摘? 要：以“直線與直線平行”的教學(xué)為例，闡述基于發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，需要重視對幾何模型的深度開發(fā)，以及對幾何定理證明的深入思考.

關(guān)鍵詞：直觀想象;教學(xué)實踐;幾何模型;幾何定理

學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培育，需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視對幾何模型的深度開發(fā)和幾何定理證明的深層次思考. 對此，筆者結(jié)合“直線與直線平行”一課的教學(xué)實踐談兩點反思，與大家分享.

一、備課思考

1. 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課位于人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊第八章第5節(jié)，是基本事實1、基本事實2和基本事實3的延續(xù)，內(nèi)容包括平行的傳遞性（基本事實4）和等角定理. 平行的傳遞性是平行直線本質(zhì)屬性（方向相同）的反映，是平面內(nèi)平行的傳遞性在空間中的推廣. 平行的傳遞性連同基本事實1、基本事實2、基本事實3和三個推論，構(gòu)成了立體幾何邏輯推理的基礎(chǔ)，是空間中判斷直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行的依據(jù). 空間等角定理是由平行的傳遞性推導(dǎo)出來的，是平面等角定理在空間中的推廣，是確定異面直線所成角、二面角的平面角的理論基礎(chǔ). 本節(jié)課的內(nèi)容中蘊含類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的重要載體.

2. 教學(xué)目標

（1）能類比平面內(nèi)平行的傳遞性猜想空間中平行的傳遞性，能借助長方體模型或教室等實物加以驗證，會用平行的傳遞性解決簡單的空間幾何問題.

（2）能通過類比平面等角定理猜想出空間等角定理，并能利用平行的傳遞性加以證明.

（3）在平行的傳遞性與等角定理的形成與應(yīng)用過程中，感悟類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

3. 教學(xué)重點和教學(xué)難點

教學(xué)重點：平行的傳遞性的形成與應(yīng)用，等角定理.

教學(xué)難點：如何想到構(gòu)造三角形，利用平行的傳遞性證明等角定理.

二、教學(xué)過程設(shè)計

1. 復(fù)習回顧，引入課題

平面內(nèi)，兩條直線有相交與平行兩種位置關(guān)系. 平行是一種特殊的位置關(guān)系，也是我們重點研究的對象. 空間中，平行是一種重要的位置關(guān)系，在實際生產(chǎn)與生活中有著廣泛的應(yīng)用. 而通過上節(jié)課的學(xué)習，我們知道直線與平面平行包括直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行三種位置關(guān)系. 本節(jié)課，我們學(xué)習第一種位置關(guān)系——直線與直線平行.

【設(shè)計意圖】回顧平面內(nèi)與空間中的平行關(guān)系，這兩者共同構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習本節(jié)課的認知基礎(chǔ)，也是本節(jié)課的教學(xué)起點. 同時，構(gòu)建兩者之間的聯(lián)系，為把平面內(nèi)平行的傳遞性和等角定理類比推廣到空間中做好了鋪墊. 通過介紹空間中平行關(guān)系的重要性和應(yīng)用的廣泛性，強調(diào)學(xué)習空間平行關(guān)系的必要性，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，而且有利于明確本單元的研究對象，引入課題.

2. 類比猜想，形成“事實”

問題1：平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線，并且如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行. 空間中是否也具有這樣的結(jié)論呢？

【設(shè)計意圖】通過初中的學(xué)習，學(xué)生已經(jīng)知道平面內(nèi)平行的傳遞性. 到了高中，通過立體幾何的學(xué)習，學(xué)生能夠感知空間與平面的一些聯(lián)系，如球與圓、正方體與正方形等. 學(xué)生能夠通過類比形成猜想：空間中，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行. 但是這種猜想是模糊的，學(xué)生不能判定真假，需要進一步驗證.

問題2：能否借助長方體教室（如圖1）驗證你的猜想？

【設(shè)計意圖】空間中平行的傳遞性作為基本事實，不需要嚴格的證明，只需要借助空間幾何體或生活中的事物舉出豐富的例子驗證猜想，進而歸納、概括出基本事實4，然后用三種語言（圖形語言、文字語言和符號語言）表征，為應(yīng)用做鋪墊.

練習1：如圖2，把一張矩形紙片對折幾次，然后打開，得到的折痕互相平行嗎？為什么？

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過猜想、驗證、歸納、概括及表征，對空間平行的傳遞性有了一定的認識. 通過折紙，讓學(xué)生體會：要判定“折痕”平行，需要借助“折痕”與相對的矩形紙片的一邊平行，感悟平行的傳遞性所蘊含的轉(zhuǎn)化思想.

3. 學(xué)以致用，深化理解

例? 如圖3，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點. 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

追問：什么是空間四邊形？它與平面四邊形有何不同？

思考：在該例中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？

【設(shè)計意圖】例題是平行的傳遞性在解決較復(fù)雜問題中的應(yīng)用. 雖然學(xué)生對平面四邊形的認識深刻，但是對空間四邊形的認識不足，因此借助追問，引發(fā)學(xué)生對空間四邊形的思考，然后借助把矩形紙片沿對角線折疊，形成空間四邊形的表象，為解決例題搭設(shè)臺階. 接著引導(dǎo)學(xué)生從平行四邊形的判定出發(fā)，構(gòu)造第三個幾何量（連接[BD]），再利用三角形的中位線性質(zhì)和平行的傳遞性解決問題. 思考是對例題的深化.

4. 借助“事實”，證明定理

問題3：在平面內(nèi)，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角的關(guān)系如何？

【設(shè)計意圖】學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習過平面等角定理，回答這個問題不難. 接著要引導(dǎo)學(xué)生畫出滿足條件的兩個角的所有情況，并回顧證明方法，為類比猜想空間等角定理和尋找證明方法做鋪墊.

問題4：在空間中，這一結(jié)論是否仍然成立？如果成立，試給出證明.

【設(shè)計意圖】通過類比，猜想空間等角定理. 再讓學(xué)生類比平面等角定理，畫出符合條件的兩個角的所有情況，并對這幾種情況進行分析，形成只需證明其中一種情況（兩個角的兩邊分別平行且方向相同）即可的結(jié)論. 然后引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：要證明兩個角相等，只需要證明對應(yīng)的兩個三角形全等，進而想到構(gòu)造以這兩個三角形為上、下底面的三棱柱. 而平行的傳遞性在證明的過程中扮演著關(guān)鍵角色（三棱柱的三條側(cè)棱之間的平行的傳遞性）.

5. 課堂練習，鞏固定理

練習2：如圖4，AA，BB，CC不共面，且有AA∥BB，AA=BB，BB∥CC，BB=CC. 求證：△ABC≌△ABC.

【設(shè)計意圖】學(xué)習新知后應(yīng)用新知是必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié). 練習是理解新知、鞏固新知的一種重要的手段和形式. 練習2是對平行的傳遞性和等角定理的應(yīng)用，既可以利用三邊對應(yīng)相等證明，也可以利用兩邊及夾角對應(yīng)相等證明.

6. 課堂小結(jié)，總結(jié)提升

（1）這節(jié)課學(xué)習了哪些知識？運用了哪些思想方法？

（2）學(xué)習“基本事實4”的一般思路是什么？等角定理呢？

（3）根據(jù)“直線與直線平行”的學(xué)習經(jīng)驗，你能說說下節(jié)課我們應(yīng)該學(xué)習哪些內(nèi)容嗎？你能設(shè)計學(xué)習這些內(nèi)容的一般思路嗎？它們與本節(jié)課有何聯(lián)系？

【設(shè)計意圖】從基礎(chǔ)知識、思想方法及研究問題的思路三個方面加以提煉、總結(jié)，并從前后聯(lián)系的角度設(shè)計第三個問題，為下節(jié)課預(yù)熱.

三、教后反思

直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一. 它不是幾何直觀與空間想象的簡單組合，而是空間想象、空間觀念與幾何直觀的有機整合. 就本節(jié)課而言，基于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，還有需要提升的地方.

1. 對幾何模型的開發(fā)有待進一步深化

表象是人腦對當前沒有直接作用于感覺器官的、以前感知過的事物形象的反映. 學(xué)生頭腦中的幾何圖形、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式等都是數(shù)學(xué)表象. 數(shù)學(xué)表象是幾何直觀的結(jié)果，也是空間想象的開始. 直觀想象形成的一個重要階段就是把學(xué)生已有的數(shù)學(xué)表象經(jīng)過加工、改造形成新的數(shù)學(xué)表象. 在這個過程中，需要經(jīng)過平行、旋轉(zhuǎn)、分拆、重組等一系列的操作，并且表象操作的豐富程度直接影響新表象的存儲與提取.

在本節(jié)課之前，學(xué)生頭腦中呈現(xiàn)的平行的傳遞性是二維狀態(tài)下的，現(xiàn)在要把它推廣到三維空間，中間需要經(jīng)過舉證豐富的例子. 所舉例子的質(zhì)量與豐富程度對學(xué)生認識空間中平行的傳遞性的形成與應(yīng)用影響很大. 在本節(jié)課上，筆者利用GeoGebra軟件展示長方體（圖1），在學(xué)生給出“因為AA∥BB，CC∥BB，所以AA∥CC”之后，筆者就把學(xué)生的視線引到教室中. 顯然，這樣做沒有充分發(fā)揮長方體模型的作用. 事實上，長方體有12條棱，把相對的4條棱作為一組. 在該組內(nèi)，它們兩兩平行，因此可以把任意三條棱作為空間中平行的傳遞性的例子. 也可以把相對（或相鄰）的2條棱的中點連接起來，把對應(yīng)的面對角線也連接起來，構(gòu)成所需要的例子. 當然，借助教室舉例，不只是舉相鄰的兩面墻的交線平行的例子，也可以以桌子、電棒等進行舉例. 更進一步，還可以把學(xué)生的眼光從教室內(nèi)移到校園內(nèi)，甚至校園外，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力，引導(dǎo)學(xué)生舉出豐富而又合適的例子. 例證的載體從圖形到實物再到幾何表象，真正放飛學(xué)生的直觀與想象，把直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處.

2. 對幾何命題的證明有待進一步考量

在“借助‘事實，證明定理”環(huán)節(jié)，為了啟迪學(xué)生證明空間等角定理的思路，筆者讓學(xué)生先回答平面等角定理，再畫出符合條件的圖形（圖5），并把四種情況歸為第一種情況（圖5（a））.

然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生給出了如下證明.

已知：如圖5（a），AB∥AB，AC∥AC，求證：∠BAC=∠BAC.

證明：如圖6，分別在∠BAC和∠BAC的兩條邊上截取線段AB，AC，AB，AC，使得AB=AB，AC=AC.連接BC，BC，只需證明△ABC≌△ABC.

再連接AA，BB，CC.

因為AB∥AB，AB=AB，AC∥AC，AC=AC，

所以四邊形[AABB]和四邊形AACC都是平行四邊形.

所以AA∥BB且AA=BB，AA∥CC且AA=CC.

所以BB∥CC且BB=CC.

所以四邊形BBCC是平行四邊形.

所以BC=BC.

所以△ABC≌△ABC.

所以∠BAC=∠BAC.

最后，類比上述證明過程，讓學(xué)生自主探究空間等角定理的證明方法.

然而，從課堂反饋來看，教學(xué)效果并不理想. 一方面，雖然筆者不斷引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建證明問題的思路，但是基本上都是自問自答，學(xué)生很少響應(yīng);另一方面，由于這個證明的過程花費時間較多，導(dǎo)致能夠用于空間等角定理生成的時間較少，沒有充分的時間展開后面的教學(xué)環(huán)節(jié).

在評課環(huán)節(jié)，專家也指出了這個問題：該證明方法并非初中學(xué)生所學(xué)的平面等角定理的證明方法，盡管能夠證明平面等角定理，但是并非最優(yōu)選擇. 這也暴露出筆者在沒有深入研究初、高中相關(guān)內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系的情況下，強行植入“創(chuàng)造”的證明方法，沒有真正領(lǐng)會類比的精髓. 為了類比而類比，無疑加重了學(xué)生的學(xué)習負擔. 這個問題值得深刻反思.

事實上，空間等角定理是平面等角定理的推廣，兩者既有聯(lián)系也有差異. 在內(nèi)容上，雖然兩者都是“如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補”，但是平面等角定理強調(diào)的是二維平面，空間等角定理強調(diào)的是三維空間. 在證明方法上，雖然兩者都是把四種情況（圖5）化歸為一種情況（圖5（a）），但是平面等角定理是連接兩個角的頂點構(gòu)造同位角來解決，空間等角定理是連接兩個角的頂點及對應(yīng)邊的點構(gòu)造三棱柱進行處理.

總之，基于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，教師要認真研究教材、研究學(xué)生、研究技術(shù)、研究教學(xué)，合理設(shè)計教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中去，讓學(xué)生在收獲知識的同時，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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