王程程

[摘 要]數(shù)學教學活動通過矛盾沖突來喚起學生的求知需求，激發(fā)學生的學習興趣，由此推進新知的探究進程。在教學中，教師可在舊知鋪墊中用沖突有效對接，在情境中用沖突激發(fā)興趣，在比較辨析中用沖突明確本質，以豐富學生的認知建構過程。文章以“中位數(shù)”的教學為例闡述概念性教學中巧妙設計認知沖突的重要性。

[關鍵詞]認知沖突;平均數(shù);中位數(shù)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0063-03

認知沖突指的是人們在認知發(fā)展過程中，當原有概念（或認知結構）與現(xiàn)實情境不相符時在心理上所產(chǎn)生的矛盾或對立。這種沖突會成為學生學習道路中的障礙，會給學生的新知學習帶來困難。如果教師能巧妙設計和利用認知沖突，便能喚起學生的求知需求，激發(fā)學生的學習興趣，由此推進新知的探究過程。

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)是小學數(shù)學的三個基本統(tǒng)計量，這三個統(tǒng)計量可讓學生體會到數(shù)學在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，從而促進學生將數(shù)學充分應用在日常生活中。在統(tǒng)計學上，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，但是它們反映的數(shù)據(jù)基本特征有所不同，它們從不同角度提供了同一組數(shù)據(jù)的真實面貌，因此它們有著不同的含義和適用范圍。小學生的思維能力比較薄弱，要準確使用這三個統(tǒng)計量有一定的難度。本文主要闡述如何借助學生已有的“平均數(shù)”知識和熟悉的生活情境巧妙設計認知沖突，進而引導學生比較和辨析“中位數(shù)”，從而明確其本質。

一、利用舊知，引發(fā)沖突，促進探究

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“數(shù)學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上?！苯嬛髁x也認為，學習并不是簡單地將知識進行堆砌，而是新舊知識和已有經(jīng)驗的相互作用而發(fā)生的知識重組和知識網(wǎng)的重建。這些都告訴我們，在教學中要關注學生的學習起點。在學習中位數(shù)以前，學生就在三年級認識了平均數(shù)，初步了解了平均數(shù)的概念;四年級又進一步學習了平均數(shù)，掌握了平均數(shù)的含義及其求法。其中，教材中的“平均數(shù)”的課后練習“你知道嗎？”引導性地提出：“在演唱比賽中，每個評委都要為選手打分。計算選手的得分時，往往要去掉一個最高分和一個最低分。這是因為每個評委的欣賞角度不同，每個人給同一位選手打出的分數(shù)也就不同。去掉一個最高分和一個最低分，可以剔除一些極端數(shù)據(jù)，使最后的得分更加公平合理，更能代表選手的實際水平。”這里滲透的解決現(xiàn)實問題的思想為學生日后學習中位數(shù)埋下了伏筆。

教師在教學中便可以利用平均數(shù)與中位數(shù)的特征差異，讓學生產(chǎn)生認知沖突，從而激發(fā)學生的求知需求。

[教學片段一]

師：小芳第一次單元測試的成績是85分。學期結束，以這個85分作為小芳的平時成績，你認為合理嗎？說說你的理由。

生1：不合理。一次成績并不能充分體現(xiàn)小芳學習的真實水平。

生2：不合理。我覺得應該用多次單元測試的成績的平均數(shù)來代表學期成績。

【設計意圖：從學生熟悉的單元測試成績?nèi)胧?，調動學生參與的積極性，促使學生回顧已學過的“平均數(shù)”概念?！?/p>

師（小結）：是的，平均數(shù)能反映同學們學習的一般水平。（板書：平均數(shù)）

師：下面老師帶來了一個實際問題。（展示問題及相關數(shù)據(jù)，如表1）如果你是應聘者，你會選擇哪家公司？

生3：會優(yōu)先考慮工資待遇高的公司。

師（追問）：那哪個數(shù)據(jù)能表示甲公司員工工資的一般水平呢？乙公司呢？

【設計意圖：由工資話題入手，激發(fā)學生的學習興趣。】

師：請你算一算?？梢允褂糜嬎闫饔嬎?。

（學生獨立完成，教師巡視，收集學生答題過程并展示。）

展示學生作品：

甲公司：（2900+3100+2600+3000+3200+2800+3400）÷7=3000（元）

乙公司：

方法1：（2200+1800+1900+2400+1700+2000+9000）÷7=3000（元）

方法2：（2200+1800+1900+2400+1700+2000）÷6=2000（元）

方法3：（2200+1800+1900+2400+2000）÷ 5=2060（元）

師：對于甲公司，這里求的是什么？它能不能反映甲公司員工的一般工資水平？

生4：由于甲公司6位員工和經(jīng)理的工資水平相差不多，因此我們可以用7個人的平均工資來反映甲公司員工的一般工資水平。

師：那乙公司呢？我發(fā)現(xiàn)有3種解法。為什么要這樣做？

生5：方法1跟處理甲公司的方法一樣，用7個人的平均工資來反映乙公司員工的一般工資水平。

生6：方法1求得平均數(shù)3000元，乙公司只有1人的工資超過了3000元，其余6人的工資都低于3000元。因此，平均數(shù)3000元不能反映乙公司員工的一般工資水平。

生7：方法2關注到經(jīng)理的工資9000元遠遠高于其他員工的工資，因此計算時去掉了最高工資9000元，求的是剩下6位員工的平均工資，以此來反映乙公司員工的一般工資水平。

生8：方法3同時剔除了乙公司7個人中的最高工資和最低工資，求出了剩下5位員工的平均工資，以此來反映乙公司員工的一般工資水平。

師：生活中有沒有這樣的例子？是怎么處理的？

生9：生活中我們在算比賽成績時也會去掉最高分和最低分，求出剩下分數(shù)的平均分，以此來代表參賽選手的最終得分。

師（小結）：通常，我們可以用平均數(shù)來反映一組數(shù)據(jù)的一般水平，但當這組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)時，用平均數(shù)來反映就不合適了。

二、借用情境，誘發(fā)沖突，激發(fā)興趣

利用工資水平的問題情境，讓學生初步感受到并不是所有數(shù)據(jù)都適合用平均數(shù)來表示它們的平均水平，從而引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生繼續(xù)探究的欲望。隨后，在特殊情況的教學中，新概念“中位數(shù)”便應運而生。

[教學片段二]

師：剛剛乙公司的數(shù)據(jù)很特殊，有一個極端數(shù)據(jù)。像這樣的特殊情況還有很多，讓我們再來看看丙公司的數(shù)據(jù)。

出示表2：

師：你認為丙公司的這組數(shù)據(jù)特殊在哪？

生1：丙公司里有幾位員工的具體工資不知道，也就是數(shù)據(jù)不全。

師：那你打算用什么數(shù)來反映這組數(shù)據(jù)的一般水平呢？

（學生獨立思考后小組交流，教師呈現(xiàn)學生的想法。）

師：“去數(shù)”是什么意思？這種方法有道理嗎？

生2：“去數(shù)”是指去掉極端數(shù)據(jù)，即在表示這組數(shù)據(jù)的平均水平時把極端數(shù)據(jù)去掉。

師：這樣做看上去有點亂，你有什么更好的建議嗎？

生3：可以先排序再“去數(shù)”。

師：用最中間的這個數(shù)表示丙公司員工的一般工資水平，行不行？

生4：還是有一定的道理的。

師：是平均數(shù)嗎？

生5：不是。

師：我們叫它中位數(shù)。

【設計意圖：借助丙公司員工數(shù)據(jù)不全的情境，進一步引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生解決問題的欲望，同時引出本節(jié)課的學習內(nèi)容——中位數(shù)。】

師：中位數(shù)也是反映一組數(shù)據(jù)一般水平的常用統(tǒng)計量。

師：我們再來看看乙公司，用平均數(shù)3000元不能反映乙公司員工的一般工資水平，那用中位數(shù)行嗎？

（學生獨立思考）

師：中位數(shù)是多少？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：通過排序去數(shù)，我得到乙公司員工工資的中位數(shù)是2000元，與去掉最小數(shù)據(jù)和最大數(shù)據(jù)之后的那組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較接近。

師：那可以用中位數(shù)來反映乙公司員工的一般工資水平嗎？

生7：可以。

師：由此，我們可以看出，當一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)時，平均數(shù)不能客觀反映這組數(shù)據(jù)的一般水平，這時可以用中位數(shù)來反映這組數(shù)的一般水平。

三、比較辨析，開掘沖突，認清本質

教育家烏申斯基指出：“比較是一切理解和思維的基礎。”在學習新知時適當運用比較策略，通過鮮明的對比，讓學生產(chǎn)生認知沖突，可以提高學生對知識的運用能力和辨識能力，從而更好地把握知識的本質。

學生剛剛學習了中位數(shù)，對其有了初步的認識。為了加強學生對中位數(shù)概念的理解，同時讓學生知道在不同的情況下如何正確使用中位數(shù)與平均數(shù)，可引導學生進行比較和辨析，由此進一步引發(fā)學生的認知沖突，促進學生認識平均數(shù)和中位數(shù)的本質。

[教學片段三]

出示相關數(shù)據(jù)：

下面是某校3班兩組同學家庭住房的面積（單位：平方米）。

①96、92、90、94、89、91、93、97、95;

②86、84、88、275、82、80、83、81、87。

師：觀察和分析數(shù)據(jù)的特點，求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。再想一想，用怎樣的數(shù)據(jù)來反映每組學生家庭住房面積的一般水平比較好？

生1：數(shù)據(jù)①的平均數(shù)和中位數(shù)都是93;數(shù)據(jù)②的平均數(shù)是105，中位數(shù)是84，兩者相差比較大。

生2：數(shù)據(jù)①可以用平均數(shù)來反映數(shù)據(jù)的一般水平;數(shù)據(jù)②中有個極高數(shù)據(jù)，大大提高了這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這時再用平均數(shù)來反映數(shù)據(jù)的一般水平就不合適了。

師：組內(nèi)數(shù)據(jù)比較接近，可以用平均數(shù)來反映這組數(shù)的一般水平。極端數(shù)據(jù)不僅有極低數(shù)據(jù)，還有極高數(shù)據(jù)，有極端數(shù)據(jù)時用中位數(shù)來反映一組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適。平均數(shù)比中位數(shù)更為精確，它受到數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)的影響，而中位數(shù)比較“粗糙”。

[教學片段四]

出示：

有兩組男生比賽套圈，每組5人，每人有圈20個。以下是兩組男生的得分情況。

第一組：15、18、19、19、17。

第二組：18、19、20、7、4。

師：求出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。用什么數(shù)來反映這兩組男生的套圈水平比較合適？

生1：第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18，第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也是18。

生2：兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，無法用中位數(shù)來比出兩組男生的套圈水平。

師：是的，這里組內(nèi)的5位男生都是參賽選手，每個人的成績都要算進去，就像我們平時用班級的平均分來反映班級的一般水平一樣。因此，這里并不能用中位數(shù)來反映兩組男生的套圈水平。那你覺得用什么比較合適？

生3：平均數(shù)！

師：在選擇統(tǒng)計量來反映一組數(shù)據(jù)的一般水平時，不僅需要考慮數(shù)據(jù)的特點，還要考慮實際生活的需要。

綜上，通過巧妙地設計認知沖突，使學生在舊知中發(fā)現(xiàn)了區(qū)別，在探索中發(fā)現(xiàn)了新知，在對比中認清了本質。通過本課的設計，我們清楚地看到，對于小學階段所要接觸的三個統(tǒng)計量——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，教師都可以利用這樣的方法來進行教學。同時，所選的教學案例應盡量選用學生熟悉并感興趣的內(nèi)容。這樣做便于學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學在生活中的用處，激發(fā)學生的參與意識和學習興趣，也讓學生在沖突中探究新知，發(fā)展學生的數(shù)學思維，最后在沖突中通過比較，更加充分地了解同類概念的聯(lián)系和區(qū)別。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 朱德全.數(shù)學新課程標準與主題式教學設計[J].課程·教材·教法，2002（12）：33-35.

[2] 張向林.《中位數(shù)》教學分析[J].小學教學研究，2012（26）：5-6.

[3] 盛大啟.蘇教版小學數(shù)學教師用書：六年級下冊[M].南京：江蘇教育出版社，2013：12.

[4] 陳貽勝.斷磚可為玉 點石能成金：例談數(shù)學教學中形成認知沖突的策略[J].教育實踐與研究（A），2011（6）：46-48.

（責編 黃春香）