李 林

(天津商業(yè)大學信息工程學院，天津 300134)

0 引言

WSN用于目標定位與追蹤、頻譜感知、自動雷達、導航及機器視覺等領域時，常需要節(jié)點協(xié)同估計同一個未知參數(shù)[1]。WSN中的每個節(jié)點用一組輸入觀測未知參數(shù)，由于環(huán)境復雜這些觀測值是未知目標參數(shù)受多元噪聲(如環(huán)境或測量噪聲)干擾后的觀測值，由這些觀測數(shù)據(jù)所得到的參數(shù)與原始目標參數(shù)相去甚遠[2]。所以，如何從噪聲干擾中精確地估計出原始目標參數(shù)是一個重要的問題[3]。參數(shù)估計算法已經(jīng)有了大量的研究，通常會選用一些自適應算法作為參數(shù)估計算法，如線性預測算法、最速下降算法、遞歸最小二乘算法、平方根自適應算法和最小均方自適應LMS(least mean square)等。

本文基于CS提出了一種用于WSN稀疏參數(shù)估計的自適應壓縮融合重構(compressed combined reconstruct adaptive，CCRA)。首先，節(jié)點先將本地的全維參數(shù)估計值由一個感知矩陣變換到低維的估計值，即將估計值壓縮，節(jié)點僅傳輸壓縮后的估計值；其次，節(jié)點收集其鄰居節(jié)點壓縮后的估計值和自身的本地壓縮后的估計值融合。然后，節(jié)點通過重構算法精確地重構出全維的估計參數(shù)。最后，每個節(jié)點LMS 算法更新下一時刻自身的估計值，其中步長選用歸一化步長。CCRA 算法在不影響網(wǎng)絡的估計性能情況下，降低了網(wǎng)絡的通信負載。

本文首先描述WSN參數(shù)估計的問題，介紹了參數(shù)估計的數(shù)學模型；然后分析了基于LMS算法的估計策略，給出了集中式策略和分布式策略的理論推導，并分析二者特點；提出了一種用于WSN稀疏參數(shù)估計的CCRA策略，針對稀疏參數(shù)估計引入了CS理論；最后通過仿真與結果分析，對CCRA策略與其他策略進行了對比分析，說明各自的有效性。

1 WSN參數(shù)估計

本文研究一個有N個節(jié)點的WSN。WSN參數(shù)估計的線性回歸模型可表示為

di(t)=WToui(t)+vi(t)

(1)

式中：di(t)為標量觀測值；ui(t)為節(jié)點i在t時刻的回歸向量；Wo為未知的目標參數(shù)向量；vi(t)為節(jié)點在觀測未知參數(shù)時的干擾。

2 LMS策略

本節(jié)給出了參數(shù)估計的集中式LMS策略以及分布式LMS策略的原理和數(shù)學推導過程。

2.1 集中式LMS策略

為得到接近原始的未知目標參數(shù)wo的估計值w，需要將參數(shù)估計的全局代價函數(shù)最小化，全局代價函數(shù)Jglobal(w)可表示為

(2)

式中E為期望。

假設ui是聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機過程，則集中式LMS算法的遞歸公式可表示為

(3)

式中：μ為遞歸表達式的步長，μ>0；w(t)為t時刻對未知參數(shù)wo的先驗估計。

由式(3)可以看出，集中式策略每輪都需要一個中心節(jié)點來收集和處理網(wǎng)絡中所有節(jié)點的估計信息，這將帶來很大的通信負載。如果網(wǎng)絡中的節(jié)點之間通信鏈路失效或者更改，集中式LMS策略就很難運行，魯棒性較差。

2.2 分布式LMS策略

分布式LMS增量策略是最簡單的分布式策略，增量策略中節(jié)點的估計信息經(jīng)過一個單向的哈密頓回路在節(jié)點之間傳遞，每個節(jié)點將其信息傳輸給同方向的下一節(jié)點。對給定拓撲的傳感器網(wǎng)絡，這種策略在節(jié)點數(shù)目較多和拓撲復雜時魯棒性較差。

在分布式共識和擴散LMS策略中，每個節(jié)點只需要與鄰居節(jié)點交換估計信息來獲取估計值，如圖1所示。如果2個節(jié)點可以直接通信，則定義這2個節(jié)點互為鄰居節(jié)點[3]。例如，節(jié)點7的鄰居節(jié)點定義為Ω7，Ω7包含節(jié)點7本身。每個節(jié)點需要計算其本地估計值，并從鄰居節(jié)點中獲取鄰居節(jié)點的本地估計。如圖1中，箭頭表示節(jié)點之間的通信鏈路，節(jié)點7的鄰居節(jié)點集合Ω7為節(jié)點3、5、6、7、8。這些節(jié)點可以與節(jié)點7直接通信。由于網(wǎng)絡采用分布式共識和擴散策略，當網(wǎng)絡中一些節(jié)點不能正常通信，整個網(wǎng)絡仍能繼續(xù)工作。

圖1 分布式共識和擴散LMS策略

分布式共識和擴散LMS參數(shù)估計策略可以分為3個階段，分別是信息交換階段、適應階段和融合階段。根據(jù)網(wǎng)絡的拓撲，節(jié)點i賦予不同的融合系數(shù)來融合每個鄰居的估計值：

(4)

式中：γii為節(jié)點i自身估計值的融合系數(shù)；γij為其鄰居節(jié)點j在節(jié)點i的融合階段的融合系數(shù)。

融合系數(shù)需要滿足式(4)。

融合系數(shù)的計算多種規(guī)則，本文中選用的Metropolis規(guī)則為:

(5)

分布式共識策略與擴散LMS策略的主要區(qū)別是：共識策略在適應階段用加權融合后的估計值和本地估計值結合用來計算下一時刻的估計值，擴散策略在數(shù)據(jù)融合后，適應階段僅用融合后的估計值計算下一時刻估計值。選用分布式擴散LMS策略，并給出推導過程。

分布式擴散LMS策略中，節(jié)點需要從自身以及鄰居節(jié)點的估計值中尋求對未知參數(shù)wo的估計。在每個t時刻，節(jié)點i對wo的估計值為wi(t)，則下一時刻t+1的估計值的更新方程的遞歸表達式為

(6)

式中μi為節(jié)點i的LMS算法步長。

為了化簡更新方程，在wi處用泰勒級數(shù)展開式(6)大括號內(nèi)的最后一項去除步長的部分[di(t)-

uTi(t)wi]2，可得：

(7)

式中eij(t)=di(t)-uTi(t)wj。

同樣的，可以將其在wi(t)處也用泰勒級數(shù)展開，可得：

[di(t)-uTi(t)wi]2=e2i(t)-2ei(t)·
uTi(t)[wi-wj(t)]+o‖wi‖2

(8)

式中ei(t)=di(t)-uTi(t)wi。

將式(7)和式(8)帶入式(6)，因為融合系數(shù)滿足式(4)，則式(6)可表示為

在過去幾十年中，蛋白質(zhì)組學技術從出現(xiàn)到發(fā)展取得了巨大的進步。蛋白質(zhì)組學技術可以定性、定量分析不同樣品中的蛋白質(zhì)種類及性質(zhì)[2]。蛋白質(zhì)組學技術一般包含樣品處理、質(zhì)譜測定和數(shù)據(jù)分析三個步驟。

(9)

式(9)中大括號內(nèi)部的式子是一個關于wi的函數(shù)f(wi)。為了得到wi(t+1)，則需要求出使得f(wi)最小的wi：

f′(wi)=0

(10)

則求解關于wi的方程式(10)，可得出wi(t+1)的分布式更新函數(shù)為：

wi(t+1)+φi(t+1)+μiui(t)[di(t)-uTi(t)φi(t+1)]

(11)

(12)

式(11)為適應階段，式(12)為融合階段。

3 用于WSN稀疏參數(shù)估計的CCRA策略

本節(jié)引入CS理論，提出了CCRA策略，給出了策略的算法步驟和流程圖，并對該策略做了穩(wěn)定性分析。在本節(jié)中沿用第2節(jié)的模型，并假定模型中未知參數(shù)向量wo是稀疏的，即wo中僅有少量的非零元素，其他元素均為零。

3.1 用于參數(shù)估計的CS

由于未知參數(shù)wo是稀疏的，若估計值w為準確的，也應該是稀疏的。若直接用標準擴散策略將傳輸其全維估計值，特別的當維數(shù)較高時，通信負載依然很大。CS理論可以通過少量的觀測值完整高概率地恢復出原始稀疏向量。當未知目標參數(shù)為稀疏向量時，引入CS，可以在完全不影響其估計性能的情況下降低通信負載。

用于參數(shù)估計的CS模型可表示為：

(13)

(14)

3.2 CCRA策略

與標準的分布式擴散LMS策略相比，CCRA策略增加了2個階段，分別是壓縮階段和重構階段。在每一時刻t，各個節(jié)點將自己的本地估計值壓縮，計算出本地壓縮估計。壓縮階段的方程為

(15)

式中Γi為滿足獨立同分布的高斯隨機矩陣。

鄰居節(jié)點之間交換各自的本地壓縮估計，如式(16)所示：

(16)

(17)

本文提出的CCRA策略將步長μ歸一化處理，用μ′代替標準擴散策略中μ，μ′用式(18)計算：

(18)

適應階段用式(18)得到的全維估計，計算出下一時刻的本地估計值并更新，更新方程如式(19)所示：

wi(t+1)=φi(t+1)+μ′iui(t)[di(t)-uTi(t)φi(t+1)]

(19)

CCRA策略架構如圖2所示。

4 仿真結果與分析

本節(jié)對提出CCRA策略仿真，與其他策略對比，并分析仿真結果。通信負載包含傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包數(shù)量、傳輸包投遞率和傳輸延遲。本節(jié)對比的其他基于LMS的策略與本文提出的2種策略相比，數(shù)據(jù)包投遞率和傳輸延遲沒有區(qū)別。所以本節(jié)與文獻[3，5]相同，在仿真對比中，采用傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包數(shù)量來描述整個WSN的通信負載。

本節(jié)將用于稀疏參數(shù)估計的CCRA策略與其他分布式擴散LMS策略(如DLMS、無合作LMS、NDLMS和RC-LMS)對比。為與其他分布式擴散LMS策略在相同條件下對比，WSN拓撲節(jié)點數(shù)量N=20。在仿真中，輸入回歸向量和未知稀疏參數(shù)向量的維數(shù)M=32，輸入回歸向量為AR-1[6]過程ui(t)=xi(t)+ρiui(t-1)的一個采樣ui(t)=[ui(t)ui(t-1)…ui(t-M+1)]T，相關系數(shù)ρi=0.5，xi(t)是一個σx,j=1的白噪聲過程。xi(t)是一個σx,j=1的白噪聲過程。由于M=32，則回歸輸入向量ui(t)為32×1的向量。每個節(jié)點回歸矩陣的跡為Ri=E(ui(t)uTi(t))。仿真時間t=1,2,…,T，其中T=2 000。

每個節(jié)點的噪聲vi(t)是一個0均值的高斯過程。每個節(jié)點的輸入回歸向量和噪聲都在時間和空間上相互獨立。仿真中稀疏目標參數(shù)向量的稀疏度為2，感知矩陣Γi是一個固定的D×M的高斯隨機矩陣D=12，滿足R.I.P性質(zhì)。無合作LMS、DLMS和RC-DLMS這些固定步長策略的步長μ=0.01。自適應步長策略NDLMS和本文提出的CCRA策略設置為μ′=0.4/uTi(t)ui(t)。RC-LMS的能耗參數(shù)選為性能和通信負載可以兼顧的0.5。

仿真中所有曲線均為50次獨立運行的平均值。圖3中可以看出在520輪時，本文提出的CCRA的全局MSD已經(jīng)低于-50 dB，而其他擴散LMS策略均需要在1 200輪之后才接近于-50 dB。圖3中可以看出，本文提出的CCRA策略在收斂速度上快于其他擴散LMS策略，在穩(wěn)態(tài)的性能上優(yōu)于其他策略。為進一步的分析評估幾種策略在穩(wěn)定狀態(tài)的網(wǎng)絡估計性能，取后500個時刻的數(shù)據(jù)描述穩(wěn)定狀態(tài)，將這500個時刻的瞬時值做平均。如圖4所示，CCRA策略在穩(wěn)定狀態(tài)的MSD在-55 dB左右，其他策略的MSD均高于CCRA策略，節(jié)點的平均MSD如表1所示。

圖3 網(wǎng)絡平均MSD性能對比圖

圖4 各節(jié)點穩(wěn)定狀態(tài)MSD性能對比圖

表1 穩(wěn)定狀態(tài)下的平均MSD對比 dB

DLMS和NDLMS策略和標準的擴散策略的通信負載相同，RC-DLMS和CCRA策略降低通信量的方式是不同，RC-DLMS是降低數(shù)據(jù)包個數(shù)而CCRA是降低單個數(shù)據(jù)包的長度。為便于比較，用所需通信數(shù)據(jù)向量的總維數(shù)來描述通信負載。無合作LMS中節(jié)點不與其他節(jié)點通信不作考慮，4種策略的通信負載隨時間的比較如表2所示。

表2 4種策略的通信負載對比(CCRA) %

DLMS和NDLMS的擴散策略單位時刻需要傳送12 800維信息，而RC-DLMS需要傳輸6 400維數(shù)據(jù)，即50%的通信負載下，在收斂速度和MSD性能上接近DLMS和NDLMS。本文提出的CCRA策略在仿真中只需要傳輸4 800維數(shù)據(jù)，收斂速度優(yōu)于DLMS策略和NDLMS策略，MSD性能優(yōu)于這2種標準策略。針對稀疏參數(shù)的估計，本文提出的CCRA策略僅傳輸壓縮后的估計信息，在不影響網(wǎng)絡估計性能的情況下，顯著降低了WSN所需的通信負載，其中CCRA策略對網(wǎng)絡的收斂速度和MSD性能有所改善。

5 結束語

本文給出了WSN參數(shù)估計問題的數(shù)學模型。介紹了集中式LMS策略和分布式LMS策略的優(yōu)劣，指出WSN中更適用與分布式策略。針對大多數(shù)應用中所估計的未知參數(shù)是稀疏的這一特點，提出了一種用于WSN稀疏參數(shù)估計的低功耗稀疏參數(shù)估計策略CCRA，給出該策略的全局狀態(tài)空間模型，并證明了CCRA策略的收斂性。仿真結果表明，目標未知參數(shù)是稀疏參數(shù)時，CCRA策略在不影響網(wǎng)絡估計性能的情況下，與其他低負載策略相比，降低了通信負載。