長程視野下數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識的遴選*
——以抽象度分析法為例

王俊亮

遴選起點(diǎn)型核心知識，比較高效的方法是運(yùn)用徐利治和鄭毓信兩位教授在《數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法》一書中創(chuàng)建的抽象度分析法進(jìn)行量化分析。

一、抽象度分析法相關(guān)概念概述

（一）抽象

抽象是指從具體事物中抽取出相對獨(dú)立的一個或幾個方面、屬性、關(guān)系等特質(zhì)形成概念、公理、命題、關(guān)系、公式等“抽象物”的思維活動。在數(shù)學(xué)活動中，抽象更多地指向抽取數(shù)學(xué)概念、公理、命題、關(guān)系、公式等共同的、本質(zhì)的特征形成新知識的思維活動。

（二）抽象關(guān)系

從概念、公理、命題、關(guān)系、公式中抽取出新知識形成的抽象關(guān)系有三種形式。

1.弱抽象。如果從原型A中選取某一特征或側(cè)面加以抽象，形成比A更一般的概念或理論B，使A成為B的特例，則A到B的抽象為弱抽象。如“正方形”弱化“四條邊相等”的特征為“對邊相等”就可以抽象出“長方形”，則從“正方形”到“長方形”的抽象為弱抽象。

2.強(qiáng)抽象。如果對于原型A，引入新特征強(qiáng)化得到概念或理論B，使B是A的特例，則A到B的抽象為強(qiáng)抽象。如“等腰三角形”強(qiáng)化“只有兩條邊相等”的特征為“三條邊都相等”就可以抽象出“等邊三角形”，則從“等腰三角形”到“等邊三角形”的抽象為強(qiáng)抽象。

3.廣義抽象。在概念或命題層面，如果定義概念B時用到了概念A(yù)，或證明命題B時用到了命題A，則B是A的廣義抽象。如證明“正n邊形的周長=邊長×n”時用到了“正n邊形的每條邊都相等”，則從“正n邊形的每條邊都相等”中推導(dǎo)出“正n邊形的周長=邊長×n”的抽象為廣義抽象。

（三）三元指標(biāo)

依據(jù)知識點(diǎn)之間的弱抽象、強(qiáng)抽象或廣義抽象關(guān)系，把有關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)用單向箭頭連接（箭頭指向生發(fā)出的知識點(diǎn)）繪制成知識鏈，數(shù)條知識鏈相互勾連就形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖，我們稱之為知識有向平面圖（如圖1所示）。

圖1 因數(shù)與倍數(shù)及其延展知識有向平面圖

1.出度和入度。“出度”和“入度”這兩個概念描述的是知識點(diǎn)之間一對多或多對一的抽象關(guān)系與程度。從一個知識結(jié)點(diǎn)x發(fā)出的有向線段的條數(shù)是它的出度，可以記為d出（x）。在圖1中，由于“因數(shù)”與“倍數(shù)”有著不可分割的相互依存關(guān)系，我們把它們看成一個知識點(diǎn)，從它們發(fā)出的線段條數(shù)是8，它們的出度可以記為：d出（因數(shù)與倍數(shù)）=8。同理，d出（公因數(shù)）=3，d出（公倍數(shù)）=2。指向一個知識結(jié)點(diǎn)x的有向線段的條數(shù)是它的入度，記為d入（x） 。在圖1中，指向“最小公倍數(shù)”的線段是2條，“最小公倍數(shù)”的入度可以記為：d入（最小公倍數(shù)）=2。同理，d入（最大公因數(shù)）=2。

2.相對抽象度。相對抽象度描述的是知識點(diǎn)之間一對一的抽象關(guān)系與程度，它是指知識鏈上的知識點(diǎn)Cn相對于知識點(diǎn)C1的長度，可以記為：d相（Cn|C1）=n-1。如果連接C1與Cn之間的路徑有好幾條，則定義最大長度為相對抽象度。在圖1中，從知識點(diǎn)“因數(shù)”通向知識點(diǎn)“分解質(zhì)因數(shù)”的路徑有3條，其中最長的一條知識鏈?zhǔn)牵篊1因數(shù)→C2質(zhì)數(shù)→C3質(zhì)因數(shù)→C4分解質(zhì)因數(shù)，我們就定義在這個有向平面圖上，知識點(diǎn)“分解質(zhì)因數(shù)”相對于知識點(diǎn)“因數(shù)”的相對抽象度為：d相（C分解質(zhì)因數(shù)｜C因數(shù)）=4-1=3。

出度、入度與相對抽象度合稱為三元指標(biāo)。

二、運(yùn)用抽象度分析法遴選數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識

（一）出度是判斷起點(diǎn)型核心知識的第一選擇

一個知識點(diǎn)的出度越大，說明它發(fā)出的有向連線就越多，意味著由它衍生出的新知識點(diǎn)就越多，它在這個知識結(jié)構(gòu)體系中的基礎(chǔ)性就越強(qiáng)，就越有可能是起點(diǎn)型核心知識點(diǎn)。因此，繪制出知識有向平面圖，遴選起點(diǎn)型核心知識時，我們首先要分析知識點(diǎn)的出度。處于起始位置的知識點(diǎn)，如果在這個有向平面圖中的出度最大，一般是起點(diǎn)型核心知識點(diǎn)。如圖1中，作為這一組關(guān)聯(lián)知識的基礎(chǔ)知識，“因數(shù)與倍數(shù)”是一個核心知識，在這個有向平面圖中出度最大，又處在起始位置，它就是一個起點(diǎn)型核心知識。

（二）“出度+入度之和”是判斷起點(diǎn)型核心知識的第二個選擇

一個知識點(diǎn)的入度越大，指向它的有向連線就越多，意味著理解、運(yùn)用這個知識點(diǎn)需要的支撐性知識點(diǎn)就越多，弄懂了這樣的知識點(diǎn)，就必然掌握了支撐它的這些知識及其之間的關(guān)系，顯然，它對于掌握知識結(jié)構(gòu)體系很重要，因此，入度的數(shù)據(jù)體現(xiàn)了這個知識點(diǎn)的重要程度。當(dāng)我們把它和“出度”結(jié)合起來時，“出度+入度之和”就成為遴選起點(diǎn)型核心知識的第二個選擇。起點(diǎn)型核心知識的主干位置，決定著它有時既要接受先出現(xiàn)的知識點(diǎn)的抽象關(guān)聯(lián)，有一定的入度，又要主動與其他知識點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來，這使它又具有相對較大的出度。因此，在知識有向平面圖中，“出度+入度之和”最大或較大的知識點(diǎn)往往也是起點(diǎn)型核心知識。如圖2中，d出（兩位數(shù)乘兩位數(shù)）=5，d入（兩位數(shù)乘兩位數(shù)）=2，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的“出度+入度之和”=5+2=7。除了“一位數(shù)乘一位數(shù)”之外，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的“出度+入度之和”最大，因而它也是一個起點(diǎn)型核心知識。依據(jù)“出度+入度之和”判斷出的起點(diǎn)型核心知識常常具有開啟新的知識序列的特點(diǎn)。這里的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”就開啟了把多位數(shù)乘多位數(shù)的幾個積錯開分行羅列，再相加，最后求出計算結(jié)果的方法，是所有十進(jìn)制數(shù)相乘的終極運(yùn)算方法。

圖2 十進(jìn)制數(shù)乘法筆算知識有向平面圖

（三）相對抽象度是判斷起點(diǎn)型核心知識的第三選擇

在如圖3所示的鏈條式知識有向平面圖中，知識點(diǎn)之間的出度、入度基本均衡，很難用出度或“出度+入度之和”來判斷起點(diǎn)型核心知識。這時，我們可以用相對抽象度來遴選起點(diǎn)型核心知識。知識點(diǎn)Cn相對于C1的相對抽象度越大，表明知識點(diǎn)C1到達(dá)知識點(diǎn)Cn經(jīng)過的弱抽象、強(qiáng)抽象或廣義抽象次數(shù)就越多，而知識點(diǎn)每經(jīng)過一次抽象，深刻程度就會加深。因此，相對于末端知識點(diǎn)抽象度越大的知識點(diǎn)就越有可能是起點(diǎn)型核心知識。顯然，“自然數(shù)”作為整個數(shù)系的起點(diǎn)，經(jīng)過一次次衍化，建構(gòu)起一個數(shù)系，它是一個位于起始位置的起點(diǎn)型核心知識，其他知識都是借助自然數(shù)加上一些符號來表示的。

圖3 數(shù)系知識有向平面圖

起于“自然數(shù)”的“數(shù)系”知識建構(gòu)的長期性啟示我們，起點(diǎn)型核心知識的教學(xué)要立足長程視野，重視階段銜接與層級貫通，前面知識的學(xué)習(xí)一定要為后續(xù)知識預(yù)留好生長點(diǎn)與銜接口，促進(jìn)后續(xù)知識的順利納入和自然生長。