培養(yǎng)直覺思維的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的路徑探討

張永玲

[摘? 要] 愛因斯坦曾言，科學(xué)之路起于直覺而非邏輯. 直覺思維可以通過后天培養(yǎng)，通過學(xué)習(xí)和正確引導(dǎo)，每個人的數(shù)學(xué)直覺可以不斷提高. 文章結(jié)合教學(xué)實踐，提出高中數(shù)學(xué)中培養(yǎng)直覺思維的有效路徑，即在概念與性質(zhì)的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維;在習(xí)題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維;在數(shù)學(xué)實驗中，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維.

[關(guān)鍵詞] 直覺思維;概念;性質(zhì);習(xí)題;實驗

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往只注重學(xué)生的邏輯思維，而忽視了學(xué)生的直覺思維，使得學(xué)生感到數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，以至于學(xué)生對數(shù)學(xué)失去了興趣與信心. 愛因斯坦曾言，科學(xué)之路起于直覺而非邏輯[1]. 由此可見直覺思維的重要性. 人的數(shù)學(xué)思維和判斷能力的水平，往往受制于直覺思維能力的高低. 數(shù)學(xué)家徐利治曾言，數(shù)學(xué)直覺思維可以通過后天培養(yǎng)，通過學(xué)習(xí)和正確引導(dǎo)，每個人的數(shù)學(xué)直覺可以不斷提高. 那么，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何提高學(xué)生的直覺思維能力呢？文章結(jié)合具體的教學(xué)事例談?wù)効捶?，供同仁們參考，不?dāng)之處，敬請批評斧正.

[?] 在概念與性質(zhì)的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)始于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)概念看似簡單，卻是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的起源. 一些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定義，常常令人顧名思義，其實這就是直覺思維. 在概念教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生通過一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象自己給出有關(guān)的數(shù)學(xué)概念和定義，也可以讓學(xué)生根據(jù)自己的數(shù)學(xué)直覺說出數(shù)學(xué)概念和定義的內(nèi)涵與外延. 這種數(shù)學(xué)概念的教學(xué)模式，不僅能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的興趣，而且能使學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（直覺思維）中增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心[2].

例如，進(jìn)入高中，學(xué)生碰到的第一個數(shù)學(xué)概念是集合. 在語文中，“集合”是一個動詞，而在數(shù)學(xué)中卻是一個名詞，學(xué)生有點不解. 為了培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，教師可以充當(dāng)一回體育老師，請學(xué)生在教室旁邊的走廊上集合，并要求男生與女生各排一列縱隊，于是走廊里出現(xiàn)了兩個“整體”，教師讓學(xué)生從集合角度感悟這兩個“整體”，學(xué)生通過直覺思維初步認(rèn)識到集合究竟是怎么一回事. 關(guān)于集合的三大特性，即元素的確定性、無序性和唯一性，也完全可以由學(xué)生自己來總結(jié). 這種讓學(xué)生“親力親為”的教學(xué)模式可以增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識，進(jìn)而上升到理性認(rèn)識，體現(xiàn)了人的認(rèn)識從直覺思維到邏輯思維的認(rèn)知規(guī)律.

數(shù)學(xué)概念并非孤立的，互相之間存在著聯(lián)系，由此及彼的類比[3]，也是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的有效路徑. 例如，在數(shù)列教學(xué)中，教師可以利用等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，讓學(xué)生通過類比，直接發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，雖然通過直覺思維得到的一些數(shù)學(xué)結(jié)論不一定準(zhǔn)確，但只要繼續(xù)讓學(xué)生邏輯推理，即可甄別真?zhèn)?

例如，設(shè)數(shù)列{a}與分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，筆者提出：在等差數(shù)列{a}中，若m+n=p+q，則有a+a=a+a，且數(shù)列a+a，a+a，a+a，…也成等差數(shù)列. 于是，學(xué)生憑著直覺思維得到了如下結(jié)論：在等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則有b·b=b·b，且數(shù)列b+b，b+b，b+b，…也成等比數(shù)列. 這個憑著直覺思維得到的結(jié)論對嗎？筆者要求學(xué)生加以論證. 經(jīng)過論證與探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“若m+n=p+q，則有b·b=b·b”是正確的，“數(shù)列b+b，b+b，b+b，…也成等比數(shù)列”是錯誤的. 若等比數(shù)列的公比為-1，則數(shù)列b+b，b+b，b+b，…的每一項都是零，所以它不是等比數(shù)列. 由此可見，類比是培養(yǎng)直覺思維的有效路徑;同時，通過邏輯推理，有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的深刻性.

[?] 在習(xí)題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維

日常教學(xué)中，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象：教師出示一道數(shù)學(xué)題后，有的學(xué)生能快速報出答案，有的學(xué)生看了半天卻看不出答案. 快速報出答案的學(xué)生是如何知道答案的呢？學(xué)生不一定能把其中的道理全盤托出，很可能借助的就是直覺思維. 然而，直覺思維并非憑空產(chǎn)生的，而是在解題經(jīng)驗中油然而生的. 因此，在習(xí)題教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、直覺力和想象力，并重視解題經(jīng)驗的積累和對數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟，要培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新、敢為人先的勇氣，畏葸不前是不會產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺思維的[4].

例如，在一次高三復(fù)習(xí)課上，筆者出示了下面一道題目：何謂費(fèi)馬點？其是指在三角形內(nèi)，且滿足到三角形三個頂點的距離之和最小的點. 不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角形的三個內(nèi)角都小于120°時，費(fèi)馬點與三個頂點的連線恰好三等分費(fèi)馬點所在的周角. 據(jù)上述性質(zhì)，函數(shù)f（x）=++的最小值為________.

這是一個含雙變量的函數(shù)的最值問題，同時含三個根號，如果沒有直覺思維就很難解決這個問題，從函數(shù)角度去思考，往往無功而返. 筆者提醒學(xué)生仔細(xì)分析表達(dá)式的特征，關(guān)注三個根號的幾何意義，于是學(xué)生憑著直觀感覺得到了如下的解題思路：由兩點距離公式可得f（x）表示點（x，y）到點（1，0），（-1，0），（0，2）的距離之和，由新定義可得f（x）的最小值點即為費(fèi)馬點，由解三角形的知識可得所求的最小值.

詳解如下：由兩點之間的距離公式得f（x）=++表示的是點（x，y）到點B（1，0），A（-1，0），C（0，2）的距離之和，因此求函數(shù)f（x）的最小值即求點（x，y）到點B（1，0），A（-1，0），C（0，2）的距離之和的最小值，取最小值時點（x，y）即為A，B，C三點構(gòu)成的三角形的費(fèi)馬點，如圖1所示. 在等腰三角形AMB中，∠AMB=120°，可得AM=BM==，CM=2-MO=2-，容易求得最小值為++2-=2+. 故答案為2+.

不難發(fā)現(xiàn)，習(xí)題教學(xué)中，在解題前，引導(dǎo)學(xué)生利用直覺思維判斷題目考查的知識點與解題方法，并付諸于行動，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，有利于提高學(xué)生的解題能力和思維水平.

[?] 在數(shù)學(xué)實驗中，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維

受應(yīng)試教育的束縛，數(shù)學(xué)實驗在高中似乎不受待見，雖然有些學(xué)校也建立了數(shù)學(xué)實驗室，但往往只是一種擺設(shè)，不能加以充分利用. 造成這種現(xiàn)象的主要原因是，有些教師擔(dān)心“奢侈”的數(shù)學(xué)實驗活動課會直接影響教學(xué)進(jìn)度，以致教學(xué)效果差強(qiáng)人意. 其實不然，數(shù)學(xué)實驗的目的重在實驗學(xué)習(xí)、感受數(shù)學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣與直覺思維. 常言道“磨刀不誤砍柴工”，數(shù)學(xué)實驗起到的就是“磨刀”的作用. 通過數(shù)學(xué)實驗可以增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的感官認(rèn)識，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維與邏輯思維. 在立體幾何教學(xué)中，新課標(biāo)指出，要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與邏輯推理能力. 不難發(fā)現(xiàn)，其實前者屬于直覺思維培養(yǎng)，后者屬于邏輯思維培養(yǎng)[5].

例如，在講授立體幾何中的“異面直線”時，筆者先讓學(xué)生通過兩支筆的不同位置直觀感覺“異面直線”的定義，并向?qū)W生提問：從你的實驗和直觀感知，如何定義“異面直線”？學(xué)生通過實驗和直觀感知得出，不在同一個平面里的兩條直線，稱為異面直線. 于是筆者追問：空間中兩條平行線之間的距離是如何定義的？兩條異面直線之間有距離嗎？距離又在哪里？經(jīng)過前面一個問題的啟發(fā)，學(xué)生感悟到：平行線之間的距離就是兩條直線上各取一點，這兩點之間距離的最小值就是平行線之間的距離. 那么兩條異面直線之間存在這樣的兩個點嗎？學(xué)生再次通過數(shù)學(xué)實驗，從直覺上看，似乎存在卻又無法用語言描述. 于是筆者出示了實物模型——正方體ABCD-ABCD（如圖2所示），并提問：圖中的直線BD與直線AC是異面直線嗎？你能找到它們之間的距離嗎？學(xué)生再次憑著直覺思維找到了線段OO的長度就是它們之間的距離. 那么異面直線之間的距離到底是什么呢？通過實驗與模型表示異面直線之間的距離是唯一的.

數(shù)學(xué)實驗的引入，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維. 不做實驗似乎節(jié)省了教學(xué)時間，但不利于學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生探究能力的培養(yǎng).

愛因斯坦說過，想象比知識更重要. 作為數(shù)學(xué)教師，教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識固然重要，但發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力更重要，讓學(xué)生觀察，猜想探究，都離不開直覺思維能力的培養(yǎng). 因此，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，應(yīng)該成為教師的教學(xué)目標(biāo)之一.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 李景安.優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生直覺思維[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2021（08）：30-31.

[2]? 周世彥. 直覺思維在數(shù)學(xué)解題中的激發(fā)策略[J].教書育人，2020（11）：67.

[3]? 黃霞. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的三種策略[J]. 廣西教育，2019（34）：138-139+141.

[4]? 施冬芳. 芻議高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（01）：30-31.

[5]? 游含啟. 高中數(shù)學(xué)直覺思維能力培養(yǎng)淺析[J]. 基礎(chǔ)教育參考，2016（02）：46-47.