張興筑中學(xué)高級(jí)教師，市、縣優(yōu)秀教師，多年來(lái)潛心研究教法和學(xué)法，有20多篇論文在《數(shù)理天地》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《湖北教育》、《教學(xué)與管理》等雜志上發(fā)表。

性質(zhì) 垂直于角平分線的直線截角的兩邊，所截得的三角形是等腰三角形.

圖1

已知：如圖1，OP是∠MON的平分線，AB⊥OP，交ON于點(diǎn)A，交OM于點(diǎn)B，垂足為點(diǎn)C.求證：OB=OA.

證明 因?yàn)?OP平分∠MON，

所以∠BOC=∠AOC.

因?yàn)锳B⊥OP，

所以∠OCB=∠OCA=90°.

在△BOC和△AOC中，

∠BOC=∠AOC，OC=OC，∠OCB=∠OCA，

所以△BOC≌△AOC.

于是OB=OA.

應(yīng)用

例1 圖2

如圖2，已知AD是△ABC外角的平分線，CD⊥AD，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE.

求證：DE=12（AB+AC）.

證明 如圖2，延長(zhǎng)CD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

因?yàn)锳D平分∠CAF，

CD⊥AD，

由性質(zhì)可得

AC=AF.

所以CD=DF.

因?yàn)镃E=EB，

所以DE=12BF.

因?yàn)锽F=AB+AF，

所以DE=12（AB+AC）.

圖3

例2 如圖3，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. 求證：BD=2AE.

證明 如圖3，延長(zhǎng)AE和BC交于點(diǎn)F.

因?yàn)锽D平分∠ABC，

AE⊥BD，

由性質(zhì)可得AB=FB.

所以AF=2AE.

因?yàn)锳E⊥BD，

所以∠F+∠CBD=90°.

因?yàn)椤螦CB=90°，

所以∠BDC+∠CBD=90°.

于是∠F=∠BDC.

在△ACF和△BCD中，

∠F=∠BDC，∠ACF=∠BCD，AC=BC，

所以△ACF≌△BCD.

可得AF=BD.

所以BD=2AE.

圖4

例3 如圖4，已知△ABC的周長(zhǎng)為19，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，且AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E. 連接DE， 若BC=7，求DE的長(zhǎng).

解 如圖4，延長(zhǎng)AE和AD，與BC分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N.

因?yàn)锽D平分∠ABC，

AD⊥BD，

CE平分∠ACB，

AE⊥CE，

由性質(zhì)可得AB=BN，AC=CM.

所以點(diǎn)D，E分別為AN，AM的中點(diǎn).

于是DE=12MN.

因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為19，BC=7，

所以AB+AC=12.

從而B(niǎo)N+CM=12.

因?yàn)锽N=MN+BM，

BM+CM=BC=7，

所以MN=5.

因此DE=52.

注 由以上三例可以看出，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，是作角平分線的垂線，使它與角的兩邊相交，這樣才能應(yīng)用性質(zhì)，同時(shí)也為解題者提供了添加輔助線的方法.

練習(xí)

1.如圖5，已知AO是△ABC的角平分線，BD⊥AO交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE，CD.若AB=3AC，求證四邊形ACDE是平行四邊形.

圖5圖6

2.如圖6，已知在△ABC中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為點(diǎn)D. 求證：BC-AC=2DE.