朱冀星，鄧麗紅，劉雨婷

（華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013）

0 引言

全球定位系統(tǒng)（global positioning system, GPS）基準(zhǔn)站二十余年來(lái)積累的坐標(biāo)時(shí)間序列，為開(kāi)展大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)等研究提供了重要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列中的成分較復(fù)雜，包含構(gòu)造信號(hào)、周年和半周年等季節(jié)變化、階躍、噪聲等；其中GPS坐標(biāo)序列噪聲模型的辨識(shí)對(duì)于GPS站速度的準(zhǔn)確估計(jì)具有重要意義。已有的研究指出，GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列中噪聲項(xiàng)不僅有白噪聲（white noise, WN），還包含閃爍噪聲（fick noise,FN）、冪律噪聲( power law noise, PL)、隨機(jī)游走噪聲（random walk noise, RW）等有色噪聲。在實(shí)際應(yīng)用中，組合噪聲模型比起單一噪聲模型能夠更加準(zhǔn)確地表征坐標(biāo)序列中的噪聲特性。文獻(xiàn)[2]采用功率譜密度和譜指數(shù)估計(jì)的方法，分析了中國(guó)大陸地區(qū)3個(gè)GPS基準(zhǔn)站的噪聲特性，表明其具有FN+WN特性。文獻(xiàn)[3]以中國(guó)香港地區(qū)的基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列為研究對(duì)象，在通過(guò)主成分分析方法去除其共模誤差之后，發(fā)現(xiàn)顧及有色噪聲所計(jì)算的誤差較單一的WN模型大2~6倍。文獻(xiàn)[4]分析了美國(guó)加州南部及內(nèi)華達(dá)地區(qū)的連續(xù)GPS基準(zhǔn)站的噪聲模型，得出約半數(shù)測(cè)站的最優(yōu)噪聲模型為FN或者RW。在GPS基準(zhǔn)站中已得到驗(yàn)證的組合噪聲模型還包括 FN+RW+WN、PL+WN等。然而，目前基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列的最優(yōu)噪聲模型表現(xiàn)為多樣性，且已有的大部分研究?jī)H選用小區(qū)域的部分基準(zhǔn)站點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，對(duì)全球 GPS基準(zhǔn)站的特性是否仍存在上述規(guī)律，有待進(jìn)一步研究。

基于此，本文選取全球范圍內(nèi)的1 443個(gè)GPS基準(zhǔn)站，采用FN+WN、FN+RW+WN、PL+WN以及廣義高斯-馬爾科夫模型（generalised Gauss-Markov, GGM）+WN模型，對(duì)坐標(biāo)時(shí)間序列中的最優(yōu)噪聲模型及站速度參數(shù)進(jìn)行估計(jì)與分析，探討全球GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列噪聲特性及其對(duì)站速度估計(jì)的影響。

1 GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列噪聲模型及速度參數(shù)估計(jì)

1.1 GPS基準(zhǔn)站噪聲模型

GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列的噪聲特性通常表現(xiàn)為FN、PL、RW、WN及其組合模型，對(duì)于WN模型，其協(xié)方差矩陣可表示為

WN+FN+RW 模型及其協(xié)方差矩陣可表示為

WN+PL模型及其協(xié)方差矩陣可表示為

式中：為白噪聲振幅；為?的單位矩陣；為時(shí)間序列的長(zhǎng)度；為有色噪聲的振幅，為有色噪聲對(duì)應(yīng)的協(xié)方差陣矩陣。

噪聲模型估計(jì)方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者大多采用極大似然估計(jì)模型進(jìn)行參數(shù)的求解，極大似然估計(jì)采用的似然函數(shù)為

通過(guò)調(diào)整C，使式（4）中似然函數(shù)（likelihood function, lik）達(dá)到最大值，獲取對(duì)應(yīng)的似然值及協(xié)方差陣中的系數(shù)、和等參數(shù)值，從而確定最佳噪聲模型。根據(jù)極大似然估計(jì)原理，不同的噪聲模型組合將得到不同的極大似然對(duì)數(shù)值，數(shù)值越大結(jié)果越可靠。然而，極大似然估值（maximum likelihood estimation, MLE）也受到噪聲模型中未知參數(shù)的影響，當(dāng)未知參數(shù)增加時(shí)，MLE值也隨之越大進(jìn)而導(dǎo)致噪聲模型參數(shù)的有偏估計(jì)。

1.2 改進(jìn)的貝葉斯模型估計(jì)準(zhǔn)則

如何準(zhǔn)確地辨識(shí) GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列的噪聲模型參數(shù)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了相應(yīng)的最優(yōu)噪聲模型估計(jì)準(zhǔn)則。貝葉斯信息準(zhǔn)則（Bayesian information criterion, BIC）常用于噪聲模型估計(jì)，但該準(zhǔn)則易受噪聲模型自由度及時(shí)間序列長(zhǎng)度的影響，并存在過(guò)度擬合的可能?；谶@個(gè)原因，本文選用改進(jìn)BIC準(zhǔn)則（Bayesian information criterion true positives, BIC_tp）進(jìn)行噪聲模型估計(jì)可更精確的識(shí)別噪聲模型，其表達(dá)式為

式中，為模型參數(shù)個(gè)數(shù)。

1.3 GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列站速度不確定度估計(jì)

通過(guò)對(duì)長(zhǎng)周期的時(shí)間序列研究分析發(fā)現(xiàn)，純白噪聲背景假設(shè)會(huì)使得站速度估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生偏差，導(dǎo)致速度不確定度的過(guò)低估計(jì)。因此在GPS應(yīng)用于現(xiàn)代大地測(cè)量基準(zhǔn)系統(tǒng)的建立和維持、高精度地球動(dòng)力學(xué)等研究時(shí)，需要采用較為嚴(yán)格、準(zhǔn)確的噪聲模型以提高速度參數(shù)的確定精度。文獻(xiàn)[15-16]給出了有色噪聲背景下基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列進(jìn)行站速度不確定度的計(jì)算公式為

式中：Δ為數(shù)據(jù)采樣間隔；Γ為伽馬函數(shù)；為譜指數(shù)；為有色噪聲振幅。

從式（7）可以看出，GPS基準(zhǔn)站速度與噪聲模型參數(shù)密切相關(guān)，因此準(zhǔn)確辨識(shí)噪聲模型是獲取可靠站速度的關(guān)鍵。

2 GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列數(shù)據(jù)處理與噪聲估計(jì)

選取全球分布的1 443個(gè)GPS基準(zhǔn)站1992—2020年的坐標(biāo)序列為研究對(duì)象，開(kāi)展坐標(biāo)序列噪聲模型及其對(duì)站速度的影響分析。GPS基準(zhǔn)站選取考慮如下因素：1）基準(zhǔn)站全球均勻分布（站點(diǎn)分布見(jiàn)圖1）；2）長(zhǎng)周期的GPS站坐標(biāo)序列（大于10 a）有助于獲取更為準(zhǔn)確的噪聲模型估計(jì)結(jié)果，圖2給出了所選取的站點(diǎn)跨度統(tǒng)計(jì)結(jié)果；3）基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列數(shù)據(jù)缺失率較低（<10%），以削弱數(shù)據(jù)缺失的不利影響；4）基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列通過(guò)文獻(xiàn)[8]獲取。

圖1 GPS基準(zhǔn)站分布【審圖號(hào)：GS（2022）2347號(hào)】

圖2 時(shí)間跨度統(tǒng)計(jì)

為了分析全球 GPS基準(zhǔn)站噪聲模型特性，采用FN+WN、FN+RW+WN、PL+WN 、GGM+WN噪聲模型進(jìn)行優(yōu)噪聲模型特性估計(jì)，通過(guò)采用赫克托（Hector）軟件利用 BIC_tp估計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行最優(yōu)噪聲模型的確定。

3 GPS基準(zhǔn)站噪聲模型分析及其對(duì)站速度估計(jì)的影響分析

3.1 GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列噪聲模型特性分析

對(duì) GPS基準(zhǔn)站進(jìn)行最優(yōu)噪聲模型估計(jì)其統(tǒng)計(jì)得到結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 不同噪聲模型在3個(gè)方向上的測(cè)站數(shù)及占比

從表1可知，PL+WN、FN+RW+WN、FN+WN模型分別在、、方向上占比最大。此外，、、方向上分別約有3%、1%、3%站點(diǎn)的最優(yōu)噪聲模型表現(xiàn)為GGM+WN模型，表明不同坐標(biāo)分量之間的噪聲模型特性存在差異。

已有的研究指出，RW噪聲分量難于探測(cè)，文獻(xiàn)[20]指出對(duì)于振幅為0.4 mm/a量級(jí)的隨機(jī)游走噪聲，需要30 a的時(shí)間序列。從表1可知，所分析的 GPS站中約 9%~45%的坐標(biāo)分量呈現(xiàn)出FN+RW+WN噪聲模型特性，尤其在水平方向占比居多，進(jìn)一步證實(shí)了長(zhǎng)周期跨度的時(shí)間序列有助于準(zhǔn)確識(shí)別GPS坐標(biāo)時(shí)間序列中的隨機(jī)游走噪聲。為了進(jìn)一步對(duì)FN+RW+WN特性的基準(zhǔn)站空間分布特性進(jìn)行分析，圖3給出了FN+RW+WN噪聲特性站點(diǎn)的空間分布情況。

從圖3可以看出RW特性的站點(diǎn)大多分布在海岸線附近或者板塊構(gòu)造運(yùn)動(dòng)活動(dòng)區(qū)域，其潛在影響機(jī)制有待進(jìn)一步深入研究。

圖3 不同方向具有RW特性的站點(diǎn)分布【審圖號(hào)：GS（2022）2347號(hào)】

3.2 噪聲模型對(duì)GPS站速度估計(jì)的影響

文獻(xiàn)[21]指出，為了研究板塊運(yùn)動(dòng)要求速度的精度必須達(dá)到0.1~0.2 mm/a，因此，準(zhǔn)確地對(duì)GPS坐標(biāo)時(shí)間序列噪聲模型進(jìn)行估計(jì)，對(duì)高精度GPS應(yīng)用具有重要意義。為分析不同噪聲模型特性對(duì)GPS站速度估計(jì)的影響，以FN+WN模型作為參考，分別對(duì)不同噪聲模型假設(shè)下的速度估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。圖4至圖6、表2為分析結(jié)果從圖4至圖6給出的速度對(duì)比結(jié)果可知，在 FN+RW+WN和FN+WN模型下，站速度差值大于0.2 mm/a的站點(diǎn)分別在、、方向上占23.0%、26.2%、10.3%；GGM+WN和 FN+WN模型下站速度差值大于 0.2 mm/a的站點(diǎn)在、、方向上分別占3.3%、4.6%、3.8%；PL+WN和FN+WN模型下站速度差值大于0.2 mm/a的站點(diǎn)在、、方向上分別占5.8%；6.8%；2.6%。通過(guò)對(duì)圖4至圖6、表2進(jìn)行分析可知，不同模型對(duì)速度估計(jì)值的整體影響較小。但在圖4中速度差值大于 0.2 mm/a的站點(diǎn)占比明顯較多，部分站點(diǎn)的速度差值達(dá)到0.6~0.8 mm/a，這對(duì)高精度的GPS應(yīng)用來(lái)說(shuō)其影響不可忽略。對(duì)速度差值大于0.2 mm/a站點(diǎn)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)其常存在RW噪聲特性，進(jìn)一步證明準(zhǔn)確的探測(cè)RW噪聲對(duì)估算精確的GPS站速度具有重要意義。

表2 不同噪聲模型下速度差值的均值與標(biāo)準(zhǔn)差單位：mm·a-1

圖4 FN+RW+WN模型與FN+WN模型的速度差值

圖5 GGM+WN模型與FN+WN模型的速度差值

圖6 PL+WN模型與FN+WN模型的速度差值

3.3 噪聲模型對(duì)站速度不確定度的影響

不同坐標(biāo)序列跨度下站速度估計(jì)結(jié)果存在較大的差異，且準(zhǔn)確的探測(cè)RW分量需要近24 a的坐標(biāo)序列。為了分析噪聲模型對(duì)速度不確定度的影響，選取時(shí)間跨度在20~30 a的70個(gè)GPS基準(zhǔn)站進(jìn)行分析。與速度比較分析一致，選取FN+WN模型為參考不同模型的不確定度估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較分析，其比值如圖7所示。

圖7 不同噪聲模型GPS站速度不確定度比值

由圖7知，F(xiàn)N+WN與FN+RW+WN模型下的不確定度比值基本在1以下，F(xiàn)N+WN與GGM+WN模型下的比值大部分在1以上，F(xiàn)N+WN與PL+WN模型下的比值趨勢(shì)介于二者之間。由此可看出，RW 噪聲對(duì)站速度不確定度同樣有重大影響；GGM+WN模型下的站速度不確定度相對(duì)較小，表明準(zhǔn)確地識(shí)別GGM模型，對(duì)提高GPS基準(zhǔn)站速度的精度有重要意義。

表3給出了上述 3種比值在不同方向上的極值和均值。

表3 不同噪聲模型GPS站速度不確定度比值極值與均值

由表3可知：在方向上，F(xiàn)N+WN的站速度不確定度分別是FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.04~1.01、0.06~7.12、0.03~3.36倍；在方向上，F(xiàn)N+WN的站速度不確定度比值與方向結(jié)果類似，分別是 FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.04~1.02、0.07~6.65、0.03~3.47倍；在方向上，F(xiàn)N+WN的站速度不確定度分別是FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.03~1.01、0.08~8.94、0.00~3.15倍。由此可見(jiàn)，F(xiàn)N+WN與其余模型的站速度不確定度比值規(guī)律與圖7一致。但在方向上，F(xiàn)N+WN的站速度不確定度平均值分別為 FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.84、1.97、1.27倍，明顯大于方向的 0.38、1.13、0.58倍和方向的 0.36、0.95、0.63倍。由此知，不同模型對(duì)GPS基準(zhǔn)站速度不確定度均存在影響，且主要表現(xiàn)在、方向，方向上相對(duì)更小，但是不可忽略其影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用BIC_tp模型估計(jì)準(zhǔn)則對(duì)全球分布的1 443個(gè) GPS基準(zhǔn)站的坐標(biāo)時(shí)間序列進(jìn)行噪聲模型特性及其對(duì)速度估計(jì)的影響進(jìn)行分析，得出以下結(jié)論：

1）GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列噪聲模型存在多樣性，不能用單一的噪聲模型來(lái)表述，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列最優(yōu)噪聲模型中，PL+WN、FN+WN、FN+RW+WN、 GGM+WN模型分別比 39.7%、32.7%、25.3%、2.3%；此外，水平方向和豎直方向各測(cè)站的最優(yōu)噪聲模型存在較大差異。

2）噪聲模型對(duì)GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列站速度的影響相對(duì)較小，但RW分量的存在，使得速度精度不可靠。同時(shí) FN+WN與 FN+RW+WN模型下的不確定度比值基本在1以下，較FN+WN與其他模型的比值更小，說(shuō)明 FN+RW+WN模型下的站速度不確定度相對(duì)較大，RW噪聲使得速度不確定度偏大。如何對(duì)GPS基準(zhǔn)站坐標(biāo)序列的RW分量進(jìn)行準(zhǔn)確探測(cè)及分離有待進(jìn)一步研究。

3）在GGM+WN噪聲模型假設(shè)下，GPS站速度不確定度較小，即其對(duì)應(yīng)的站速度參數(shù)更準(zhǔn)確，表明準(zhǔn)確的識(shí)別GGM模型對(duì)提高GPS基準(zhǔn)站速度確定精度有重要意義。

感謝熊常亮和付杰同志在GPS數(shù)據(jù)處理、速度分析中給予的指導(dǎo)。