王晉中 谷艷玲

摘 要：本研究以離心式壓縮機(jī)懸臂轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)由氣流激勵(lì)引起的間隙激振力影響下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性分析。采用Timoshenko梁單元來模擬離散后的系統(tǒng)各軸單元，使用集中質(zhì)量來模擬葉輪在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中受到的影響，引入Alford氣流間隙力模型、Muszynska迷宮密封力模型、滾動(dòng)軸承力模型，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，使用Newmark-β隱式積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法進(jìn)行求解。分別研究不同轉(zhuǎn)速下Alford力、密封力、滾動(dòng)軸承力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響。結(jié)果表明，密封力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有促進(jìn)作用，滾動(dòng)軸承力會(huì)引起密封力，從而導(dǎo)致系統(tǒng)鎖頻頻率偏移，Alford力對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)幅值有較小的影響。

關(guān)鍵詞：懸臂轉(zhuǎn)子;Alford力;密封力;滾動(dòng)軸承;動(dòng)響應(yīng)分析

中圖分類號(hào)：TH113.1 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-5168（2022）9-0032-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.09.006

Dynamic Response Analysis of Cantilever Rotor System under Airflow Excitation

WANG Jinzhong? ? GU Yanling

（College of Mechanical Engineering Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China）

Abstract：In this study，taking the cantilever rotor system of centrifugal compressor as the research object，the dynamic stability of the rotor system under the influence of clearance excitation force caused by airflow excitation is analyzed.Timoshenko beam element is used to simulate the discrete shaft elements of the system，and the concentrated mass is used to simulate the influence of the impeller in the rotor system.Alford air gap force model，Muszynska labyrinth sealing force model and rolling bearing force model are introduced to establish the dynamic equation of the system.Use? Newmark-β numerical calculation method of implicit integration solved the differential equation.The effects of Alford force，sealing force and rolling bearing force on the rotor system at different speeds are studied.The results show that the sealing force can promote the stability of the rotor system，the rolling bearing force will shift the frequency locking of the system caused by the sealing force，and the Alford force has a small influence on the vibration amplitude of the system.

Keywords：cantilever rotor;Alford force;sealing force;rolling bearing force;dynamic response analysis

0 引言

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為離心壓縮機(jī)中的主要做功部分，其穩(wěn)定性對(duì)離心壓縮機(jī)的運(yùn)行有著極大的影響，其運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)不僅會(huì)使離心壓縮機(jī)組產(chǎn)生故障，也會(huì)造成軸承、軸、葉輪等零件的局部損壞，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致整個(gè)機(jī)組被破壞[1-3]。隨著轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究的不斷深入，大功率復(fù)雜透平機(jī)械動(dòng)力學(xué)模型中需要考慮的關(guān)鍵因素不斷增加，不僅要考慮轉(zhuǎn)子本身的機(jī)械結(jié)構(gòu)等基本要素，還要考慮軸承和密封件等其他因素對(duì)轉(zhuǎn)子的影響。因此，對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型的研究是非常有必要的。而離心壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中主要的氣流激勵(lì)力是由葉輪后端的密封力及葉輪葉尖間隙力即Alford力組成。袁振偉等[4]基于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，建立了加載Alford力的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，發(fā)現(xiàn)了Alford力促進(jìn)正進(jìn)動(dòng)抑制反進(jìn)動(dòng)的特性。羅貴火等[5]采用有限元分析法建立了Alford力作用下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)計(jì)算求解后得出了不平衡量、轉(zhuǎn)速、支承剛度、阻尼及圓盤位置對(duì)該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。李彬等[6]將葉片視為懸臂梁，建立了Alford力作用下葉片彎曲振動(dòng)的系統(tǒng)模型，分析得出Alford力使系統(tǒng)的穩(wěn)定性更復(fù)雜且失穩(wěn)區(qū)域擴(kuò)大的結(jié)論。成玫等[7]通過Jeffcott轉(zhuǎn)子模擬風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，研究Alford力下滾動(dòng)軸承參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響。黃若等[8]將車用渦輪增壓器轉(zhuǎn)子簡化為Jeffcott轉(zhuǎn)子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，采用Black密封力模型和Alford葉尖間隙力模型，研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中球軸承在加速度不同的情況下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)變化。對(duì)于密封力，羅躍綱等以轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)為研究對(duì)象，應(yīng)用滾動(dòng)軸承力模型和Muzynska密封力模型，研究了轉(zhuǎn)速、偏心量及密封參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響[9]，也研究了密封轉(zhuǎn)子在摩碰故障下的特征變化[10]。

本研究以懸臂轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，應(yīng)用有限元法及質(zhì)量集中法來模擬轉(zhuǎn)子系統(tǒng)矩陣，在其對(duì)應(yīng)位置添加葉輪間隙力、密封力和滾動(dòng)軸承力，組建系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，在不同轉(zhuǎn)速下研究三種非線性力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響。

1 轉(zhuǎn)子-密封-軸承模型的建立

為了有針對(duì)性地研究氣流激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各種響應(yīng)，通過有限元方法建立了如圖1所示的轉(zhuǎn)子-密封-軸承系統(tǒng)模型。采用Muszynska密封力模型來計(jì)算密封安裝部位轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)時(shí)由轉(zhuǎn)子偏心所產(chǎn)生的密封力，采用Alford葉輪葉尖間隙力模型來計(jì)算葉輪部位葉輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由轉(zhuǎn)子偏心產(chǎn)生的徑向力，而軸承部位則采用角接觸球軸承的非線性力模型。

圖1為轉(zhuǎn)子-密封-軸承模型的二維結(jié)構(gòu)簡圖，在整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上建立長均勻軸段，最終將系統(tǒng)離散化成為28個(gè)軸單元，即系統(tǒng)共有29個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖2為Timoshenko梁單元的示意圖，軸段存在兩個(gè)斷面節(jié)點(diǎn)A和B，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度。這里只研究徑向響應(yīng)，忽略z軸方向的位移及轉(zhuǎn)動(dòng)角兩個(gè)自由度，則軸段單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)均存在4個(gè)自由度。

1.1 迷宮密封力模型

本研究選取基于大量試驗(yàn)且更接近于實(shí)際、能夠更好地反應(yīng)密封力非線性特性的Muszynska迷宮密封力模型。該模型引入了密封間隙的流體運(yùn)動(dòng)平均流速為τ，將流體作用力視為以平均角速度τω轉(zhuǎn)動(dòng)的力密封力計(jì)算公式如式（1）所示。

[Ff xFf y=-? ? ?K-mfτ2ω2? ? ? τωD? ? ? -τωD? ? ? ? ? ? K-mfτ2ω2]

[xy-? ? ?D? ? ? ? ?2τωmf-2τωmf? ? ? D? ? xy-mf? ? ?00? ? ?mfxy]

（1）

式中：K、D、mf分別表示密封力的當(dāng)量剛度、阻尼和質(zhì)量;且K、D、τ均為與擾動(dòng)位移x、y有關(guān)的非線性函數(shù)。本研究選取的密封參數(shù)如表1所示。

1.2 滾動(dòng)軸承力模型

圖3為滾動(dòng)軸承的軸向截面示意圖，滾動(dòng)軸承在運(yùn)行過程中，內(nèi)圈通過過盈配合與轉(zhuǎn)軸固定在一起，外圈則固定在軸承座上，滾動(dòng)體在滾道中等距排列且假設(shè)為純滾動(dòng)。其中，滾動(dòng)體的數(shù)量為Nb，軸承外徑為R，內(nèi)徑為r，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為ω。滾動(dòng)體與外圈接觸點(diǎn)的線速度Vout為0，與內(nèi)圈接觸點(diǎn)的線速度Vin為ω×r，保持架的角速度ωc，計(jì)算公式見式（2）。

[ωc=（ω×r）/2（R+r）/2=ω×rR+r]? ? ?（2）

假設(shè)轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動(dòng)中在X方向和Y方向上產(chǎn)生的振動(dòng)位移擾動(dòng)分別為x和y，且軸承間隙為c0，則第i個(gè)滾動(dòng)體和滾道的法向接觸變形δi計(jì)算公式見式（3）。

[δi=xcosθi+ysinθi-c0]?; ? （3）

式中，θi為滾動(dòng)體在軸承中的接觸位置角。

[θi=ω×t+2πNb（j-1），i=1，2，...，Nb]? （4）

由非線性赫茲接觸理論可知，當(dāng)δi>0時(shí)，第i個(gè)滾動(dòng)體與滾道才會(huì)接觸產(chǎn)生接觸壓力Fi，引入階躍函數(shù)H，其計(jì)算公式見式（5）。

[H（δi）=1，? ? ?δi>00，? ? ?δi≤0]? ? ? （5）

則滾動(dòng)體承受的力Fi計(jì)算公式見式（6）。

[Fi=cb×δai×H（δi）×cosa]? ? （6）

式中：α=3/2，cb為赫茲接觸剛度軸承對(duì)轉(zhuǎn)軸的總支承力，如式（7）所示。

[Fx=i=1NbFix=i=1NbFicosθiFy=i=1NbFiy=i=1NbFisinθi]? ? （7）

1.3 Alford力模型

傳統(tǒng)的Alford力模型如式（8）所示。

[FxFy=0? ? ? ?ka-ka? ? ?0][xy]? ? （8）

對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程來說，相當(dāng)于增加了交叉耦合剛度ka，計(jì)算公式見式（9）。

[ka=τβDH]? ? ? ? （9）

式中：τ為流體作用在葉片上的扭矩;D為葉片中徑;H為葉片高度（或長度）;β為單位間隙變化引起的動(dòng)力效率變化系數(shù)。

對(duì)于壓縮機(jī)葉輪來說，流體作用在葉片上的扭矩如式（10）所示。

[τ=9 550 Pn]? ? ? ?（10）

式中，P為電機(jī)傳遞給轉(zhuǎn)子的功率。

本研究中設(shè)定的葉輪各項(xiàng)參數(shù)如表2所示。

1.4 懸臂轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程及求解

根據(jù)拉格朗日方程得到整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如式（11）所示。

[Mu+（C+D）u+Ku=Fp+Ff+Fk+Fa+G]

（11）

式中：M為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣;D為陀螺矩陣;K為剛度矩陣;C為系統(tǒng)的比例阻尼矩陣;[Fp]為偏心力向量;[G]為重力向量;Ff為密封力向量;Fa為葉輪間隙力向量;Fk為軸承力向量。

2 仿真結(jié)果及分析

2.1 無密封力情況下的系統(tǒng)響應(yīng)

在懸臂轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無氣流激勵(lì)的情況下，在轉(zhuǎn)子上設(shè)置600 mm·g的偏心量，在軸承力節(jié)點(diǎn)處將軸承支承設(shè)置為剛度阻尼支承，利用Newmark-β求解后得到其在不同轉(zhuǎn)速下穩(wěn)速運(yùn)行的軸心軌跡圖、時(shí)域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖，如圖4所示。

對(duì)圖4中的Poincaré截面圖分析后發(fā)現(xiàn)，隨著轉(zhuǎn)速的上升，系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)逐漸發(fā)生失穩(wěn)，由周期運(yùn)動(dòng)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閿M周期運(yùn)動(dòng);從頻譜圖可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，頻域主要體現(xiàn)為轉(zhuǎn)頻，并且幅值逐漸增加;從時(shí)域圖可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的上升，振動(dòng)幅值逐漸變大，并且在14 000 r/min時(shí)幅值產(chǎn)生較明顯的波動(dòng)。

2.2 有密封力情況下的系統(tǒng)響應(yīng)

除葉輪外，離心壓縮機(jī)氣流激勵(lì)的主要來源就是密封力。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸封安裝位置的節(jié)點(diǎn)處施加Muszynska密封力，通過數(shù)值計(jì)算得到不同轉(zhuǎn)速的軸心軌跡圖、時(shí)域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖，如圖5所示。

從圖5可以看出，在低轉(zhuǎn)速情況下，系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，但頻譜上出現(xiàn)了細(xì)小的二倍頻成分。隨著轉(zhuǎn)速的上升，系統(tǒng)逐漸失穩(wěn)，Poincaré截面圖為一條幾乎閉合的環(huán)狀曲線，說明系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng);頻譜中出現(xiàn)的其他成分能量主要來自密封力，且頻率鎖定不變，但幅值隨著轉(zhuǎn)速的升高而變大，在轉(zhuǎn)速為14 000 r/min時(shí)，頻譜中出現(xiàn)了明顯的轉(zhuǎn)頻和鎖頻組合頻率;轉(zhuǎn)頻幅值相對(duì)于無密封時(shí)總體有所減小，說明密封力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行具有積極的作用。

2.3 密封力、軸承力作用下的系統(tǒng)響應(yīng)

將軸承力模型施加在轉(zhuǎn)軸相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上，計(jì)算得到不同轉(zhuǎn)速的軸心軌跡圖、時(shí)域波形圖頻譜圖和Poincaré截面圖（見圖6）。

從圖6可以看出，在低轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，但振動(dòng)能量成分明確，僅有工頻及其二倍、三倍頻。隨著轉(zhuǎn)速的增加，在93.33 Hz左右出現(xiàn)鎖頻，一倍頻的幅值有所減小，但鎖頻幅值在增大;在添加軸承力以后，高轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的穩(wěn)定性有所增加，處于倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);相較于8 000 r/min的轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速為14 000 r/min的頻譜圖能量成分更加清晰，但是在鎖頻和一倍頻兩個(gè)頻率處的振動(dòng)幅值都有明顯上升，且鎖頻頻率相對(duì)于只有密封力時(shí)有所增加。

2.4 密封、軸承、Alford力共同作用下的系統(tǒng)響應(yīng)

離心壓縮機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中不可避免地存在著因葉輪偏心引起的葉尖間隙力，將葉輪間隙力施加在葉輪所在節(jié)點(diǎn)，數(shù)值計(jì)算后得到不同轉(zhuǎn)速的軸心軌跡圖、時(shí)域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖（見圖7）。

由圖7可知，低轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，轉(zhuǎn)速升高后出現(xiàn)鎖頻現(xiàn)象，且系統(tǒng)處于概周期和倍周期運(yùn)動(dòng);與無葉輪間隙力相同，隨著轉(zhuǎn)速增大，鎖頻幅值增大，工頻幅值減小;轉(zhuǎn)速為8 000 r/min時(shí)，葉輪間隙力使系統(tǒng)更加不穩(wěn)定，當(dāng)速度達(dá)到14 000 r/min時(shí)，葉輪力的影響減小，但仍加劇了系統(tǒng)失穩(wěn)的狀態(tài);在葉輪力的影響下，系統(tǒng)振動(dòng)頻率沒有發(fā)生變化，但其幅值存在細(xì)微的波動(dòng)。

3 結(jié)語

本研究采用有限元法建立了懸臂葉輪轉(zhuǎn)子-密封-軸承系統(tǒng)，使用隱式積分法Newmark-β求解得到不同轉(zhuǎn)速、受力情況下的軸心軌跡圖、時(shí)域波形圖、頻譜圖和Poincaré截面圖。分析后發(fā)現(xiàn)在固定剛度阻尼支承下，由于偏心量的影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速增加而逐漸失穩(wěn);在軸封部位添加密封力后，高轉(zhuǎn)速下會(huì)出現(xiàn)鎖頻現(xiàn)象，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)主要以概周期運(yùn)動(dòng)為主，并且轉(zhuǎn)頻相對(duì)于沒有密封力時(shí)有所降低;繼續(xù)在支承位置添加軸承力后，低轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)較差，高轉(zhuǎn)速下鎖頻頻率發(fā)生偏移，系統(tǒng)處于倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在葉輪位置添加葉尖間隙力后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要頻率成分的幅值都有細(xì)微的變動(dòng)。

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