曹天旭，安浩澎，龍 波

（電子科技大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都 611731）

并網(wǎng)逆變器作為把直流電能轉(zhuǎn)化為高質(zhì)量交流電能的橋梁，是基于可再生能源（如風(fēng)能、太陽(yáng)能）的分布式發(fā)電系統(tǒng)十分重要的一環(huán)[1-2]，它的控制也是系能源并網(wǎng)發(fā)電的重要研究課題。傳統(tǒng)并網(wǎng)逆變器的結(jié)構(gòu)為三相半橋逆變器，輸出脈寬調(diào)制PWM（pulse-width-modulation）電壓波形存在豐富的開(kāi)關(guān)諧波。為了濾除大部分的諧波，在輸出端接入LCL 型濾波器，使其輸出波形滿足諧波標(biāo)準(zhǔn)[3-4]。而低壓配電網(wǎng)多采用三相四線制系統(tǒng)，需要通過(guò)三相四橋臂逆變器將分布式電源接入系統(tǒng)。

對(duì)于三相四橋臂并網(wǎng)逆變器的控制方法，比例-積分-微分PID（proportion-integral-derivative）控制器應(yīng)用廣，實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單，但是存在固有穩(wěn)態(tài)誤差，且動(dòng)態(tài)性能差[5]；比例-諧振PR（proportion-resonant）控制器的調(diào)節(jié)一般是采用電流外環(huán)的反饋，但對(duì)參數(shù)敏感，系統(tǒng)設(shè)計(jì)和參數(shù)選取十分復(fù)雜[6]。模型預(yù)測(cè)控制MPC（model predictive control），是近年來(lái)在電力電子系統(tǒng)控制中被廣泛討論的一種反饋控制策略[7]。在三相四橋臂逆變器的模型預(yù)測(cè)控制研究中，文獻(xiàn)[8]研究了離網(wǎng)環(huán)境下LC 型三相四橋臂并網(wǎng)逆變器的模型預(yù)測(cè)控制；文獻(xiàn)[9]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了準(zhǔn)Z 源以及不平衡負(fù)載條件下的有限控制集-模型預(yù)測(cè)控制FCS（finite-control-set）-MPC 策略；文獻(xiàn)[10]在建立代價(jià)函數(shù)的基礎(chǔ)上，采用了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的約束MPC 求解輸出占空比的最優(yōu)解；文獻(xiàn)[11]采用李雅普諾夫模型預(yù)測(cè)控制，對(duì)三相四橋臂逆變器的跟蹤誤差、諧波失真THD（total harmonic distortion）和計(jì)算量進(jìn)行了綜合考量。在三相四橋臂LCL型并網(wǎng)逆變器中，模型預(yù)測(cè)控制可以綜合考慮輸出跟蹤誤差、THD 和開(kāi)關(guān)損耗這3 個(gè)因素，以未來(lái)幾次的開(kāi)關(guān)序列作為變量，通過(guò)權(quán)重分配構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，求解代價(jià)函數(shù)最小時(shí)的開(kāi)關(guān)序列，并應(yīng)用第1個(gè)開(kāi)關(guān)序列作為逆變器的控制序列，不需要進(jìn)行PWM。若權(quán)重分配合理，預(yù)測(cè)時(shí)域更長(zhǎng)，MPC 控制策略可以最大限度地兼顧到被控制量，進(jìn)行穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)性能更好的控制。但是長(zhǎng)預(yù)測(cè)時(shí)域會(huì)給計(jì)算機(jī)或微處理器帶來(lái)很大的計(jì)算量，加重系統(tǒng)負(fù)擔(dān)。因此，本文介紹一種球形譯碼算法，可以大幅度減小計(jì)算量。同時(shí)，球形譯碼的計(jì)算量和初始半徑的選取也有很大的關(guān)系，文獻(xiàn)[12]采用了Babai 估計(jì)確定初始半徑，可以縮減計(jì)算量。本文引入了一種新型的方法——節(jié)點(diǎn)比較法，可以進(jìn)一步縮小初始半徑，使計(jì)算時(shí)間更小。

本文首先分析了三相四橋臂LCL 型并網(wǎng)逆變器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并構(gòu)建了其精確數(shù)學(xué)模型；綜合考慮諧波失真、跟蹤誤差和開(kāi)關(guān)損耗3 個(gè)主要因素，構(gòu)造了代價(jià)函數(shù)，并通過(guò)球形譯碼減小了運(yùn)算量；最后通過(guò)Matlab 進(jìn)行了仿真，確定了控制的權(quán)重參數(shù)和預(yù)測(cè)時(shí)域，仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制算法的理論正確。

1 系統(tǒng)建模

三相四橋臂LCL 型并網(wǎng)逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1 所示，直流電源電壓VD經(jīng)三相四橋臂半橋逆變器后，由LCL 型濾波器濾波，最終饋入三相交流電網(wǎng)電壓vga、vgb、vgc。逆變器側(cè)電感L1、網(wǎng)側(cè)電感L2以及濾波電容C 的支路上均串有電阻R1、R2、RC；中性線與逆變器的第4 橋臂相連，并串有電感Ln。i1a、i1b、i1c為逆變器側(cè)電流，i2a、i2b、i2c為網(wǎng)側(cè)電流，vCa、vCb、vCc為電容電壓，in為中性線電流。

圖1 三相四橋臂LCL 型并網(wǎng)逆變器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology of three-phase four-leg LCL-type gridconnected inverter

首先，定義三相矢量為

設(shè)u 代表每個(gè)橋臂上管子的開(kāi)關(guān)狀態(tài)，其中：1代表上橋臂導(dǎo)通，下橋臂關(guān)斷；-1 代表下橋臂導(dǎo)通，上橋臂關(guān)斷。那么

其中，ua、ub、uc、un∈{-1，1}。

根據(jù)基爾霍夫定律，可以推導(dǎo)出三相四橋臂并網(wǎng)逆變器的電路方程為

選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量x 為

根據(jù)x 建立狀態(tài)空間方程為

式中：F、G、P 為電路的參數(shù)矩陣；y 為輸出變量，是狀態(tài)變量x 的權(quán)重再分配；C 為分配系數(shù)矩陣，即

式中，λ1、λ2和λ3分別為逆變器側(cè)電流i1、電網(wǎng)側(cè)電流i2和電容電壓vC的權(quán)重因子。

用Du Hamel 公式[13]將式（5）離散化，得到電路在離散時(shí)間域的狀態(tài)空間方程為

由于k 時(shí)刻x（k）和vg（k）為可測(cè)得的已知量，那么根據(jù)電路的離散化狀態(tài)空間方程式（7），就可以遞推出x（k+m）和y（k+m），其中m=0，1，…，N，N為預(yù)測(cè)時(shí)域，則有

式（8）通過(guò)k 時(shí)刻的狀態(tài)變量采樣值預(yù)測(cè)出了k+N時(shí)刻的狀態(tài)變量。

根據(jù)上述關(guān)系，設(shè)Vg（k）=，其中：Y（k ）為輸出向量，合并了未來(lái)N 個(gè)時(shí)刻的輸出，它們只由k 時(shí)刻的輸入x（k）遞推得到；U（k）為N 個(gè)時(shí)刻要采用的開(kāi)關(guān)序列的合并，模型預(yù)測(cè)控制就是要求出這個(gè)序列的最優(yōu)解，并把它的第1 組開(kāi)關(guān)序列應(yīng)用于逆變器中；Vg（k）為N 個(gè)時(shí)刻的電網(wǎng)電壓，它自從k 時(shí)刻被測(cè)取出來(lái)后，因?yàn)椴豢紤]電網(wǎng)電壓的波動(dòng)，所以在未來(lái)時(shí)刻都是確定的。

在k，k+1，…，k+N-1 時(shí)刻，根據(jù)遞推關(guān)系，可以推出每一時(shí)刻的狀態(tài)空間方程。把這些方程按照式（8）中的向量進(jìn)行整合，可以得到考慮了預(yù)測(cè)時(shí)域N 的系統(tǒng)離散化輸出方程，即

式中，Γ、Υ、Ψ 為關(guān)于A、B、C、T 的矩陣，均為時(shí)不變矩陣。

2 三相四橋臂逆變器的模型預(yù)測(cè)控制

2.1 代價(jià)函數(shù)的建立

三相四橋臂LCL 型并網(wǎng)逆變器要實(shí)現(xiàn)的最終目的是并網(wǎng)電流的波形符合要求，穩(wěn)態(tài)時(shí)并網(wǎng)電流要有較小的跟蹤誤差，較小的諧波失真；動(dòng)態(tài)響應(yīng)要有較小的超調(diào)量，快速跟蹤指令。除了對(duì)并網(wǎng)電流的要求之外，還需考慮系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)損耗。

在考慮了上述因素后，設(shè)計(jì)代價(jià)函數(shù)為

式中：||·||代表向量的歐式二范數(shù)；y*為輸出參考值，由于電路的參數(shù)穩(wěn)定，第k～k+N-1 時(shí)刻的y*也是確定的；λu為開(kāi)關(guān)損耗的權(quán)重因子。代價(jià)函數(shù)的第1 項(xiàng)是輸出參考值與實(shí)際值之差，考慮了跟蹤誤差和諧波失真；第2 項(xiàng)是開(kāi)關(guān)狀態(tài)的變化量，考慮了開(kāi)關(guān)損耗。

把式（9）代入式（10）中，可以得到

式中：Y*（k）為與Y（k）相對(duì)應(yīng)的N 個(gè)時(shí)刻合并的參考向量，Y*（k）=；u（k-1）第k-1 時(shí)刻的開(kāi)關(guān)狀態(tài)；S 和E 為時(shí)不變矩陣。

通過(guò)代價(jià)函數(shù)式（11），若實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的控制效果，需要代價(jià)函數(shù)最小，這時(shí)對(duì)應(yīng)的U（k）即為最佳的開(kāi)關(guān)序列，即

采取Uopt（k）的第1 組開(kāi)關(guān)狀態(tài)作為開(kāi)關(guān)輸入，就完成了模型預(yù)測(cè)控制的閉環(huán)控制。

進(jìn)一步計(jì)算，需把代價(jià)函數(shù)進(jìn)行拆分后再合并，經(jīng)過(guò)整理得

式中：const（k）是一個(gè)常數(shù)，在每個(gè)采樣時(shí)刻都是確定量，所以求代價(jià)函數(shù)最小值時(shí)，不需考慮const（k），故以下的J 不再含有此項(xiàng)；Θ（k）為系統(tǒng)的參數(shù)矩陣；Q 為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，經(jīng)過(guò)柯列斯基分解后，可以變?yōu)?/p>

其中，H 為4N×4N 的下三角矩陣。所以有

2.2 基于節(jié)點(diǎn)比較法的球形譯碼

球形譯碼是一種廣泛應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)的最大似然檢測(cè)方法。通過(guò)設(shè)定一個(gè)以接受向量為中心的超球，僅搜索超球內(nèi)的格點(diǎn)來(lái)找到最大似然解，從而避免了繁瑣復(fù)雜的搜索。球形解碼算法的樹(shù)形搜索過(guò)程中，有2 種搜索策略，分別是FP（Fincke-Phost）策略[14]和ER（Schnorr-Euchner）策略[15]，本文采用FP 策略。

U（k）是4N×1 的列向量，每個(gè)元只有1 和-1兩種情況，則U（k）有24N種情況，每一種情況都對(duì)應(yīng)一個(gè)代價(jià)函數(shù)J，所以代價(jià)函數(shù)[16]可以表示為

此時(shí)的代價(jià)函數(shù)是由4N 個(gè)平方項(xiàng)之和構(gòu)成的。由于U（k）的每一個(gè)元即ui（i=1，2，…，4N）都存在-1和1 兩種取值，則代價(jià)函數(shù)可以用二叉樹(shù)的形式來(lái)展現(xiàn)。

如圖2 所示，以三層的二叉樹(shù)為例，說(shuō)明球形譯碼的原理。用每一條線段代表代價(jià)函數(shù)的其中一個(gè)平方項(xiàng)，那么從根節(jié)點(diǎn)開(kāi)始一直到某個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度之和，就是代價(jià)函數(shù)值。窮舉搜索可以求出每種情況對(duì)應(yīng)的代價(jià)函數(shù)值，再加以比較，但是消耗大量的計(jì)算時(shí)間。球形譯碼首先會(huì)設(shè)置一個(gè)初始半徑d0，之后從左至右，逐層向下計(jì)算，判斷累計(jì)半徑平方和是否小于初始半徑平方，黑色球節(jié)點(diǎn)部分為采用的路徑，灰色球節(jié)點(diǎn)則未被采用。當(dāng)（u1，u2，u3）=（1，1，1）時(shí)，累計(jì)半徑之和大于初始半徑，不被采用；當(dāng)（u1，u2，u3）=（1，1，-1）時(shí)，累計(jì)半徑之和小于初始半徑，初始半徑更新為此累計(jì)半徑，同時(shí)返回上一層繼續(xù)上述運(yùn)算。如此計(jì)算，最后得到最佳的（u1，u2，u3）=（-1，1，1）。

圖2 球形譯碼算法的樹(shù)形搜索結(jié)構(gòu)Fig.2 Tree search structure of sphere decoding algorithm

初始半徑d0對(duì)減小球形譯碼的計(jì)算量有重要作用，既不能太大，以至于起不到減小計(jì)算量的作用；也不能太小，以至于最優(yōu)解也被剔除。

在本文中，采用了節(jié)點(diǎn)比較法來(lái)估計(jì)初始半徑d0，其流程如圖3 所示。節(jié)點(diǎn)比較法的思路為：將搜索樹(shù)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的2 條路徑長(zhǎng)度進(jìn)行比較，取結(jié)果較小的支路，并繼續(xù)比較支路節(jié)點(diǎn)的2 條路徑長(zhǎng)度。以此類(lèi)推，并將路徑長(zhǎng)度疊加。最后得到的總路徑長(zhǎng)度設(shè)置為初始半徑。節(jié)點(diǎn)比較法本身得到的就是一個(gè)次優(yōu)解（或最優(yōu)解），所以初始半徑不可能小到球形譯碼會(huì)把真正的最優(yōu)解排除。相比于Babai估計(jì)，節(jié)點(diǎn)比較法的計(jì)算量可以得到進(jìn)一步減少。

圖3 節(jié)點(diǎn)比較法流程Fig.3 Flow chart of node comparison method

設(shè)最優(yōu)解為Uopt（k），則有

當(dāng)每個(gè)采樣時(shí)刻的初始半徑ρini（k）用節(jié)點(diǎn)比較法確定后，根據(jù)球形譯碼的原理，執(zhí)行以下算法。

算法1球形譯碼。算法如下。

即可實(shí)現(xiàn)三相四橋臂LCL 型并網(wǎng)逆變器的模型預(yù)測(cè)控制。此算法會(huì)生成Uopt（k），即當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)開(kāi)關(guān)序列。采用此序列的第1 組開(kāi)關(guān)量作為驅(qū)動(dòng)信號(hào)，反饋到逆變器中。綜合上述分析，最終的系統(tǒng)控制框圖如圖4 所示。

圖4 三相LCL 型并網(wǎng)逆變器的模型預(yù)測(cè)控制框圖Fig.4 Block diagram of three-phase LCL-type gridconnected inverter under MPC

3 仿真分析

在Matlab 中建立了三相四橋臂LCL 型并網(wǎng)逆變器的模型預(yù)測(cè)-球形譯碼控制策略的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估。選取λ1=λ2=1，λ3=0.1。

3.1 參數(shù)的選取

系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

為了說(shuō)明權(quán)重因子λu對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的影響，維持預(yù)測(cè)時(shí)域N=4 不變。圖5 展示了λu對(duì)總諧波失真、跟蹤誤差和開(kāi)關(guān)頻率的影響。隨著λu的增加，代價(jià)函數(shù)中開(kāi)關(guān)損耗所占的權(quán)重越來(lái)越大，這會(huì)使開(kāi)關(guān)頻率降低，但是諧波失真和跟蹤誤差會(huì)有所增大。當(dāng)λu≤10-2時(shí)，λu對(duì)減小開(kāi)關(guān)損耗幾乎不起作用；當(dāng)10-2≤λu≤1 時(shí)可以起到平衡開(kāi)關(guān)損耗和并網(wǎng)電流的質(zhì)量的作用。因此，最終選取λu=0.1。

圖5 N=4 時(shí)總諧波失真、跟蹤誤差、開(kāi)關(guān)頻率隨權(quán)重參數(shù)λu 的變化Fig.5 Changes in THD,tracking error,and switching frequency with the adjustment of weighting coefficient λu when N is equal to 4

為了說(shuō)明預(yù)測(cè)時(shí)域N 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的影響，維持權(quán)重因子λu=0.1 不變。圖6 展示了預(yù)測(cè)時(shí)域N對(duì)總諧波失真、跟蹤誤差和開(kāi)關(guān)頻率的影響。隨著N 的增加，總諧波失真和跟蹤誤差呈現(xiàn)上下波動(dòng)的趨勢(shì)，開(kāi)關(guān)頻率呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。但考慮到計(jì)算量會(huì)隨著N 的增加而增加，當(dāng)N>6 時(shí)，系統(tǒng)的仿真結(jié)果與N=6 時(shí)相比并沒(méi)有得到很明顯的改善，而計(jì)算時(shí)間還要大幅度提高。因此，最終選取N=6。

圖6 λu=0.1 時(shí)的總諧波失真、跟蹤誤差、開(kāi)關(guān)頻率隨預(yù)測(cè)時(shí)域N 的變化Fig.6 Changes in THD,tracking error,and switching frequency with the adjustment of prediction horizon N when λu is equal to 0.1

3.2 初始半徑的選取方法

圖7 顯示了節(jié)點(diǎn)比較法和估計(jì)法在初始半徑選取上的區(qū)別。在λu=0.1、N=6 的情況下，節(jié)點(diǎn)比較法的初始半徑在2.0 附近，而B(niǎo)abai 估計(jì)法的初始半徑在5.5 附近。節(jié)點(diǎn)比較法初始半徑的更小，可以讓球形譯碼排除更多次優(yōu)解，減少計(jì)算量。圖8顯示了2 種方法隨著預(yù)測(cè)時(shí)域的增加所消耗的計(jì)算時(shí)間。相比Babai 估計(jì)法，節(jié)點(diǎn)比較法的仿真時(shí)間減小了37.23%。

圖7 節(jié)點(diǎn)比較法和Babai 估計(jì)的初始半徑選取Fig.7 Selection of initial radius when using node comparison method and Babai estimation

圖8 節(jié)點(diǎn)比較法和Babai 估計(jì)法在不同預(yù)測(cè)時(shí)域中的計(jì)算時(shí)間Fig.8 Calculation time of node comparison method and Babai estimation in different prediction horizons

3.3 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

選取λu=0.1、N=6，圖9 展示了并網(wǎng)電流的穩(wěn)態(tài)波形和諧波頻譜，逆變器并網(wǎng)電流THD=0.397%，跟蹤誤差為0.093%。仿真結(jié)果證明了模型預(yù)測(cè)控制的優(yōu)秀性能，并網(wǎng)電流總諧波畸變率很小，符合入網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)。

圖10 展示了穩(wěn)態(tài)時(shí)4 個(gè)橋臂的開(kāi)關(guān)時(shí)序，由式（3）的第1 個(gè)方程可知，第4 橋臂的開(kāi)關(guān)狀態(tài)un與abc 三相的開(kāi)關(guān)狀態(tài)ua、ub、uc都有關(guān)，這是由于中性線電流in是三相逆變器側(cè)電流的疊加，因此第1 個(gè)方程的逆變器側(cè)電流存在耦合關(guān)系，而第4 橋臂控制的是中性點(diǎn)電壓，因此un的開(kāi)關(guān)頻率應(yīng)該是最大的，圖9 也證明了這一點(diǎn)，即a 相、b 相、c 相和第4 橋臂的開(kāi)關(guān)頻率分別為4.875、4.692、4.958 和10.792 kHz。提高權(quán)重因子λu，在并網(wǎng)電流符合入網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)的前提下，第4 橋臂的開(kāi)關(guān)頻率最多可以降低到約1 kHz。

圖9 穩(wěn)態(tài)并網(wǎng)電流及諧波頻譜Fig.9 Steady-state grid-connected current and harmonic spectrum

圖10 開(kāi)關(guān)時(shí)序Fig.10 Switching sequence

3.4 動(dòng)態(tài)響應(yīng)

選取λu=0.1、N=6，圖11 展示了a 相網(wǎng)側(cè)電流驟升和驟降時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。a 相網(wǎng)側(cè)參考輸出電流在t=0.026 s 從20 A 突變?yōu)? A 以及在t=0.026 s 從5 A 突變?yōu)?0 A 時(shí)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間均小于3 ms。仿真證明了模型預(yù)測(cè)控制在這種大幅度電流升降中能保持良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，超調(diào)量小，調(diào)節(jié)時(shí)間短。

圖11 并網(wǎng)電流的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.11 Dynamic response of grid-connected current

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于三相四橋臂LCL 型并網(wǎng)逆變器的控制，模型預(yù)測(cè)控制是一種控制手段相對(duì)簡(jiǎn)單，控制效果出色，但是計(jì)算量大的方法。如果將代價(jià)函數(shù)J 轉(zhuǎn)化為球形譯碼算法的標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以運(yùn)用球形譯碼來(lái)減少模型預(yù)測(cè)控制的計(jì)算量，從而達(dá)到更高精度的控制。經(jīng)過(guò)仿真分析，證明了模型預(yù)測(cè)控制的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)可以滿足要求，開(kāi)關(guān)損耗也不是很高。同時(shí)，仿真分析比較了節(jié)點(diǎn)比較法和Babai估計(jì)的初始半徑和計(jì)算時(shí)間，證明了節(jié)點(diǎn)比較法的初始半徑明顯更小，可以排除更多次優(yōu)解，計(jì)算時(shí)間進(jìn)一步減小。