“球門張角問題”探究的教學設(shè)計、實踐與反思

楊術(shù)林　時杰

摘? 要：從教材的探究與實踐活動內(nèi)容出發(fā)，借助TI圖形計算器對“球門張角問題”進行探究，意在引導學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題、回歸實際的完整數(shù)學探究過程，并在此過程中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學探究;球門張角;TI圖形計算器

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）將數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動作為貫穿高中數(shù)學課程的四大主線之一，意在提升學生應用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的能力. 對此，筆者嘗試從滬教版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）的探究與實踐活動出發(fā)，開展對“球門張角問題”的數(shù)學探究實踐課，嘗試探索如何在數(shù)學探究活動中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

一、教學內(nèi)容分析

教材第七章“三角函數(shù)”后的探究與實踐欄目中給出了球門張角問題，意在引導學生從不同角度考慮問題并建立恰當?shù)臄?shù)學模型. 為何會想到研究球門的張角？研究球門張角的一般路徑是什么？引導學生對這些問題進行深入思考是培養(yǎng)學生問題解決能力的絕佳機會. 球門張角問題的背景是歷史上著名的米勒問題，該問題可以進一步拓展為一般曲線和線段的張角問題，繼而用代數(shù)的方法研究幾何問題. 這就實現(xiàn)了研究方式的轉(zhuǎn)變，并與學生今后要學習的解析幾何建立了聯(lián)系.

球門張角問題的教學要注意避免陷入純粹的問題解決方法的教學，而應從現(xiàn)實情境出發(fā)，逐步引導學生發(fā)現(xiàn)問題、簡化問題，繼而提出新的數(shù)學問題，完成對數(shù)學問題的分析和解決，并對數(shù)學問題進行拓展，最終回到現(xiàn)實世界. 本節(jié)課需要回答的核心問題是如何探究足球射門的最佳位置，因而教學重點是要幫助學生經(jīng)歷探究數(shù)學問題的一般路徑，積累數(shù)學活動經(jīng)驗. 基于以上分析，確定本節(jié)課的教學主線為“背景—問題—分析—探究—拓展—應用—總結(jié)”，并由此形成知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示.

二、學生特征分析

本節(jié)課的授課對象是高一學生，學生在初中已有學習圓周角、弦切角、切割線定理的經(jīng)驗，積累了較為豐富的平面幾何知識. 在高一，學生又系統(tǒng)學習了常用三角函數(shù)公式、三角函數(shù)及其性質(zhì)，但是在陌生的問題情境中還無法靈活運用公式解決問題. 學生也缺乏利用代數(shù)知識研究幾何問題的經(jīng)驗，因而無法有效轉(zhuǎn)化幾何問題. 最主要的是，學生缺乏研究探究性問題的活動經(jīng)驗，且對技術(shù)輔助數(shù)學問題解決的作用認識不到位，發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力有所欠缺.

三、教學目標分析

本節(jié)課教學目標設(shè)置如下.

（1）借助TI圖形計算器，選擇合適的數(shù)學對象研究足球射門問題.

（2）在利用TI圖形計算器直觀感知張角變化的過程中，能夠正確構(gòu)建輔助圓模型或利用三角公式找到張角最大時的動點位置.

（3）在拓展的球門張角問題中，能夠靈活選擇三角公式表示張角，借助TI圖形計算器求解極值.

（4）經(jīng)歷探究和拓展球門張角問題的過程，逐步提升數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)，學會用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.

（5）在利用TI圖形計算器的過程中感受技術(shù)給學習帶來的優(yōu)勢，激發(fā)學習數(shù)學的興趣和熱情，感悟數(shù)學在現(xiàn)實世界中的應用價值.

四、教學支持條件分析

TI圖形計算器具有強大的幾何測量功能和函數(shù)圖象分析功能，學生通過自主操作、實驗模擬，感受幾何直觀和技術(shù)輔助對探索問題的重要性，從而自然生成構(gòu)建輔助圓解決張角問題的思路. 在一般曲線和線段的張角問題探究過程中，也可以引導學生利用TI圖形計算器的幾何測量功能先大致確定張角最大時動點的位置，再利用代數(shù)運算嚴格求解，形成幾何與代數(shù)相互為用的問題解決方法.

五、教學設(shè)計與實踐

1. 問題提出階段——情境引入，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題

（1）情境引入.

播放女足亞洲杯決賽視頻，引導學生意識到視頻中有些球射進了球門，而有些球沒有射進球門.

【設(shè)計意圖】通過播放女足比賽視頻，引出現(xiàn)實問題，在激發(fā)學生愛國情懷的同時，調(diào)動學生對射門問題的好奇心和探究興趣.

（2）發(fā)現(xiàn)問題.

問題1：哪些因素會影響足球射入球門？

預設(shè)：射門的距離，射門的角度，射門的力度，射門的時機，對方球員的干擾，等等.

【設(shè)計意圖】通過頭腦風暴提出影響足球射入球門的因素，并選擇其中最重要的兩個影響因素（射門距離和射門角度）進行分析.

（3）提出問題.

活動1：引導學生用圖形表示問題. 如圖2，將足球場抽象為矩形，球門抽象為線段，球員抽象為點，球員的運動軌跡和足球的運動軌跡抽象為直線.

活動2：利用TI圖形計算器的幾何功能，拖動點P觀察并思考距離和角度是如何影響將足球射入球門的.

問題2：已知直線[l]和線段AB，那么直線l上的動點P在何處時，對線段AB的張角∠APB最大？

【設(shè)計意圖】借助幾何直觀，合理選擇對球門的張角作為研究對象來刻畫最佳射門位置. 引導學生經(jīng)歷從實際情境中抽象數(shù)學問題的全過程，提升學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

2. 問題分析階段——位置關(guān)系，實驗觀測，結(jié)論猜測

問題3：張角最大時動點[P]的位置在何處？

（1）位置關(guān)系.

師生共同對直線[l]與線段[AB]的位置關(guān)系進行探究，如表1所示.

【設(shè)計意圖】引導學生基于直線與線段的位置關(guān)系，從幾何定性和代數(shù)定量兩個方面分析問題，并選擇直線與線段平行和垂直的情況進行重點研究.

（2）實驗觀測.

活動3：利用TI圖形計算器的幾何測量功能，拖動點P，觀察∠APB的大小變化，總結(jié)變化規(guī)律.

【設(shè)計意圖】借助幾何直觀，感性認知角的變化情況.

（3）結(jié)論猜測.

結(jié)論：選取過點[A，B]的圓與直線[l]的切點[P，] 此時張角[∠APB]最大.

【設(shè)計意圖】在感性認知角的變化情況的前提下，對問題的結(jié)論進行一定的合理性猜測，為下面的幾何論證和代數(shù)運算做準備.

3. 問題解決階段——幾何論證，代數(shù)運算，模型構(gòu)建

4. 問題拓展階段——拓展問題，實際應用，總結(jié)提煉

5. 課堂小結(jié)

六、教學反思

1. 探究活動——形成核心素養(yǎng)的有效途徑

本節(jié)探究課將《標準》中倡導的“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”融入教學路徑中，形成了如圖13所示的教學路徑. 在引導學生經(jīng)歷問題解決全過程的同時，潛移默化地提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，實現(xiàn)了數(shù)學化與生活化的有機結(jié)合. 通過對實際情境的簡化與抽象發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng);借助TI圖形計算器直觀感知張角變化過程中提升學生的直觀想象素養(yǎng);以學生容易理解的相切圖形構(gòu)建張角模型，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，形成對事物關(guān)系的理性認識. 可見，在一個數(shù)學探究活動中，學生需要調(diào)動多種數(shù)學核心素養(yǎng)參與，正是在探究數(shù)學問題的過程中逐步形成和發(fā)展了數(shù)學核心素養(yǎng). 不僅如此，在發(fā)現(xiàn)問題和提出問題階段，需要學生用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界;在分析問題階段，需要學生用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界;在解決問題、拓展問題和實際應用階段，需要學生用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界. 由此落實了《標準》對“三會”的要求.

2. 技術(shù)融合——開展探究活動的必然選擇

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學問題的探究形式也發(fā)生了變化. TI圖形計算器強大的幾何與代數(shù)功能為本節(jié)課提供了便利. 在提出問題環(huán)節(jié)，通過TI圖形計算器的直觀演示使得抽象的張角變得直觀可視，幾何測量功能能讓學生自主操作實驗，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論，為解決問題指明了方向. 在問題解決環(huán)節(jié)，面對復雜的函數(shù)解析式，TI圖形計算器幫助學生避免了煩瑣的計算，改善了學生的學習方式，提高了課堂教學效率. 但是信息技術(shù)只能用于輔助教學，課堂教學一定要注意信息技術(shù)使用的恰當性，要與學生的發(fā)展水平相適應，要有利于學生主體性的發(fā)揮，切不可以信息技術(shù)代替數(shù)學思考.

3. 文化浸潤——實現(xiàn)教育目標的關(guān)鍵要素

數(shù)學是科學也是文化，數(shù)學知識是一種顯性的文化元素，教學中應該關(guān)注隱性的數(shù)學文化元素，包括數(shù)學史、數(shù)學理性精神和數(shù)學美等. 本節(jié)課的結(jié)尾，通過介紹米勒問題引導學生探尋數(shù)學發(fā)展的歷史軌跡，讓學生體會數(shù)學的文化價值，引導學生思考知識從哪里來、知識的本質(zhì)是什么、知識到哪里去等問題. 數(shù)學教育要實現(xiàn)立德樹人的根本任務，不能只依靠傳授結(jié)果性數(shù)學知識，而要以知識為載體，走向?qū)W生自主生成的情感、態(tài)度與價值觀. 這其中，對學生的文化浸潤是必不可少的.

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