函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳華

◆摘? 要：函數(shù)與方程思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用思想。在解題過(guò)程中，學(xué)生可以利用變量與函數(shù)之間的關(guān)系，把未知轉(zhuǎn)化為已知，通過(guò)分析和探究的方式來(lái)解決問題。學(xué)生在探究中需要主動(dòng)思考各種數(shù)學(xué)變量，在邏輯思考中建構(gòu)方程和方程組，明確函數(shù)關(guān)系，找到解題思路。

◆關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)與方程思想;解題

函數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中具有重要的地位，是高考熱點(diǎn)，也是考試重點(diǎn)。為了順利解決函數(shù)問題，學(xué)生就要學(xué)會(huì)函數(shù)與方程思想來(lái)分析問題，找到相關(guān)數(shù)據(jù)靈活轉(zhuǎn)化，在梳理中理順?biāo)悸?，解決問題。學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考會(huì)感受到函數(shù)的變化和變量的動(dòng)態(tài)，在分析中學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)分析解題思路，找到解題方法，提高解題能力。

一、運(yùn)用函數(shù)與方程思想進(jìn)行邏輯思考

為了使學(xué)生快速而準(zhǔn)確地解決問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中學(xué)會(huì)邏輯思考。數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性很強(qiáng)，通過(guò)一步步推理和分析的方式，學(xué)生會(huì)了解各種數(shù)量之間的邏輯關(guān)系，在思考中把握數(shù)量關(guān)系，理順解題思路。例如：二次函數(shù)y=x2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，1]上時(shí)減函數(shù)，則 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在解題過(guò)程中，學(xué)生很容易把二次函數(shù)的對(duì)稱軸理解為x=-=1-a，所以1-a=1，a=0。這種思考方向是錯(cuò)誤的，學(xué)生要避免這種錯(cuò)誤的思考方向要認(rèn)真考慮單調(diào)區(qū)間的區(qū)域及端點(diǎn)是否使函數(shù)有意義，通過(guò)邏輯思考的方式進(jìn)行判斷。

學(xué)生通過(guò)一步步思考，會(huì)找到解決問題的方法，學(xué)會(huì)把函數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠?，通過(guò)解方程的方式來(lái)解決問題，提高解題能力。

二、利用函數(shù)與方程思想客觀推理判斷

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)推理判斷，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考的方式來(lái)理解知識(shí)，提高運(yùn)算能力，學(xué)會(huì)建構(gòu)模型，提高空間想象能力。學(xué)生通過(guò)主動(dòng)推理判斷會(huì)成為課堂的主人，在思考中結(jié)合自己的能力進(jìn)行分析判斷，通過(guò)主動(dòng)思考的方式提高學(xué)習(xí)能力。學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行推理，會(huì)快速找到解題思路，明確各種數(shù)量關(guān)系，提高解題效率。例如函數(shù)f（x）=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？分析中，學(xué)生通過(guò)推理判斷會(huì)認(rèn)識(shí)到，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2x--a在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，又函數(shù)f（x）=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則有f（1）·f（2）<0，所以（-a）（4-1-a）<0，即a（a-3）<0，解得0<a<3。有了函數(shù)思想作為解題的指導(dǎo)，學(xué)生會(huì)快速形成解題思路，把數(shù)學(xué)思想和方法運(yùn)用到具體的解題過(guò)程中，提高學(xué)生的分析能力和探究能力，促進(jìn)學(xué)生在對(duì)數(shù)據(jù)的加工中靈活轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出函數(shù)的表達(dá)式，快速解題。

三、巧用函數(shù)與方程思想進(jìn)行發(fā)散思維

函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用會(huì)實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，化難為易，讓學(xué)生在建構(gòu)函數(shù)關(guān)系時(shí)活躍思維，在發(fā)散思考中提煉出有效數(shù)據(jù)，形成對(duì)知識(shí)的客觀性認(rèn)識(shí)。學(xué)生在探究中會(huì)把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化、形象化，把握各種數(shù)據(jù)之間的千絲萬(wàn)縷關(guān)系。通過(guò)函數(shù)與方程思想，學(xué)生會(huì)拓展思路，學(xué)會(huì)從不同角度分析問題，探究解題方法，在主動(dòng)思考中解決問題。例如：某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出;若超出6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入。

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式;

（2）試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

在解答第一問時(shí)，學(xué)生會(huì)從題目中的已知信息進(jìn)行思考和分析，把生活中的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)知識(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)的方式解決問題。思考中，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到當(dāng)x≤6時(shí)，y=50x-115，令50x-115>0，解得x>2.3。因?yàn)閤為整數(shù)，所以3≤x≤6，x∈Z.當(dāng)x>6時(shí)，會(huì)得到y(tǒng)=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-115。經(jīng)計(jì)算認(rèn)識(shí)到6<x≤20，x∈Z.函數(shù)的值為y=在解答第二問時(shí)，可以看到y(tǒng)=50x-115（3≤x≤6，x∈Z），顯然當(dāng)x=6時(shí)，ymax=185;而對(duì)于y=-3x2+68x-115=-32+（6<x≤20，x∈Z），當(dāng)x=11時(shí)，ymax=270。通過(guò)比較和分析，可以看到日租金定為11元時(shí)，收益最多。在分析中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)思考，通過(guò)思維活動(dòng)的方式了解各種數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，形成客觀性認(rèn)識(shí)。學(xué)生通過(guò)思考和分析會(huì)了解隱藏在題目中的各種數(shù)據(jù)之間的千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生提高理解，快速解題。

總之，教師要鼓勵(lì)學(xué)生在解題過(guò)程中靈活地應(yīng)用函數(shù)與方程的思想。學(xué)生了解了函數(shù)與方程的思想，在解題過(guò)程中會(huì)充分地發(fā)揮主觀能動(dòng)性，建構(gòu)函數(shù)關(guān)系，梳理未知量之間的關(guān)系，在分析中簡(jiǎn)化問題，建構(gòu)出知識(shí)規(guī)律。學(xué)生了解了解題方法會(huì)主動(dòng)建模，掌握解題方法，在實(shí)踐中提高解題能力，落實(shí)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]王海青.巧用函數(shù)思想妙解數(shù)學(xué)問題[J].名師在線，2018（36）：28-29.

[2]劉海東.巧妙運(yùn)用函數(shù)思想，打造高中數(shù)學(xué)解題中的萬(wàn)能鑰匙[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2016（23）：44-45.