趙茂男
[摘? 要] 通過構(gòu)建單元知識(shí)的鏈條和結(jié)構(gòu)體系,統(tǒng)籌、重組和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu),進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),有利于引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì),提升課堂教學(xué)效率和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng). 文章以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的教學(xué)為例,闡釋研究者對(duì)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.
[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)
單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)不僅能夠突出相關(guān)主題內(nèi)容和知識(shí)間的聯(lián)系,體現(xiàn)出知識(shí)的系統(tǒng)性、聯(lián)系性和整體性,而且能統(tǒng)籌、重組和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu),把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì),從而達(dá)到提升課堂教學(xué)效率和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目的. 而在具體實(shí)踐中,相當(dāng)數(shù)量的教師對(duì)單元整體教學(xué)的意識(shí)和能力不強(qiáng),大部分學(xué)生分析問題、解決問題的思路不夠全面,處理綜合類問題的能力非常薄弱. 因此,文章以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的教學(xué)為例[1],闡釋筆者對(duì)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.
[?] 教學(xué)過程再現(xiàn)及設(shè)計(jì)意圖分析
1. 內(nèi)容和內(nèi)容解析
橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線與方程”中的重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程后所要探究的主要知識(shí)點(diǎn),其幾何性質(zhì)主要包括頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率以及范圍,并且橢圓是學(xué)生首次學(xué)習(xí)圓錐曲線所要面對(duì)的內(nèi)容,之后所學(xué)習(xí)的拋物線、雙曲線都可以利用橢圓的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行探究,因此探究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)就顯得尤為關(guān)鍵.
2. 教學(xué)問題診斷分析
在學(xué)習(xí)該內(nèi)容之前,學(xué)生就已經(jīng)熟練掌握了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,倘若在課堂教學(xué)中直接呈現(xiàn)橢圓的各種幾何性質(zhì),由于對(duì)數(shù)形結(jié)合思想不夠熟練,相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生會(huì)難以理解離心率等知識(shí)的本質(zhì). 雖然高中學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析問題的能力,但仍然存在著分析不夠系統(tǒng)和全面的情況.
3. 目標(biāo)和目標(biāo)解析
基于以上分析,結(jié)合教學(xué)三維目標(biāo),橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)目標(biāo):
(1)熟悉并掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及離心率.
(2)經(jīng)歷橢圓幾何性質(zhì)的探究過程,充分體會(huì)“應(yīng)用代數(shù)方法研究幾何問題”以及數(shù)形結(jié)合思想.
(3)采用實(shí)驗(yàn)探究和合作交流的方式,激發(fā)學(xué)生對(duì)未知知識(shí)的求知欲[2],增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的能力.
4. 教學(xué)理念及策略分析
為了突出學(xué)生的主體地位,可以采用自主探究和交流討論相結(jié)合的方式,深刻了解已知參數(shù)求曲線方程和已知曲線方程求參數(shù)等求解圓錐曲線與方程的最基本的兩種題型. 同時(shí),教師還應(yīng)重視學(xué)生的操作與活動(dòng),最大限度地給予學(xué)生積極參與課堂實(shí)踐的空間和時(shí)間,可以利用GeoGebra軟件探究影響橢圓“扁平”程度的參數(shù). 此外,教師還可以讓學(xué)生應(yīng)用GeoGebra軟件闡述自己的觀點(diǎn),或者講解自己對(duì)GeoGebra軟件的認(rèn)識(shí),或者利用GeoGebra軟件驗(yàn)證結(jié)果的真實(shí)性,有效促使學(xué)生在提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí),學(xué)習(xí)到一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.
5. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(1)溫故知新.
師:出示上節(jié)課學(xué)習(xí)的圖形,請(qǐng)學(xué)生回顧橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,然后以課本圖為例,深入闡述橢圓的定義.
師:應(yīng)用GeoGebra軟件將橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)拖到同一處,要求學(xué)生觀看圖像的變化情況.
設(shè)計(jì)意圖:對(duì)橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的研究是在學(xué)習(xí)了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像后開展的,讓學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圖像,有助于新知識(shí)的學(xué)習(xí);并且利用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,能很好地體現(xiàn)橢圓與圓之間的聯(lián)系,有助于體現(xiàn)整體思想.
(2)合作探究.
問題1:橢圓的大小由什么確定?
師:利用GeoGebra軟件隨機(jī)呈現(xiàn)一個(gè)橢圓,如圖1所示,并在圖中描述出相應(yīng)橢圓的特征三角形.
生:觀察橢圓的圖像,并討論得出橢圓的范圍,即橢圓總是位于直線x=±a,y=±b所形成的矩形范圍之內(nèi).
師:上述橢圓范圍的確定是通過觀察圖像獲得的,能否進(jìn)行證明?
設(shè)計(jì)意圖:相比代數(shù)方法,在圖像上進(jìn)行觀察比較直觀,更能滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,然后應(yīng)用代數(shù)方法驗(yàn)證結(jié)論,要求學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行變形,不僅能加深學(xué)生對(duì)橢圓范圍的理解,而且能增強(qiáng)學(xué)生的參與意識(shí).
問題2:橢圓是否是對(duì)稱圖形?
師:通過橢圓圖像的觀察,能夠感受到橢圓是對(duì)稱圖形,能否應(yīng)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證?
生:應(yīng)用-y代替y,-x代替x,原有的橢圓方程并沒有發(fā)生改變,即橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱.
師:利用GeoGebra軟件演示橢圓繞著x軸、y軸、原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),要求學(xué)生仔細(xì)觀察,并說明橢圓的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心等概念.
設(shè)計(jì)意圖:在學(xué)生應(yīng)用已學(xué)知識(shí)說明橢圓的對(duì)稱性后,將抽象的知識(shí)通過GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示,不僅能夠讓學(xué)生深度理解橢圓的對(duì)稱性,也在無形中滲透了數(shù)形結(jié)合思想.
問題3:橢圓有哪些特殊點(diǎn)?
師:曲線上的一些特殊點(diǎn)可以準(zhǔn)確確定曲線的位置,那么橢圓上可能有哪些特殊點(diǎn)?
生:在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程里,不妨設(shè)y=0,則x=±a,這就意味著(-a,0),(a,0)是橢圓在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn);同理,可得(0,-b),(0,b)是橢圓在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn),如圖2所示.
師:除了頂點(diǎn)外,橢圓的焦點(diǎn)也是橢圓的特殊點(diǎn),即從橢圓某一焦點(diǎn)射出的光線,經(jīng)過橢圓反射后,光線能夠經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).
設(shè)計(jì)意圖:橢圓的頂點(diǎn),學(xué)生容易理解,教師沒必要在頂點(diǎn)的講解上浪費(fèi)過多的時(shí)間. 同時(shí),橢圓的光學(xué)性質(zhì)僅在相關(guān)閱讀材料中有所提及,因此教師只要讓學(xué)生明白其重要性即可,并鼓勵(lì)有興趣的學(xué)生課后進(jìn)行探究.
問題4:橢圓的“扁平”程度與哪些因素有關(guān)?
師:畫出幾個(gè)長(zhǎng)軸相同但焦點(diǎn)不同和幾個(gè)焦點(diǎn)相同但長(zhǎng)軸不同的橢圓.
生:分組開展探究,并進(jìn)行總結(jié),如圖3、圖4所示,即a不變,c越小,則橢圓越圓;c不變,a越大,則橢圓越圓.
師:呈現(xiàn)離心率的概念,引導(dǎo)學(xué)生得出:當(dāng)e越接近1時(shí),則橢圓越扁;反之,當(dāng)e越接近0時(shí),則橢圓越圓. 并以或能否刻畫橢圓的“扁平”程度為主題,要求學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行探討.
設(shè)計(jì)意圖:離心率是橢圓的一個(gè)重要概念,如果單純依靠教師的講解,則無法達(dá)到深度理解的效果. 因此,教師應(yīng)設(shè)計(jì)動(dòng)手實(shí)驗(yàn),要求學(xué)生充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性進(jìn)行探究和總結(jié).
(3)理解提升.
例1 已知9x2+25y2=225,試求該橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的坐標(biāo),長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率,并應(yīng)用描點(diǎn)法畫出它的圖像.
例2 試求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
①經(jīng)過點(diǎn)P(-6,0)和Q(0,8);
②已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)在x軸上,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12,離心率等于.
例3 試比較下列每組橢圓的“扁平”程度.
①x2+9y2=36與+=1;
②9x2+y2=36與+=1.
設(shè)計(jì)意圖:例1的設(shè)計(jì)是為了學(xué)生能更好地掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、離心率等知識(shí),并通過描點(diǎn)法系統(tǒng)理解橢圓的性質(zhì);例2是已知參數(shù)求解橢圓方程,這是需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的題型;例3的設(shè)計(jì)是為了加深學(xué)生對(duì)離心率刻畫橢圓“扁平”程度的理解.
[?] 教學(xué)反思
以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)為例的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)是基于教學(xué)問題分析到位、對(duì)教材充分解讀基礎(chǔ)上進(jìn)行的,不僅融入了信息技術(shù)輔助教學(xué),使用了GeoGebra動(dòng)態(tài)幾何軟件,而且也突出了以“解決問題”為中心的思想,并且通過單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),有效把握了圓錐曲線與方程相關(guān)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò),避免了知識(shí)的碎片化和教學(xué)的局部化,使得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入課堂落到實(shí)處[3].
同時(shí),在呈現(xiàn)抽象的離心率概念時(shí),教師應(yīng)注重實(shí)驗(yàn)探究的自然性和多樣性,為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),并且積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于如何領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法起著定向性和方法性的作用,從而轉(zhuǎn)變學(xué)生傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式,發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
參考文獻(xiàn):
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數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版2022年4期