文小鳳，張小紅*，王敬前，雷 濤

(1 陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710021;2 陜西科技大學(xué) 電子信息與人工智能學(xué)院，陜西 西安 710021)

模糊集和粗糙集理論都是處理不確定、不完備信息的有效數(shù)學(xué)工具[1-2]。1990年，Dubois和Prade將兩個理論結(jié)合起來，首次提出了模糊粗糙集的概念，利用min和max一對模糊算子刻畫了模糊粗糙集模型[3]。此后，關(guān)于模糊粗糙集的研究更加豐富、深入[4-7]。2002年，Anna等利用連續(xù)三角模和模糊蘊(yùn)涵定義了一類新的模糊粗糙集模型，即(I,T)-模糊粗糙集[8]。特別地，文獻(xiàn)[8]分別基于3類不同的模糊蘊(yùn)涵算子定義了3種模糊粗糙集模型，豐富了模糊粗糙上下近似算子的構(gòu)造方法。2005年，Wu等在上述(I,T)-模糊粗糙集模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展，將其中的模糊相似關(guān)系推廣為一般的模糊二元關(guān)系，定義了一對廣義模糊上下近似算子并研究了其性質(zhì)[9]。2008年，Sun等基于區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)給出了區(qū)間值模糊粗糙集模型，并將該模型應(yīng)用到知識約簡中，建立了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的知識約簡定理[10]。同年，徐小來等提出一種基于直覺模糊三角模的直覺模糊粗糙集，證明了直覺模糊上下近似算子的重要性質(zhì)[11]。2020年，Zhang等將基于三角余模的模糊粗糙集模型應(yīng)用到不確定多屬性決策問題上，并與已有決策方法對比，得出更優(yōu)的決策結(jié)果[12]。文獻(xiàn)[13-19]從不同角度進(jìn)一步研究了模糊粗糙集的特性及其在粒計(jì)算、知識約簡等方面的應(yīng)用。

重疊函數(shù)作為一類聚合函數(shù)及非結(jié)合模糊邏輯聯(lián)結(jié)詞被提出[20]，與圖像處理和數(shù)據(jù)分類的實(shí)際應(yīng)用問題密切相關(guān)。在圖像處理問題中，Bustince等利用被稱為受限等價函數(shù)的二元算子去計(jì)算一個圖像的閾值[21]；在分類問題中，Amo等利用重疊函數(shù)對結(jié)果分類進(jìn)行(模糊)評估[22]。2013年，Bedregal等研究了重疊函數(shù)的一些重要性質(zhì)，比如，遷移性、齊次性、冪等性等[23]；2015年，Dimuro和Bedregal研究了重疊函數(shù)及其剩余蘊(yùn)涵的基本性質(zhì)[24]。同時，文獻(xiàn)[25-27]研究了n維重疊函數(shù)及其性質(zhì)、重疊函數(shù)在基于模糊規(guī)則分類問題中的應(yīng)用等內(nèi)容。2019年，Miguel等將重疊函數(shù)的條件進(jìn)一步放寬，引入廣義重疊函數(shù)的概念，并展示了其在解決分類問題時表現(xiàn)出的優(yōu)勢[28]。

鑒于(廣義)重疊函數(shù)的廣泛應(yīng)用，若將其與模糊粗糙集相結(jié)合建立更廣的模糊粗糙集模型，將會擴(kuò)大模糊粗糙集的實(shí)際應(yīng)用范圍[29-30]。同時，重疊函數(shù)作為非結(jié)合的二元函數(shù)，可以應(yīng)用在基于模糊偏好關(guān)系的決策問題中，以克服三角模結(jié)合性的限制，提高處理多屬性決策問題的靈活性。因此，本文基于三角模的模糊粗糙集現(xiàn)有研究工作，將三角模替換為(廣義)重疊函數(shù)，從而引入基于(廣義)重疊函數(shù)新的模糊粗糙集模型，并探討新模型在不確定多屬性決策問題中的應(yīng)用。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 重疊函數(shù)與廣義重疊函數(shù)

定義1[20-21，28]稱二元函數(shù)O:[0,1]2→[0,1]是一個重疊函數(shù)，如果?x,y,z∈[0,1]滿足以下5個條件：

(O1)交換性，O(x,y)=O(y,x)；

(O2)邊界條件，O(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)xy=0；

(O3)邊界條件，O(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)xy=1；

(O4)單調(diào)性，O(x,y)≤O(x,z)當(dāng)y≤z；

(O5)連續(xù)性，O關(guān)于2個變元是同時連續(xù)的。

稱二元函數(shù)O:[0,1]2→[0,1]是一個廣義重疊函數(shù)，如果?x,y,z∈[0,1]滿足(O1)、(O4)、(O5)和如下(O2′)、(O3′)：

(O2′)邊界條件，當(dāng)xy=0,則O(x,y)=0；

(O3′)邊界條件，當(dāng)xy=1,則O(x,y)=1。

例1(1)?p≥2，如下定義的二元函數(shù)Op:[0,1]2→[0,1],O(x,y)=xpyp是一個重疊函數(shù)；顯然，當(dāng)p=1時，O(x,y)=xy既是連續(xù)三角模也是重疊函數(shù)。

(2)如下定義的二元函數(shù)O:[0,1]2→[0,1],

(3)如下定義的二元函數(shù)O:[0,1]2→[0,1],

O(x,y)=max{0,x2+y2-1}是一個廣義重疊函數(shù),但不是重疊函數(shù)。

定義2[23,28]設(shè)O:[0,1]2→[0,1]是一個(廣義)重疊函數(shù)，則稱如下定義的二元函數(shù)RO:[0,1]2→[0,1],RO(x,y)=max{z:O(x,z)≤y}是由(廣義)重疊函數(shù)O誘導(dǎo)出的剩余蘊(yùn)涵。

例2(1)若重疊函數(shù)為O2(x,y)=x2y2, 則其誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵為

(3)若廣義重疊函數(shù)為O(x,y)=max{0,x2+y2-1},則其誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵為

1.2 模糊粗糙集的基本概念

定義3[18]論域X上的模糊集合(或稱為模糊子集)A是X到[0,1]的一個映射(稱為隸屬函數(shù))μA:X→[0,1]。?x∈X,μA(x)稱為x對于A的隸屬度。

定義4[18]設(shè)R是論域U上等價關(guān)系，稱(U,R)為近似空間。再設(shè)X?U，如果X能表示成若干個R基本知識(即R等價類)的并集，則稱X是R的精確集；反之，稱X是R的粗糙集。

精確集可以用基本知識的并集表示，可以被精確描述；而粗糙集可以使用2個精確集給出近似描述，即所謂的下近似集和上近似集。

定義5[18]設(shè)(U,R)為近似空間，X?U，集合

R↓X=∪{Y∈U/R|Y?X},

R↑X=∪{Y∈U/R|Y∩X≠?},

分別稱為X的R下近似集和上近似集。

定義6[3]設(shè)(U,R)是近似空間，即R是論域U上的一個等價關(guān)系。若A是論域U上的一個模糊集合，則定義U上的一對模糊集合

AR(x)=min{A(y)|y∈[x]R,x∈U},

定義7[9]記(U,R)為模糊近似空間，其中R是論域U上的一般模糊關(guān)系，T為三角模，I為蘊(yùn)涵算子。若A是論域U上的一個模糊集合，定義U上的一對模糊集如下：?x∈U,

稱R↓IA和R↑IA分別為模糊集合A關(guān)于(U,R)的下、上近似。

2 基于(廣義)重疊函數(shù)的模糊粗糙集模型

本節(jié)將(廣義)重疊函數(shù)和模糊粗糙集相結(jié)合，提出一類新的模糊粗糙集模型，并討論其基本性質(zhì)。

定義8設(shè)(U,R)為模糊近似空間(R是論域U上的模糊二元關(guān)系)，O為一個(廣義)重疊函數(shù)，RO為由O導(dǎo)出的剩余蘊(yùn)涵。對于模糊集合A∈F(U)，定義U上的一對模糊集如下：?x∈U，

稱R↓ROA和R↑OA分別為模糊集合A關(guān)于(U,R)的下、上近似算子。

若R↓ROA=R↑OA,則稱A為可定義的模糊集。反之，稱A是模糊粗糙集。

表1 模糊關(guān)系R

(R↓ROA)(x1)=inf{0.25,0.16,0.49,1}=0.16，

(R↑OA)(x1)=sup{0.71,0.63,0.77,0.55}=0.77，

(R↓ROA)(x2)=inf{0.25,0.16,0.49,1}=0.16，

(R↑OA)(x2)=sup{0.71,0.63,0.77,0.55}=0.77，

(R↓ROA)(x3)=inf{0,25,0.16,0.49,1}=0.16，

(R↑OA)(x3)=sup{0.71,0.63,0.84,0.55}=0.84，

(R↓ROA)(x4)=inf{0,25,0.16,1,0.81}=0.16，

(R↑OA)(x4)=sup{0.55,0.55,0.55,0.95}=0.95。

因此，在近似空間(U,R)中，模糊集A的下、上近似集合分別為

定理1設(shè)O是(廣義)重疊函數(shù)，RO是其導(dǎo)出的剩余蘊(yùn)涵,則有

(1)R↑O?=?,

(2)R↓ROU=U。

證明(1)?x∈U，有

(2)由于RO(x,1)=max{z:O(x,z)≤1}=1(?x∈[0, 1])，則

定理2設(shè)O是(廣義)重疊函數(shù)，RO是其導(dǎo)出的剩余蘊(yùn)涵。若R為模糊自反關(guān)系且O(1,x)≥x(?x∈[0, 1]),則對U上任意模糊集合A有R↓ROA?A?R↑OA。

證明對于模糊集A,?x∈U,

O(R(x,x),A(x))=O(1,A(x))≥

A(x)。

這說明A?R↑OA。

另一方面，根據(jù)剩余蘊(yùn)涵的定義，?x∈U,有RO(1,x)=max{z:O(1,z)≤x}。記RO(1,x)=z0,則有O(1,z0)≤x。假設(shè)z0>x,則O(1,z0)≥z0>x，與O(1,z0)≤x矛盾，故假設(shè)不成立。由此可知z0≤x，即RO(1,x)=max{z:O(1,z)≤x}≤x。于是，

RO(R(x,x),A(x))=RO(1,A(x))≤

A(x)。

故有R↓ROA?R↑OA成立。

定理3設(shè)O是(廣義)重疊函數(shù)，RO是其導(dǎo)出的剩余蘊(yùn)涵，A、B是論域U上的模糊集。若A?B，則

(1)R↑OA?R↑OB,

(2)R↓ROA?R↓ROB。

證明若A、B滿足A?B，則?x∈U有A(x)≤B(x)，進(jìn)而

故有R↑OA?R↑OB。同理可證R↓ROA?R↓ROB成立。

定理4設(shè)O是(廣義)重疊函數(shù)，RO是其導(dǎo)出的剩余蘊(yùn)涵，R1、R2是論域U上的2個模糊二元關(guān)系。若R1?R2，則對U上的任意模糊集A有

(1)R1↑OA?R2↑OA,

(2)R2↓ROA?R1↓ROA。

證明若R1、R2滿足R1?R2,則?x∈U有R1(x,y)≤R2(x,y),于是

故有R1↑OA?R2↑OA。同理可證R2↓ROA?R1↓ROA成立。

定理5設(shè)O是(廣義)重疊函數(shù)，RO是其導(dǎo)出的剩余蘊(yùn)涵，A、B是論域U上的模糊集，則

(1)R↑O(A∪B)=R↑OA∪R↑OB,

(2)R↓RO(A∪B)?R↓ROA∪R↓ROB,

(3)R↑O(A∩B)?R↑OA∩R↑OB,

(4)R↓RO(A∩B)=R↓ROA∩R↓ROB。

證明(1)和(4)根據(jù)定義8可以直接得到，以下證明(2)和(3)。

(2)?x∈U，依據(jù)下近似的定義及剩余蘊(yùn)涵的性質(zhì)可得

R↓RO(A∪B)(x)=

(R↓ROA∪R↓ROB)(x)。

故有R↓RO(A∪B)?R↓ROA∪R↓ROB成立。

(3)?x∈U，依據(jù)上近似的定義及(廣義)重疊函數(shù)的連續(xù)性可得

R↑O(A∩B)(x)=

O(R(x,y),B(y))≤

(R↑OA∩R↑OB)(x)。

故有R↑O(A∩B)?R↑OA∩R↑OB成立。

特別地，以下示例說明，上述基于(廣義)重疊函數(shù)的上、下近似算子，其冪等性一般不成立，即

R↓ROA≠R↓RO(R↓ROA)，

R↑OA≠R↑O(R↑OA)。

表2 模糊關(guān)系R

取O(x,y)=max{0,x2+y2-1}，則可得

顯然，R↑OA≠R↑O(R↑OA)。類似地，R↓ROA≠R↓RO(R↓ROA)。

3 應(yīng)用實(shí)例

本節(jié)闡述新的模糊粗糙集模型在多屬性決策問題中的應(yīng)用，所采用的示例來源于文獻(xiàn)[12]，我們利用基于重疊函數(shù)的模糊粗糙集給出多屬性決策的新方法，并將決策結(jié)果與已有方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

3.1 問題描述

肺炎是生活中一種常見病癥，其通常有5種癥狀：咳嗽、嘔吐、發(fā)燒、胸痛和疲勞?，F(xiàn)在有6種藥物可以用來治療肺炎，但是這些藥物對這5種癥狀有著不同的治療效果，需要醫(yī)生判斷治療肺炎的6種藥物的效果。設(shè)W={a1,a2,a3,a4,a5,a6}表示6種藥物，A={A1,A2,A3,A4,A5}表示5種癥狀，Aj(ai)表示醫(yī)生對藥物ai治療癥狀A(yù)j的效果評估，其中i=1,2,3,4,5,6,j=1,2,3,4,5。此外，根據(jù)5種癥狀的重要性程度，醫(yī)生還給出了標(biāo)準(zhǔn)權(quán)重T={0.25,0.25,0.20,0.15,0.15}。現(xiàn)需對治療肺炎的6種藥物的治療效果進(jìn)行排序。

3.2 決策方法及算例

本文應(yīng)用的多屬性決策的方法[12]如下。

將模糊矩陣變成偏好指標(biāo)矩陣。

其次，將偏好指標(biāo)矩陣的每一行當(dāng)做一個模糊集合Me，每一列當(dāng)作一個模糊集合Ng，分別計(jì)算其下、上近似。

最后，依據(jù)φ值對決策對象進(jìn)行排序。

這里的|Δ|表示Δ的階數(shù)。

以下，基于前面建立的基于重疊函數(shù)的模糊粗糙集，給出求解上述多屬性決策問題(multi-attribute decision-making,MADM)的新方法。首先，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，得到如表3所示的多屬性決策矩陣。

表3 多屬性決策矩陣

令p=0.87，則偏好函數(shù)為

Gj(xkj-xij)=

根據(jù)計(jì)算得到如表4所示的偏好指標(biāo)矩陣。

表4 偏好指標(biāo)矩陣

表5 Me的下、上近似

表6 Ng的下、上近似

最后，給出每種藥物的φ+、φ-和φ，如表7所示。

表7 情況1中每種藥物的φ+、φ-、φ

由表7可以直接得出排序結(jié)果，即

a3>a1>a4>a5>a2>a6。

因此，藥物a3是治療肺炎的最好藥物。

情況2取重疊函數(shù)為O(x,y)=x2y2，采用相同的方法，可以得到每種藥物的φ+、φ-和φ，如表8所示。

表8 情況2中每種藥物的φ+、φ-、φ

由表8可以直接得出排序結(jié)果，即

a3>a1>a4>a5>a2>a6。

因此，藥物a3是治療肺炎的最好藥物。

3.3 比較分析

上述利用基于重疊函數(shù)的模糊粗糙集模型給出決策問題的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。對于MCDM問題，許多專家給出了不同的決策方法，比如模糊WA法(加權(quán)平均算法)、模糊OWA法等。表9列出了不同決策方法求解前述具體問題的不同結(jié)果。

表9 不同模型和方法之間的比較

從表9可以看出，本文提出的多屬性決策方法與已有方法得到的決策結(jié)果一致，即確定a3是治療肺炎最好的藥物。這一結(jié)果表明本文提出的模型是有效的。此外，模糊WA法、模糊OWA法都出現(xiàn)了不能比較的對象，(JR,S)-FRS models模型使用了必須滿足結(jié)合律的三角余模，本文方法沒有不能排序的情況，且重疊函數(shù)沒有結(jié)合性限制。因此，本文決策方法有一定優(yōu)勢和廣泛適應(yīng)性。

4 結(jié)論

本文提出了基于(廣義)重疊函數(shù)及其剩余蘊(yùn)涵的模糊粗糙集模型，該模型是(I,T)模糊粗糙集模型的一種擴(kuò)展形式，其優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在2個方面：一方面，該模型保留了原有模糊粗糙集模型的重要性質(zhì)；另一方面，擴(kuò)大了模糊粗糙集的應(yīng)用范圍。本文研究了基于重疊函數(shù)的模糊粗糙上、下近似算子的基本性質(zhì)，并提出了一種多屬性決策的新方法，通過具體實(shí)例的對比分析，展示了新決策方法的優(yōu)勢和應(yīng)用價值。作為進(jìn)一步研究的課題，將在后續(xù)工作中探討基于重疊函數(shù)的模糊粗糙集與三支決策理論的內(nèi)在聯(lián)系，并將理論研究成果應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘和知識發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域。