秦艷萍

【摘?要】??三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，涉及較多的概念與公式.相關(guān)習(xí)題情境復(fù)雜多變，應(yīng)用的解題思想不盡相同.其中在化歸思想指引下解題可達到化難為易，提高解題效率的目的.教學(xué)實踐中應(yīng)做好化歸思想相關(guān)理論知識的講解，結(jié)合具體例題為學(xué)習(xí)者展示針對不同題型如何進行化歸.

【關(guān)鍵詞】???劃歸思想;高中數(shù)學(xué);三角函數(shù)

1?方程向函數(shù)的轉(zhuǎn)化

方程與函數(shù)關(guān)系非常密切??[1] .將方程向函數(shù)轉(zhuǎn)化的目的在于運用函數(shù)的圖象、性質(zhì)降低方程問題難度，以達到順利解題的目標.需要注意的是解答三角函數(shù)習(xí)題時應(yīng)注重三角函數(shù)圖象的特殊性，能夠準確的分析與判斷出三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心、周期等相關(guān)內(nèi)容.另外，針對部分三角函數(shù)習(xí)題，還需要配合使用整體思想，從整體上把握相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

例如???已知關(guān)于x的方程（?sin?x+?cos?x）??2?+?cos?2x=m在區(qū)間（0，?π?]上存在兩個相異實根x??1?，x??2?，且|x??1?-x??1?|≥??π??4?，則實數(shù)m的取值范圍為（??）

（?A?）[0，2）.??????（?B?）[0，2].

（?C?）[1，?2?+1].???（?D?）[1，?2?+1）.

因為?sin???2?x+?cos???2?x=1，2?sin?x?cos?x=?sin?2x，所以（?sin?x+?cos?x）??2?+?cos?2x=m時可得?sin?2x+?cos?2x=m-1，由輔助角公式可得?sin?（2x+??π??4?）=??2??2?（m-1）.令t=2x+??π??4?，即，?sin?t=??2??2?（m-1）在區(qū)間（??π??4?，?9?π??4?]上有兩個不同的實根t??1?，t??2?，作出y=?sin?t（??π??4

2?函數(shù)向方程的轉(zhuǎn)化

函數(shù)向方程轉(zhuǎn)化在高中數(shù)學(xué)解題中也較為常用，只是對于大多數(shù)學(xué)習(xí)者而言很少關(guān)注.函數(shù)向方程轉(zhuǎn)化主要結(jié)合函數(shù)上某一點構(gòu)建相關(guān)等式關(guān)系.函數(shù)向方程轉(zhuǎn)化主要用于解決函數(shù)圖象相交、函數(shù)零點等問題.??[2] 實踐中為使學(xué)習(xí)者掌握轉(zhuǎn)化的相關(guān)規(guī)律，應(yīng)注重在課堂上多與學(xué)習(xí)者互動，多啟發(fā)學(xué)習(xí)者，通過引導(dǎo)使其能夠自己頓悟，如此才能使其真正的掌握，內(nèi)化為自身能力.

例如???已知函數(shù)f（x）=|?cos?x|（x≥0）的圖象和過原點的直線剛好有四個交點，設(shè)其中最大交點的橫坐標為θ，則?2θ?（1+θ?2）?sin?2θ?的值為（??）

（?A?）-2.??????（?B?）-1.

（?C?）0.????（?D?）2.

根據(jù)題意可知直線和f（x）=|?cos?x|（x≥0）在區(qū)間（?3?π??2?，2?π?）的圖象相切，此時f（x）=?cos?x，相切時對應(yīng)的橫坐標最大，切點坐標為（θ，?cos?θ）.由導(dǎo)數(shù)知識可得f′（x）=-?sin?x，則直線的斜率為?-?sin?θ?，則對應(yīng)的方程為y-?cos?θ=-?sin?θ（x-θ）.整理得到y(tǒng)=-x?sin?θ+θ?sin?θ+?cos?θ.而該直線過原點，即，θ?sin?θ+?cos?θ=0，解得θ=-?cot?θ，?則?2θ?（1+θ?2）?sin?2θ?=?-2?cot?θ?（1+??cot???2θ）?sin?2θ?=?-2?cot?θ?（1+??cot???2θ）?sin?2θ?=-?1???sin???2θ+??cos???2θ?=-1，選擇（?B?）.

3?數(shù)向形的轉(zhuǎn)化

數(shù)、形是高中數(shù)學(xué)研究的兩個非常重要的對象.兩個對象在某種層面上具有統(tǒng)一性，解答三角函數(shù)時關(guān)注兩者的統(tǒng)一性，實現(xiàn)彼此之間的轉(zhuǎn)化，是解題的重要思路.??[3] 其中結(jié)合“數(shù)”并聯(lián)系所學(xué)想象與畫出對應(yīng)的圖形，可降低“數(shù)”運算的復(fù)雜程度，提高計算正確率.教學(xué)實踐中應(yīng)注重為學(xué)習(xí)者匯總與三角函數(shù)相關(guān)的圖形，實際掌握畫相關(guān)三角函數(shù)圖象方法，夯實其畫圖的基本技能，為數(shù)向形順利地轉(zhuǎn)化，高效地解題奠定基礎(chǔ).

例如???已知函數(shù)f（x）=2?sin?（ωx+φ）（ω>0，-??π??4?<φ

（?A?）8.??（?B?）9.??（?C?） 10.??（?D?）11.

根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可知f（x）=2?sin?（ωx+φ）的最小正周期為2，則ω=?2?π??T?，又因為f（0）=0，-??π??4?<φ

4?形向數(shù)的轉(zhuǎn)化

解答三角函數(shù)習(xí)題時有時需要將形轉(zhuǎn)化數(shù).但是僅僅知道這一點是不行的，還需要掌握轉(zhuǎn)化的思路，轉(zhuǎn)化后數(shù)據(jù)的處理.其中形向數(shù)轉(zhuǎn)化的思路較多，在三角函數(shù)部分主要借助正余弦定理進行轉(zhuǎn)化，以構(gòu)建與圖形相關(guān)的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)然在處理數(shù)據(jù)時還應(yīng)注重挖掘與運用圖形中的隱含條件，把握圖形變化中線段、角度的變化邊界.

例如???圖2所示，四邊形ABCD的四個頂點共圓，?cos?∠ABD=?5?13?，AB=14，AD=15.

（1）求BD和?sin?A的值;（2）求四邊形ABCD周長的最大值.

對于問題（1）在△ABD中由余弦定理，可知?cos?∠ABD=?AB?2+BD?2-AD?2?2AB·BD?，將?cos?∠ABD=?5?13?，AB=14，AD=15代入解得BD=13.因為?cos?∠ABD=?5?13?>0，可知0<∠ABD

對于問題（2）由已知可知A+C=?π?，即，?sin?C=?4?5?，由（1）知BD

參考文獻：

[1] 郭嬋萍.轉(zhuǎn)化思想在“三角函數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（34）：29-31.

[2]牟曉丹.淺談中學(xué)三角函數(shù)試題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（06）：103.

[3]張廣科.三角函數(shù)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想[J].中學(xué)教學(xué)參考，2016（35）：53.