把握結(jié)構(gòu)特征 聯(lián)想公式應(yīng)用

江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) (211200) 丁稱興

數(shù)學(xué)是一門充滿聯(lián)系的學(xué)科，我們應(yīng)該抓住一切可能的聯(lián)系進(jìn)行聯(lián)想與轉(zhuǎn)化.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想和等價(jià)轉(zhuǎn)化是提高解題能力和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維特征的重要方法.聯(lián)想的前提是觀察結(jié)構(gòu)形式，把握結(jié)構(gòu)特征，觀察是指有目的、有計(jì)劃、較持久的知覺過(guò)程，觀察具有目的性、客觀性、敏銳性、精細(xì)性和全面性.解題分析起步于對(duì)問(wèn)題的有效感知與觀察，只要善于變換角度，仔細(xì)觀察，抓住結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想大腦里已存在的知識(shí)與技能信息，才能較快地形成解題方案.

一、聯(lián)想直線的斜率公式

函數(shù)中的有些恒成立或有解問(wèn)題若直接解決，思維難度較大，此時(shí)應(yīng)注意觀察、聯(lián)想并及時(shí)調(diào)整解題思路，特別是要將題中所給出的已知條件中的一些特殊結(jié)構(gòu)與所學(xué)內(nèi)容(公式、法則等)建立聯(lián)系，借助已有知識(shí)，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，則可另辟蹊徑.

圖1 圖2

圖3

A、{2,3} B、{2,3,4} C、{3,4} D、{3,4,5}

評(píng)析：上述兩題成功解決的關(guān)鍵是利用所給條件式與斜率式的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，試題的解決很好的體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.解題時(shí)，要善于打破定勢(shì)思維，善于進(jìn)行“結(jié)構(gòu)”聯(lián)想，善于應(yīng)用公式進(jìn)行解題.

二、聯(lián)想點(diǎn)到直線的距離公式

圖5

例4 若對(duì)圓(x-1)2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y)，|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值與x,y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

A、(-∞,-4] B、[-4,6]

C、(-∞,-4]∪[6,+∞) D、[6,+∞)

評(píng)析：根據(jù)所求表達(dá)式中出現(xiàn)的含有x,y的二元一次的線性關(guān)系且在絕對(duì)值內(nèi)，此時(shí)聯(lián)想點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式的幾何意義，利用圖形直觀確定兩條平行直線在圓的兩側(cè)，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式建立相應(yīng)的不等式，得以確定參數(shù)的取值范圍.

三、聯(lián)想兩點(diǎn)間距離公式

例6 已知實(shí)數(shù)m,n,p,q滿足：

評(píng)析：例5，例6的形式簡(jiǎn)潔，獨(dú)具匠心，較好地考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.例6中有4個(gè)不同的參數(shù)，解決的難點(diǎn)在于找到問(wèn)題的本質(zhì)——?jiǎng)狱c(diǎn)分別在定直線和定圓上運(yùn)動(dòng)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)之間距離的最小值問(wèn)題，從而可以快速地得出問(wèn)題的答案.可見，在平常的解題中要注重并善于去尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，積極展開聯(lián)想，進(jìn)行問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化.

四、聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則

解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，常會(huì)碰到題設(shè)條件中具有“導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)特征”的函數(shù)問(wèn)題，由于此類問(wèn)題考查的對(duì)象一般都是抽象函數(shù)，而且考查的角度相對(duì)隱蔽，一些學(xué)生無(wú)所適從，望題興嘆.然而數(shù)學(xué)解題過(guò)程的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)從未知到已知的轉(zhuǎn)化與化歸過(guò)程，依靠“結(jié)構(gòu)特征”進(jìn)行有效聯(lián)想來(lái)指導(dǎo)解題，調(diào)整思路，實(shí)現(xiàn)突破，這是走向成功的一個(gè)重要途徑，解決具有“導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)特征”條件函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵就在于此.

評(píng)析：若問(wèn)題中的條件具有或可轉(zhuǎn)化為形如f′(x)g(x)+f(x)g′(x)的“和式”結(jié)構(gòu)特征，則可通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)：F(x)=f(x)·g(x)，從而使問(wèn)題得以解決.

例8 對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，若f′(x)>f(x)且a>0，則ea·f(0)與f(a)的大小關(guān)系為：ea·f(0)f(a)(用≤,≥,<,>之一填空).

六、聯(lián)想同角的平方關(guān)系

圖6

評(píng)析：同角的平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1，其結(jié)構(gòu)特征為：平方和為定值1.由于圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)也是“平方和”的形式，為此涉及圓、橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以進(jìn)行“三角換元”.上面的兩題除了三角換元外，還可以選擇數(shù)形結(jié)合，這兩種方法各有千秋，三角換元法需要對(duì)換元之后的式子再次變形，挖掘幾何意義或進(jìn)行三角恒等變換后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.