基于改進(jìn)平滑L0范數(shù)的ISAR成像算法

吳悠 王艷紅 馮俊杰

摘要：在雷達(dá)成像場(chǎng)景中，由于目標(biāo)散射點(diǎn)具有稀疏性，針對(duì)低采樣條件下逆合成孔徑雷達(dá)（Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR）高分辨率成像問(wèn)題，文章提出一種基于改進(jìn)平滑L0（Smoothed L0 norm，SL0）范數(shù)的高分辨率ISAR成像算法。首先采用負(fù)指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過(guò)調(diào)整控制參數(shù)，使得負(fù)指數(shù)函數(shù)趨近于L0范數(shù);通過(guò)循環(huán)迭代與梯度投影方法，求出最優(yōu)解。仿真結(jié)果證明，本文算法較傳統(tǒng)算法具有一定優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：逆合成孔徑雷達(dá);壓縮感知;稀疏信號(hào);成像

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2022）21-0036-03

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

近年來(lái)，因具有全天時(shí)、全天候、遠(yuǎn)距離成像特性，逆合成孔徑雷達(dá)（ISAR）成像技術(shù)在軍用、民用等領(lǐng)域起到了重要作用，有良好的發(fā)展前景[1-2]。ISAR通過(guò)發(fā)射寬帶信號(hào)，通過(guò)脈沖壓縮技術(shù)可以在距離方向上分離目標(biāo)上的散射點(diǎn)。

由于目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)的橫向運(yùn)動(dòng)，不同橫向位置的散射體具有不同的相對(duì)多普勒頻率，通過(guò)頻譜分析，可以實(shí)現(xiàn)散射點(diǎn)的分離。距離向和方位向分辨率分別隨著帶寬和相干處理（CPI）的增加而提高。但在使用距離多普勒算法時(shí)，橫向分辨率不能隨CPI的增加而任意提高。另外，如果旋轉(zhuǎn)角度過(guò)大，目標(biāo)的雷達(dá)散射截面（RCS）會(huì)是時(shí)變的，這增加了相干處理的難度。因此，在短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)成像是有意義的。

壓縮感知（Compressive Sensing，CS）理論是信號(hào)處理領(lǐng)域的一種新理論，近年來(lái)引起了越來(lái)越多的關(guān)注。該理論表明，在某些稀疏字典中稀疏或可壓縮的特定信號(hào)可以通過(guò)比奈奎斯特采樣理論所需要的少得多的測(cè)量來(lái)精確重構(gòu)出原始信號(hào)[3-4]，基于最優(yōu)化理論從較少的觀(guān)測(cè)值中精確重構(gòu)出原始稀疏信號(hào)。該理論成為研究的熱點(diǎn)。對(duì)于雷達(dá)成像，目標(biāo)相對(duì)于成像背景顯示出高稀疏性，即目標(biāo)在雷達(dá)成像場(chǎng)景中稀疏分布。受壓縮感知理論的啟發(fā)，CS理論在雷達(dá)成像領(lǐng)域開(kāi)展了深入研究，因此稀疏信號(hào)恢復(fù)算法可以應(yīng)用于雷達(dá)成像，如SAR成像[5-6]，ISAR成像[7-8]，MIMO雷達(dá)成像[9-10]。CS理論對(duì)數(shù)據(jù)丟失不敏感，可以有效改善雷達(dá)成像系統(tǒng)在數(shù)據(jù)丟失情況下的成像問(wèn)題，提高雷達(dá)成像系統(tǒng)的信號(hào)處理能力。

稀疏信號(hào)重構(gòu)是壓縮感知理論中的一個(gè)關(guān)鍵步驟，常見(jiàn)的稀疏信號(hào)重構(gòu)算法有基于L0范數(shù)的重構(gòu)算法、基于L1范數(shù)的重構(gòu)算法、貪婪算法等。雖然基于L0范數(shù)的重構(gòu)算法在無(wú)噪聲情況下的具有較好的重構(gòu)效果，但該類(lèi)算法對(duì)噪聲敏感，需要進(jìn)行組合搜索，因此難以實(shí)現(xiàn)?；贚1范數(shù)的算法計(jì)算復(fù)雜，限制了其實(shí)際應(yīng)用。因此涌現(xiàn)出了有許多更簡(jiǎn)單的算法，如正交匹配追蹤（OMP）等貪婪算法，通過(guò)迭代的方式，每次選用和稀疏信號(hào)高度匹配的原子作為信號(hào)的支撐集，更新殘差。

Mohimani等人利用最速下降法和梯度投影原理，提出了帶有控制參數(shù)的高斯函數(shù)序列作為平滑函數(shù)來(lái)逼近稀疏信號(hào)的最小L0范數(shù)，從而將求解最小L0范數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平滑函數(shù)的最優(yōu)值問(wèn)題，該方法成為的平滑L0范數(shù)（SL0）稀疏信號(hào)重構(gòu)算法[11]。采用雙層循環(huán)優(yōu)化求解，外循環(huán)建立從大到小的序列[σ1，σ2，…，σJ]，內(nèi)層采用最速下降法獲得近似解。

為實(shí)現(xiàn)低脈沖條件下高分辨率ISAR成像，本文提出一種改進(jìn)平滑L0范數(shù)（SL0）稀疏信號(hào)重構(gòu)算法，將ISAR成像問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解平滑函數(shù)最優(yōu)值問(wèn)題。采用負(fù)指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過(guò)控制參數(shù)[σ]，使平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)，使用梯度投影方法求解最優(yōu)值，實(shí)現(xiàn)高分辨ISAR成像。

1 ISAR成像信號(hào)模型

假設(shè)目標(biāo)位于遠(yuǎn)場(chǎng)，發(fā)射信號(hào)為線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)：

[yt=expj2πf0t+12μ0t2]? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中[f0]為中心頻率。經(jīng)過(guò)距離壓縮后，信號(hào)可以表示為：

[yt=αexp-j2πf0τtsinct-τt]? ? ? ?（2）

其中[τt]為時(shí)延，[α]為信號(hào)幅值。假設(shè)目標(biāo)散射點(diǎn)瞬時(shí)位置可以表示為：

[x0cosωt-y0sinωt，x0sinωt+y0cosωt]。時(shí)延主要由[x0sinωt+y0cosωt]項(xiàng)決定。通過(guò)泰勒表達(dá)式并省略高階項(xiàng)，[x0sinωt+y0cosωt]可以表示為：

[x0sinωt+y0cosωt≈y0+x0ωt]? ? ? ? ? ? ? ?（3）

此時(shí)時(shí)延[τt]可以表示為[τt≈τ0+2y0+x0ωtc]，則距離單元信號(hào)可以表示為：

[yt=αe--j4πx0ωtλ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

經(jīng)離散化后，則信號(hào)可以表示為：

[yn=αan]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中[an=ej2πfdn]，[fd=-2x0ωdtλ]，[dt]表示采用間隔。當(dāng)存在多個(gè)散射體時(shí)，來(lái)自一個(gè)測(cè)距單元的總接收信號(hào)可以表示為：

[y=Ax+n]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

其中[x]表示散射系數(shù)[α]組成的向量，[A]為稀疏矩陣。ISAR成像問(wèn)題可以通過(guò)下列優(yōu)化問(wèn)題求解：

[min x0s ? ty-Ax2<ε]? ? ? ? ? ? （7）

2 改進(jìn)SL0范數(shù)ISAR成像算法

平滑L0范數(shù)的主要思想是首先構(gòu)建逐漸減小的序列[σ]，對(duì)于每一個(gè)[σ]，通過(guò)最速下降法求解平滑函數(shù)的最優(yōu)值。該算法包括兩個(gè)循環(huán)。在外循環(huán)中，參數(shù)的值由大到小變化。在內(nèi)環(huán)中，使用迭代最速下降算法來(lái)搜索最優(yōu)值。Mohimani等采用高斯函數(shù)[Fσx=iexp-x2i2σ2] 作為平滑函數(shù)求解L0范數(shù)。為進(jìn)一步改進(jìn)重構(gòu)效果，本文采用負(fù)指數(shù)函數(shù)[Gσx=iexp-xiσ]作為平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)。兩種函數(shù)的區(qū)別在于，當(dāng)參數(shù)[σ]從無(wú)窮大變?yōu)榱銜r(shí)，[Fσx]由L2范數(shù)趨近于L0范數(shù)，[Gσx]由L1范數(shù)趨近于L0范數(shù)，較[Fσx]具有較高的重構(gòu)概率。本文所提出算法稱(chēng)為改進(jìn)的平滑L0范數(shù)（ISL0）算法。ISL0整個(gè)算法步驟如下：

1.初始化： 1） 初始值[x0=AHAAH-1y];

2） 選用一逐漸遞減的[σ]參數(shù)序列[σ1 σ2…σJ];

2.迭代求解：[for j=1 ，… ，J ]

1） 令 [σ=σj]，

2） 在可行集[x=x ：Ax-y2<ε]上，求解[Fσx]的最小值;

令： [x=xj-1]

[for j=1 ，… ，L ]

a） 求解[Fσx]的梯度[σ]

b） [x←x-xx ×min x ，μσδ ]

c） 如果[Ax-y2>ε]，將[x]投影到可行集上

[x=x-AHAAH-1Ax-y]

d） [xj=x].

3.最后得出最優(yōu)解：[x=xJ]

最速下降法的一個(gè)重要因素是步長(zhǎng)的設(shè)計(jì)，對(duì)于較大的步長(zhǎng)，函數(shù)可能不收斂，但對(duì)于非常小的步長(zhǎng)，計(jì)算效率較低。[minx，μσjδ]確保搜索步長(zhǎng)不會(huì)過(guò)大。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真1：在仿真1中，比較ISL0方法與傳統(tǒng)的OMP、SL0和拉普拉斯稀疏信號(hào)重構(gòu)算法對(duì)一維稀疏信號(hào)的重構(gòu)效果。信號(hào)模型為[y=Ψx+n]，[Ψ]是一個(gè)隨機(jī)矩陣，服從高斯分布。稀疏信號(hào)的非零元素由[±1]組成。稀疏信號(hào)長(zhǎng)度為256。

改變稀疏信號(hào)的稀疏性，幾種算法的重建概率和均方誤差（MSE）變化曲線(xiàn)如圖1、圖2所示。隨著信號(hào)稀疏度的增加，幾種算法的重構(gòu)概率逐漸降低，而ISL0恢復(fù)算法具有較高的重構(gòu)概率和較低的均方誤差。

仿真2：對(duì)Yak-42飛機(jī)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。相關(guān)雷達(dá)參數(shù)如下：載頻[10GHz]，信號(hào)帶寬[400MHz]，對(duì)于距離分辨率為[0.375m]。分別采用32、64脈沖進(jìn)行成像，對(duì)比FFT、OMP、SL0和本文算法的成像結(jié)果。如圖3、圖4所示?？梢钥闯?，本值得注意的是，脈沖量越大，成像效果越好。當(dāng)脈沖數(shù)為64時(shí)，四種稀疏信號(hào)重建算法的效果較好。當(dāng)脈沖數(shù)為32時(shí)，F(xiàn)FT算法、OMP算法成像結(jié)果具有較多的虛假散射點(diǎn)，SL0算法成像結(jié)果部分散射點(diǎn)的信息丟失。ISL0算法成像結(jié)果無(wú)虛假的散射點(diǎn)，能對(duì)圖像中飛機(jī)保持著較好的輪廓，得到目標(biāo)輪廓更清晰，可以實(shí)現(xiàn)高分辨率ISAR成像。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于改進(jìn)平滑L0范數(shù)的稀疏信號(hào)重構(gòu)ISAR成像算法，采用負(fù)指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)，通過(guò)構(gòu)建遞減的參數(shù)序列，使得平滑函數(shù)趨近于L0范數(shù)，將ISAR成像問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)0范數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)高分辨率ISAR成像。

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