.比如，“統(tǒng)計(jì)問題”“統(tǒng)計(jì)實(shí)踐”“統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)”等等，這些與概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容本身相關(guān)的概念（同時也是當(dāng)前研究或?qū)嶋H教學(xué)中最為關(guān)注的方面）都可以作為分析框架的建構(gòu)依據(jù)，相應(yīng)的分析結(jié)果或許更能直擊內(nèi)容本身，既具有針對性，又與教學(xué)和學(xué)習(xí)的焦點(diǎn)相關(guān)聯(lián).

4.3 教師發(fā)展與教學(xué)評價亟待關(guān)注，并進(jìn)一步在研究中彰顯整體思維

已有研究基本明晰了教師關(guān)于統(tǒng)計(jì)教學(xué)方面的知識結(jié)構(gòu)體系，并發(fā)現(xiàn)了教師在學(xué)科知識、教學(xué)知識等方面上存在的問題.這些研究成果是設(shè)計(jì)教師專業(yè)發(fā)展方案的基礎(chǔ)，對教師的研究尤其不可停留在現(xiàn)狀描述上，應(yīng)尋求改善問題的方案.同時，從本綜述的范圍來看，評價研究似乎還局限于已有試題的分析，從建構(gòu)評價的角度來形成合適的評價方案是可能的發(fā)展方向.

至于在研究中出現(xiàn)的綜合研究這一主題類型，是值得進(jìn)一步推進(jìn)的.教育研究中對多因素的同時考慮能使問題分析更為透徹，雖然這種研究思路在面向教學(xué)實(shí)驗(yàn)時可能會出現(xiàn)設(shè)計(jì)上的困難，但是教育（或教學(xué)）本身就是一個包含了多方面的整體系統(tǒng)，所以其研究也應(yīng)在單主題發(fā)展到一定程度時走向融合道路.

4.4 聚焦并深化義務(wù)教育階段的“統(tǒng)計(jì)與概率”教育

在分析中發(fā)現(xiàn)，有一半左右的研究都是以高中為目標(biāo)學(xué)段的，這說明小學(xué)、初中的研究占比相對較少.究其原因，可能由于義務(wù)教育階段在該領(lǐng)域上的內(nèi)容相較于其他內(nèi)容領(lǐng)域以及高中階段而言，學(xué)習(xí)內(nèi)容少、認(rèn)知要求低，導(dǎo)致研究者對此的重視程度不足，而又鑒于“統(tǒng)計(jì)學(xué)”和“概率論”本身難度較大，也為將研究與中小學(xué)水平相契合增添了困難.面對以上的困境，從研究的主題和內(nèi)容來看，小學(xué)和初中階段的研究主要集中于對實(shí)際教學(xué)的反思，對教學(xué)和學(xué)習(xí)情況的現(xiàn)狀調(diào)查以及統(tǒng)計(jì)教學(xué)輔助工作的開發(fā)等，而對于學(xué)生統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的測評和培養(yǎng)的研究尚在起步階段.但實(shí)際上，義務(wù)教育尤其是小學(xué)階段作為學(xué)生接觸“統(tǒng)計(jì)和概率”知識的最早時期，其研究價值是不言而喻的.為此，提高義務(wù)教育階段研究的質(zhì)量，一方面要讓研究者認(rèn)識到學(xué)生學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”的重要性，另一方面可以從適合該階段水平的角度來構(gòu)建統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的研究.

總之，“統(tǒng)計(jì)與概率”教育研究在各個子主題上已經(jīng)獲得了一定的研究成果，在各主題研究繼續(xù)深化的同時，研究者需要從整體的視角來討論該領(lǐng)域的教學(xué)、學(xué)習(xí)、課程內(nèi)容和教師專業(yè)發(fā)展等問題，以期全方位地剖析教師、學(xué)生和教材，構(gòu)建內(nèi)容主線，設(shè)計(jì)完整教學(xué)過程（含評價環(huán)節(jié)）和學(xué)習(xí)軌跡，從而準(zhǔn)確把握核心內(nèi)容，促進(jìn)教與學(xué)的連貫性，更恰適地解決可能的困難.

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