邵 圳，蒲耀洲，曹 利，王賢鈞，李洋洋，殷國(guó)富

(1.四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都 610065；2.中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院，成都 610213)

0 引言

五軸數(shù)控機(jī)床是典型的高端數(shù)控加工裝備，可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜曲面零件的加工[1]，其運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)主要由主軸、3個(gè)平動(dòng)軸和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸組成。由于在三軸數(shù)控機(jī)床基礎(chǔ)上增加了兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸,五軸數(shù)控機(jī)床在加工過(guò)程中刀具和工件有更多的自由度，可以從更多的角度和方向進(jìn)行加工，從而制造更復(fù)雜的零件[2]。由于旋轉(zhuǎn)軸的結(jié)構(gòu)比平動(dòng)軸更加復(fù)雜，而且旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差對(duì)機(jī)床綜合誤差影響較大[3]，因此旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的測(cè)量和辨識(shí)已經(jīng)成為了數(shù)控機(jī)床研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差可以分為位置相關(guān)幾何誤差PDGEs(position dependent geometric errors)和位置無(wú)關(guān)幾何誤差PIGEs(position-independent geometric errors)，后者也被稱為安裝誤差。

測(cè)量旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差常用的儀器有R-test、球桿儀、激光跟蹤儀、平面光柵等。國(guó)內(nèi)外學(xué)者都對(duì)數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸誤差進(jìn)行過(guò)研究，提出了基于各種實(shí)驗(yàn)儀器的旋轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)方法。張歷記[4]利用R-test提出了一種基于旋轉(zhuǎn)軸綜合誤差測(cè)量的五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差辨識(shí)方法，由于同時(shí)存在X、Y軸的垂直度誤差，綜合誤差在XOY面、YOZ面投影理論上應(yīng)為橢圓，但文中將投影擬合成直線，存在原理誤差。LI等[5]提出了一種基于靜態(tài)R-test的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識(shí)方法，該方法可以辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸的全部12項(xiàng)幾何誤差，并且為了將R-test直接用于帶轉(zhuǎn)頭的五軸機(jī)床幾何誤差測(cè)量，設(shè)計(jì)了夾具并對(duì)夾具參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。付國(guó)強(qiáng)等[6]提出了六圈法，利用球桿儀測(cè)量機(jī)床的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸全部誤差，但是該方法需要球桿儀進(jìn)行多次安裝，測(cè)量結(jié)果受到球桿儀安裝誤差干擾，而且在文中將PIGEs定義為旋轉(zhuǎn)軸在初始位置處的轉(zhuǎn)角誤差和線性誤差，這種定義方式具有一定模糊性。上述研究都可以實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的測(cè)量和辨識(shí)但存在原理誤差較大、需要多次安裝、不同機(jī)床之間適用性不足等問(wèn)題。R-test儀器一次安裝便能得到一個(gè)測(cè)點(diǎn)的空間誤差，可以減少儀器安裝過(guò)程中的人為誤差和儀器制造加工中產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的干擾[7]，相較于其他儀器具有一定的優(yōu)越性。但是利用R-test辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差的研究相對(duì)較少。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出了一種新的基于R-test的旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差辨識(shí)方法，并根據(jù)自研的R-test儀器對(duì)一臺(tái)THM63100IV型臥式加工中心B軸進(jìn)行了誤差測(cè)量。該方法利用空間圓中弦的性質(zhì)建立方程組，并利用最小二乘法求解方程組的最優(yōu)解，從而得到被測(cè)點(diǎn)在空間中的圓形軌跡。在測(cè)點(diǎn)軌跡方程的基礎(chǔ)上，計(jì)算出旋轉(zhuǎn)軸的實(shí)際軸線位置，進(jìn)一步得出旋轉(zhuǎn)軸的4項(xiàng)安裝誤差。由于實(shí)驗(yàn)中對(duì)R-test儀器進(jìn)行了標(biāo)定，可以進(jìn)一步減小測(cè)量?jī)x器的安裝誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的干擾。提出的旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差辨識(shí)方法可以僅通過(guò)一次安裝和測(cè)量，辨識(shí)出旋轉(zhuǎn)軸的全部4項(xiàng)安裝誤差。該辨識(shí)方法原理誤差較小而且對(duì)不同的機(jī)床結(jié)構(gòu)和建模方法適用性較好。

1 旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差建模

本文以某機(jī)床廠的THM63100IV型五軸臥式加工中心為研究對(duì)象，采用基于傳動(dòng)鏈的多體系統(tǒng)理論進(jìn)行幾何誤差建模。根據(jù)多體系統(tǒng)理論，刀尖點(diǎn)坐標(biāo)在工件坐標(biāo)系中的表達(dá)形式為：

(1)

T=TpTs

(2)

式中，TLw-1(j)Lw(j)表示局部坐標(biāo)系w-1到w的變換矩陣；下標(biāo)p表示位置無(wú)關(guān)幾何誤差對(duì)應(yīng)的靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)換矩陣；下標(biāo)s表示位置相關(guān)幾何誤差對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。轉(zhuǎn)換矩陣的具體形式依照文獻(xiàn)[8]中的理論得到。

圖1為機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖，其中機(jī)床的運(yùn)動(dòng)主要由兩條傳動(dòng)鏈構(gòu)成：工件傳動(dòng)鏈為：工作臺(tái)—B軸—A軸—Z軸—床身；刀具傳動(dòng)鏈為：刀尖點(diǎn)—Y軸—X軸—床身。

圖1 THM63100IV機(jī)床結(jié)構(gòu)圖

在刀尖點(diǎn)建立固連在刀柄上的局部坐標(biāo)系TSC；在機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)原點(diǎn)建立與B軸固連的局部坐標(biāo)系WSC；以測(cè)點(diǎn)初始坐標(biāo)為原點(diǎn)建立與B軸固連的局部坐標(biāo)系RSC； 在數(shù)控系統(tǒng)坐標(biāo)系原點(diǎn)建立機(jī)械坐標(biāo)系BCS，也稱為機(jī)床床身坐標(biāo)系。以上局部坐標(biāo)系在初始狀態(tài)都與機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)坐標(biāo)系平行。因此工作臺(tái)、刀具和機(jī)械坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

PB=[TbZTZATAB]-1[TbXTXYTYt]Pt

(3)

Vb=TbZTZATABVB

(4)

式中，Vb表示空間向量在機(jī)械坐標(biāo)系中的向量值；Pt表示空間點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值；PB表示空間點(diǎn)在B軸坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值；若只考慮B軸誤差，則機(jī)械坐標(biāo)系與B軸坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

Vb=TbBVB

(5)

(6)

(7)

式中，αBx、γBz分別表示B軸與X、Z軸之間的垂直度誤差；δBx、δBz分別表示B軸與X、Z軸之間的位置偏差。這里將垂直度誤差定義為B軸分別在XOY平面和YOZ的投影與X軸和Z軸的夾角；將位置偏差定義為工作臺(tái)移動(dòng)到坐標(biāo)系原點(diǎn)時(shí)，B軸軸線與XOZ平面的交點(diǎn)坐標(biāo)。B軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，WCS坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)到W′CS位置，兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

PB=TβiPB′

(8)

(9)

式中，βi表示B軸相對(duì)于初始位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度,因此旋轉(zhuǎn)后的B軸坐標(biāo)系W′CS與機(jī)械坐標(biāo)系BCS的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

Pb=TbBTβiPB′

(10)

2 旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差辨識(shí)方法

本文旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差的辨識(shí)原理是：根據(jù)R-test的傳感器讀數(shù)變化值，得到測(cè)量點(diǎn)在各個(gè)測(cè)量角度處的坐標(biāo)。這些測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)是測(cè)量點(diǎn)繞B軸形成的，那么可以推斷，不同角度處的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)在空間中的排列將呈現(xiàn)為圓形，將這個(gè)空間中的圓通過(guò)一定的方式擬合復(fù)現(xiàn)出來(lái)，垂直于圓所在的平面且經(jīng)過(guò)圓心的直線就是B軸的實(shí)際位置，從而可以進(jìn)一步得出B軸安裝誤差。

2.1 R-test測(cè)量數(shù)據(jù)處理

這里先簡(jiǎn)要介紹一下R-test儀器的測(cè)量原理。R-test儀器利用傳感器測(cè)量精密球相對(duì)于工作臺(tái)的位置偏差，從而進(jìn)一步解耦出機(jī)床的各項(xiàng)幾何誤差。本文對(duì)旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的測(cè)量，首先利用自研的R-test儀器和對(duì)應(yīng)的標(biāo)定方法，調(diào)整傳感器的初始位姿，從而使得傳感器初始位姿如圖2所示。

(a) 傳感器分布實(shí)物圖 (b) 傳感器分布理論圖圖2 傳感器的初始位姿

之后將傳感器讀數(shù)全部歸零，各個(gè)測(cè)量位置處的傳感器讀數(shù)δa、δb、δc為傳感器讀數(shù)的變化值，將之轉(zhuǎn)化到RCS坐標(biāo)系中為：

(11)

δR=[δxδyδz0]T

(12)

式中，35.26°表示傳感器與傳感器夾具平面的夾角，是在考慮傳感器靈敏度和最大可測(cè)空間前提下的最優(yōu)值；δR表示測(cè)量點(diǎn)與刀尖點(diǎn)的位置偏差在W′CS中的表達(dá)形式。接下來(lái)需要將δR轉(zhuǎn)換到機(jī)械坐標(biāo)系中，由第1節(jié)可知：

δRb=TbBTBRTβiδR

(13)

由于WCS和RCS平行，因此這里的TBR為單位矩陣。而TbB中包含位置相關(guān)幾何誤差和4項(xiàng)安裝誤差，無(wú)法直接計(jì)算得出。對(duì)于位置相關(guān)幾何誤差，將其視為一種隨機(jī)的干擾因素，通過(guò)擬合過(guò)程盡可能減小位置相關(guān)幾何誤差的影響，并在數(shù)據(jù)的后處理中加以修正。對(duì)于安裝誤差，有以下兩種解決思路：①忽略一部分誤差的前提下先計(jì)算得出安裝誤差估計(jì)值，根據(jù)這組估計(jì)值進(jìn)行接下來(lái)的計(jì)算；②忽略結(jié)構(gòu)誤差的影響，即用

δRb=δRb′=TβiδR

(14)

式中，δRb表示轉(zhuǎn)換到機(jī)械坐標(biāo)系中的結(jié)果。本文采用第②種方法，下面分析考慮安裝誤差和不考慮兩種情況，處理測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)最終結(jié)果的影響，討論采取本方法的合理性。

δRb=TbBTβiδR

(15)

δRb′=TβiδR

(16)

取

γBz=αBx=0.05 rad

(17)

δBz=δBx=0.05 mm

(18)

這里取的都是偏大的值[9-10]，由于δRb′中的前3個(gè)分量數(shù)量級(jí)一致，為簡(jiǎn)化模型進(jìn)行分析，不妨?。?/p>

δRb′=TβiδR=[1 1 1 0]T

(19)

帶入式(15)得：

δRb=[0.95 1 1.05 0]T

(20)

這里產(chǎn)生的最大誤差相對(duì)值為5%，實(shí)際上由于機(jī)床的結(jié)構(gòu)誤差比計(jì)算時(shí)取的估值更小，而且存在互相抵消的情況(結(jié)構(gòu)誤差正、負(fù)值都存在時(shí))，最終由于忽略結(jié)構(gòu)誤差所產(chǎn)生的影響比5%更小，所以此處產(chǎn)生的原理誤差是可以接受的。

由于在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，機(jī)床開(kāi)啟RTCP功能，刀尖點(diǎn)跟隨機(jī)床B軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此刀尖點(diǎn)在機(jī)械坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以表示為：

Ptb=Tβi[x0y0z01]

(21)

P0=[x0y0z01]

(22)

式中，P0表示刀尖點(diǎn)初始坐標(biāo)，這里為機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)初始讀數(shù)。得到了機(jī)械坐標(biāo)系BSC中的刀尖點(diǎn)坐標(biāo)Ptb和刀尖點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)差值δRb，就可以進(jìn)一步得出測(cè)量點(diǎn)在機(jī)械坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值PRb：

PRb=Ptb-δRb

(23)

2.2 安裝誤差計(jì)算方法

為了將測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)擬合成一個(gè)三維空間中的圓，這里采用先平面后圓的思路[11]，即先確定空間中的三維圓所在的平面，再進(jìn)一步確定該圓的方程。假設(shè)空間中有n個(gè)點(diǎn)：P1、P2、…、Pn。

2.2.1 空間平面擬合

平面方程設(shè)為：

ax+by+cz=1

(24)

將n個(gè)離散點(diǎn)坐標(biāo)帶入平面方程中，得到方程組：

(25)

記作

MN=L0

(26)

顯然這是一個(gè)超靜定方程，用最小二乘法求解：

N=[abc]T=(MTM)-1MTL0

(27)

2.2.2 空間圓擬合

空間圓的擬合采用文獻(xiàn)[13]中的方法，利用弦的性質(zhì)來(lái)得到方程組并求得圓心坐標(biāo)。將n個(gè)離散點(diǎn)進(jìn)行兩兩組合，得到方程組，記作：

AX=L

(28)

式中，向量X滿足約束條件：

NX=1

(29)

最終求解得：

(30)

式中，X為圓心坐標(biāo)；所有離散點(diǎn)到圓心距離的平均值為半徑。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)前標(biāo)定

在每個(gè)測(cè)量位置進(jìn)行測(cè)量之前，利用R-test儀器上的標(biāo)定塊和微調(diào)機(jī)構(gòu)，將傳感器初始位姿調(diào)整正確。并使3個(gè)傳感器初始讀數(shù)相同，均為壓縮6 mm，從而實(shí)現(xiàn)3個(gè)傳感器相對(duì)于精密球?qū)ΨQ，標(biāo)定現(xiàn)場(chǎng)如圖3和圖4所示。

圖3 傳感器方向標(biāo)定 圖4 傳感器初始讀數(shù)(單位：mm)

3.2 測(cè)量結(jié)果

根據(jù)前文的測(cè)量和辨識(shí)方法，在一臺(tái)THM63100IV型機(jī)床上進(jìn)行了誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)，分別在3個(gè)測(cè)量點(diǎn)上進(jìn)行了測(cè)量，測(cè)量點(diǎn)的位置分布如圖5所示。

圖5 測(cè)量點(diǎn)分布

接下來(lái)運(yùn)行數(shù)控程序開(kāi)始誤差測(cè)量，使B軸在0°～180°之間進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，X軸、Z軸與B軸聯(lián)動(dòng)，A軸、Y軸保持靜止。測(cè)點(diǎn)初始坐標(biāo)和初始位置精密球球心坐標(biāo)均為機(jī)床測(cè)量坐標(biāo)系(MCS)初始讀數(shù)。測(cè)點(diǎn)初始坐標(biāo)分別為：P1(170.0000,115.1751,0.0000)、P2(255.0000,153.8675,0.0000)、P3(340.0000,193.0968,0.0000)。

按照上述實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行幾何誤差測(cè)量，得到3個(gè)測(cè)點(diǎn)處刀尖點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)差值(簡(jiǎn)稱測(cè)點(diǎn)誤差值)。將各個(gè)測(cè)點(diǎn)處測(cè)量的數(shù)據(jù)帶入擬合算法，并將測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)和擬合曲線繪制成三維圖，如圖6所示。

(a) P1擬合情況(b)P2擬合情況

(c) P3擬合情況圖6 各測(cè)點(diǎn)處擬合結(jié)果

可以看出，各測(cè)點(diǎn)處的數(shù)據(jù)總體呈圓形分布，但是仍有少數(shù)幾個(gè)位置與擬合圓偏差較大。因此計(jì)算各個(gè)角度處，各點(diǎn)坐標(biāo)在擬合圓平面內(nèi)投影的圓度誤差。

各個(gè)角度處測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)為Pi(xi,yi,zi)，擬合圓半徑為r，圓度誤差計(jì)算公式為：

(31)

(32)

(33)

根據(jù)上述公式計(jì)算圓度誤差，并繪制成折線圖如圖7所示。

圖7 圓度誤差

剔除掉圓度誤差絕對(duì)值大于或等于0.005 mm的點(diǎn)，重新進(jìn)行擬合，得到修正后的擬合曲線和旋轉(zhuǎn)軸位置。再用P1、P2、P3三點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果平均值來(lái)表示B軸的垂直度誤差和相對(duì)于X、Z軸位置偏差，在MCS中的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 PIGES計(jì)算結(jié)果(MCS)

對(duì)位置偏差的計(jì)算在機(jī)械坐標(biāo)系中進(jìn)行更為合理，因?yàn)锽旋轉(zhuǎn)軸理論位置應(yīng)與機(jī)械坐標(biāo)系Y軸重合。將測(cè)量結(jié)果轉(zhuǎn)換到機(jī)械坐標(biāo)系BCS中如表2所示。

表2 PIGES計(jì)算結(jié)果(BCS)

計(jì)算結(jié)果顯示機(jī)床垂直度誤差較小，補(bǔ)償時(shí)應(yīng)主要考慮位置偏差。同時(shí)這里的測(cè)量結(jié)果也驗(yàn)證了2.1節(jié)對(duì)R-test數(shù)據(jù)進(jìn)行近似處理的合理性。

4 結(jié)論

(1)本文基于對(duì)數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)和R-test測(cè)量原理的研究，提出了一種基于R-test儀器的數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差辨識(shí)方法。該方法僅需進(jìn)行一次安裝和測(cè)量，便可辨識(shí)出數(shù)控機(jī)床的旋轉(zhuǎn)軸全部4項(xiàng)安裝誤差。并且由于測(cè)量前的標(biāo)定過(guò)程，排除了R-test儀器安裝誤差的影響。

(2)該辨識(shí)方法不受機(jī)床結(jié)構(gòu)和建模方法的限制，只要能夠計(jì)算出測(cè)量點(diǎn)在機(jī)械坐標(biāo)系或測(cè)量坐標(biāo)系中的一系列坐標(biāo)值，就可對(duì)任意帶轉(zhuǎn)臺(tái)的數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸安裝誤差進(jìn)行辨識(shí)。

(3)計(jì)算安裝誤差時(shí)，采用的是數(shù)值擬合的方法，這在原理上就無(wú)法完全的避免其他因素的干擾，只能在數(shù)據(jù)采集過(guò)程中和擬合算法上盡可能減少其他因素的影響，下一步的研究可以考慮如何避免位置相關(guān)幾何誤差對(duì)安裝誤差測(cè)量和辨識(shí)的影響，更精確地分離出旋轉(zhuǎn)軸各項(xiàng)幾何誤差。