梁 珂，周曉敏，隋立春，劉偉東

（1.自然資源部第一大地測(cè)量隊(duì)，西安 710054；2.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，西安 710054）

0 引言

2020年6月23日，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system，BDS）正式完成組網(wǎng)，成為全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）家族中的一員。與全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）相比，BDS導(dǎo)航衛(wèi)星星座由混合星座組成，包括地球靜止軌道（geostationary Earth orbit, GEO）衛(wèi)星、傾斜地球同步軌道（inclined geosynchronous orbits, IGSO）衛(wèi)星、中圓地球軌道（medium Earth orbit, MEO）衛(wèi)星[1-3]。BDS在定位過(guò)程中，需要分析中心提供精密星歷獲取衛(wèi)星三維坐標(biāo)信息[4]。一般提供的精密星歷產(chǎn)品文件時(shí)間間隔為 15 min，但是接收機(jī)的采樣間隔時(shí)間一般為30、10 或1 s，因此，BDS在定位過(guò)程需要獲取任意時(shí)刻衛(wèi)星三維坐標(biāo)信息。獲取任意歷元 BDS衛(wèi)星三維位置成為 BDS定位過(guò)程中需解決的問(wèn)題之一[5]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究表明：插值法是獲取任意歷元BDS衛(wèi)星三維位置最簡(jiǎn)單、高效的方法之一[6]。目前對(duì) BDS精密星歷插值的數(shù)學(xué)方法主要包括：埃爾米特（Hermite）插值、三角函數(shù)插值、拉格朗日（Lagrange）插值、牛頓（Newton）插值、切比雪夫（Chebyshev）插值、三次樣條插值等。文獻(xiàn)[7]對(duì)比分析了滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)BDS精密星歷進(jìn)行內(nèi)插結(jié)果的影響，其結(jié)果表明，滑動(dòng)式 Lagrange插值效果明顯優(yōu)于非滑動(dòng)式 Lagrange插值效果，滑動(dòng)式Lagrange插值對(duì)GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星插值都能達(dá)到毫米級(jí)精度；文獻(xiàn)[8] 對(duì)比滑動(dòng)式傅里葉級(jí)數(shù)插值與9階Chebyshev插值對(duì)比分析，其結(jié)果表明，9階Chebyshev插值更適用于GEO衛(wèi)星與IGSO衛(wèi)星，而MEO衛(wèi)星使用傅里葉級(jí)數(shù)插值精度更高；文獻(xiàn)[9] 采用 Lagrange插值與Chebyshev插值對(duì)精密星歷進(jìn)行內(nèi)插對(duì)比分析，結(jié)果表明：采用一定的階數(shù)精密星歷內(nèi)插均可以達(dá)到毫米級(jí)精度，且二者插值效果接近。本文基于滑動(dòng)式 Lagrange插值和 Chebyshev插值方法，分別對(duì)BDS三種不同衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插，對(duì)比分析二者插值方法的特點(diǎn)和精度，旨在為今后BDS定位過(guò)程中獲取任意歷元衛(wèi)星三維坐標(biāo)信息提供參考。

1 插值數(shù)學(xué)模型

1.1 Lagrange插值數(shù)學(xué)模型

Lagrange插值法為：假設(shè)y=f(xi)在區(qū)間[a,b]上是個(gè)實(shí)函數(shù)，且在區(qū)間[a,b]上n+1階可導(dǎo)，那么在區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x的n階Lagrange插值多項(xiàng)式代數(shù)表達(dá)式為

式中：f(x)為插值節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值；n為插值多項(xiàng)式的階數(shù)；為插值基函數(shù)，僅與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)。

對(duì)BDS精密星歷進(jìn)行n階Lagrange內(nèi)插，在插值時(shí)選擇一個(gè)區(qū)間[t0,t1]，即可求出任意時(shí)刻衛(wèi)星在X、Y和Z方向上的坐標(biāo)分量，從而得到任意歷元衛(wèi)星的位置。任意歷元衛(wèi)星位置表示為

式中：i≠ j，（Xt、Yt、Zt）為t時(shí)刻衛(wèi)星位置三維坐標(biāo)分量；ti、tj為插值區(qū)間任意常數(shù)。

Lagrange插值方法在插值兩端易產(chǎn)生“龍格”現(xiàn)象，為進(jìn)一步提高BDS精密星歷內(nèi)插的精度，使用滑動(dòng)式Lagrange插值方法獲取任意歷元衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量，可以有效避免“龍格”現(xiàn)象的產(chǎn)生[7-8]。

滑動(dòng)式Lagrange插值方法為：在進(jìn)行Lagrange插值時(shí)，不斷改變插值區(qū)間，使待插值點(diǎn)一直保持在插值區(qū)間的中間點(diǎn)上，以此來(lái)提高插值的精度?；瑒?dòng)式 Lagrange插值可以抑制插值區(qū)間兩端插值結(jié)果的震蕩[9-10]，使插值結(jié)果精度達(dá)到最優(yōu)。對(duì)BDS精密星歷進(jìn)行n階Lagrange內(nèi)插，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，生成n-1（奇數(shù)）階插值多項(xiàng)式，若選擇12個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，可以生成11階插值多項(xiàng)式，此時(shí)求得的插值結(jié)果只保留第 4個(gè)和第 5個(gè)插值節(jié)點(diǎn)中間的插值結(jié)果；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，生成n-1（偶數(shù)）階插值多項(xiàng)式，若選擇 13個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，可以生成12階插值多項(xiàng)式，此時(shí)求得的插值結(jié)果只保留第5個(gè)和第6個(gè)、第6個(gè)和第7個(gè)插值節(jié)點(diǎn)中間的插值結(jié)果，將其他節(jié)點(diǎn)插值結(jié)果舍去。

1.2 Chebyshev插值數(shù)學(xué)模型

Chebyshev多項(xiàng)式擬合是采用函數(shù)最佳逼近的原理，根據(jù)已知節(jié)點(diǎn)生成一個(gè)函數(shù)，使其在給定點(diǎn)的函數(shù)值與該點(diǎn)函數(shù)值之間的方差和最小，且該函數(shù)是以Chebyshev多項(xiàng)式為基函數(shù)構(gòu)成的。如果在區(qū)間[t0,t0+Δt]內(nèi)的衛(wèi)星星歷使用Chebyshev多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，同時(shí)將衛(wèi)星軌道進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，對(duì)時(shí)間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其定義為

式中：t∈[?1 ,1]，t0和?t分別為開(kāi)始?xì)v元與擬合區(qū)間的長(zhǎng)度；t為區(qū)間[t0,t0 +Δt]中任意常數(shù)，此時(shí)衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量（Xt、Yt、Zt）可表示為

式中：aXi、aYi、aZi分別為相應(yīng)分量的Chebyshev多項(xiàng)式的系數(shù)；Ti(τt) 為Chebyshev多項(xiàng)式。

2 算例分析

為對(duì)比分析不同階數(shù)滑動(dòng)式 Lagrange插值與Chebyshev插值方法對(duì) BDS精密星歷的精度，本文借助武漢大學(xué)國(guó)際 GNSS服務(wù)（International GNSS Service, IGS）數(shù)據(jù)中心提供的BDS精密星歷產(chǎn)品，采用滑動(dòng)式 Lagrange插值與 Chebyshev插值方法分別對(duì) GEO衛(wèi)星、IGSO衛(wèi)星、MEO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，實(shí)驗(yàn)流程如圖1所示。圖1中：RMS（root mean square error）為均方根誤差。

圖1 實(shí)驗(yàn)流程

本次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)起始?xì)v元為2020-01-01 T 00:00:00，終止歷元為2020-01-02 T 23:30:00，為L(zhǎng)agrange插值方法和Chebyshev插值方法的區(qū)間長(zhǎng)度，以BDS精密星歷產(chǎn)品中，每30 min間隔的衛(wèi)星三維坐標(biāo)作為已知點(diǎn)，以每15 min間隔的衛(wèi)星三維坐標(biāo)作為參考值，將計(jì)算得到的內(nèi)插值與參考值進(jìn)行求差得到殘差，以殘差的均方差根結(jié)果表示插值的精度因子。本次實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中任選 PC02（GEO衛(wèi)星）、PC08（IGSO衛(wèi)星）、PC12（MEO衛(wèi)星）三顆衛(wèi)星分別進(jìn)行5階至20階滑動(dòng)式Lagrange插值和Chebyshev插值，對(duì)其結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其結(jié)果如表1至表3所示，為了更加直觀反映出插值結(jié)果，將插值結(jié)果可視化輸出，結(jié)果如圖2至圖7所示。

圖2 不同階數(shù)滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)GEO衛(wèi)星的影響

圖7 不同階數(shù)Chebyshev插值方法對(duì)MEO衛(wèi)星的影響

表1 不同階數(shù)滑動(dòng)式Lagrange插值和Chebyshev插值對(duì)GEO衛(wèi)星的影響

表3 不同階數(shù)滑動(dòng)式Lagrange插值和Chebyshev插值對(duì)MEO衛(wèi)星的影響

2.1 GEO衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插精度分析

基于滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)GEO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，由表1和圖2可以看出：5~19階滑動(dòng)式Lagrange插值對(duì)GEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標(biāo)分量均可達(dá)到毫米級(jí)精度，當(dāng)使用10階滑動(dòng)式Lagrange插值時(shí)，GEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值分別為0.92、0.84、0.52 mm；滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在5~10階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，此時(shí)Z方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，X方向坐標(biāo)分量插值精度最差；滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在11~20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低，此時(shí)Z方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，X方向坐標(biāo)分量插值精度最差。

基于Chebyshev插值方法對(duì)GEO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，由表1和圖3可以看出：5~16階Chebyshev插值對(duì)GEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標(biāo)分量均可達(dá)到毫米級(jí)精度，當(dāng)使用 9階Chebyshev插值時(shí)，GEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值分別為0.45、0.85、0.62 mm；Chebyshev插值階數(shù)在5~9階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，Chebyshev插值階數(shù)在8~10階時(shí)，GEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標(biāo)分量精度均達(dá)到亞毫米級(jí)精度，且精度相當(dāng)；Chebyshev插值階數(shù)在13~20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低，此時(shí)X方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，Z方向坐標(biāo)分量插值精度最差。對(duì)GEO衛(wèi)星而言，與Chebyshev插值方法相比滑動(dòng)式Lagrange插值方法有效避免“龍格”現(xiàn)象的產(chǎn)生。

圖3 不同階數(shù)Chebyshev插值方法對(duì)GEO衛(wèi)星的影響

2.2 IGSO衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插精度分析

基于滑動(dòng)式 Lagrange插值方法對(duì) IGSO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，由表2和圖4可以看出：8~17階滑動(dòng)式 Lagrange插值對(duì) IGSO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標(biāo)分量均可達(dá)到毫米級(jí)精度，當(dāng)使用14階滑動(dòng)式Lagrange插值時(shí)，IGSO衛(wèi)星精密星歷三維坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值分別為0.85、1.28、1.38 mm；滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在5~14階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，此時(shí)X方向坐標(biāo)分量精度最佳，Z方向坐標(biāo)分量精度最差；滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在15~20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低，此時(shí)X方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，Z方向坐標(biāo)分量插值精度最差。

表2 不同階數(shù)滑動(dòng)式Lagrange插值和Chebyshev插值對(duì)IGSO衛(wèi)星的影響

圖4 不同階數(shù)滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)IGSO衛(wèi)星的影響

基于Chebyshev插值方法對(duì)IGSO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，由表2和圖5可以看出：10~17階Chebyshev插值對(duì)IGSO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標(biāo)分量均可達(dá)到毫米級(jí)精度，當(dāng)使用 14階Chebyshev插值時(shí)，IGSO衛(wèi)星精密星歷X方向坐標(biāo)分量、Y方向坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值分別為0.79、1.30 mm，當(dāng)使用15階Chebyshev插值時(shí)，IGSO衛(wèi)星精密星歷Z方向坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值為0.62 mm，Chebyshev插值階數(shù)在5~14階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，Chebyshev插值階數(shù)在15~20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低；5~11階時(shí)，Z方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，Y方向坐標(biāo)分量插值精度最差。

圖5 不同階數(shù)Chebyshev插值方法對(duì)IGSO衛(wèi)星的影響

2.3 MEO衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插精度分析

基于滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)MEO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，由表3和圖6可以看出：9~17階滑動(dòng)式Lagrange插值對(duì)MEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標(biāo)分量均可達(dá)到毫米級(jí)精度，當(dāng)使用14階滑動(dòng)式Lagrange插值時(shí)，MEO衛(wèi)星精密星歷三維坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值分別為0.79、1.41、1.15 mm；滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在5~14階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在 15~20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度反而降低；滑動(dòng)式 Lagrange插值階數(shù)在 5~9階時(shí)，Z方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，Y方向坐標(biāo)分量插值精度最差，滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在 10~14階時(shí)，X方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，Y方向坐標(biāo)分量插值精度最差，滑動(dòng)式Lagrange插值階數(shù)在 15~20階時(shí)，Y方向坐標(biāo)分量插值精度最佳，X方向坐標(biāo)分量插值精度最差。

圖6 不同階數(shù)滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)MEO衛(wèi)星的影響

基于Chebyshev插值方法對(duì)MEO衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，由表3和圖7可以看出：11~15階Chebyshev插值對(duì)MEO衛(wèi)星精密在X、Y、Z方向坐標(biāo)分量可達(dá)到毫米級(jí)精度，當(dāng)使用 11階Chebyshev插值時(shí)，MEO衛(wèi)星精密星歷Z坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值為3.22 mm，當(dāng)使用13階Chebyshev插值時(shí)，MEO衛(wèi)星精密星歷Y坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值為 3.44 mm，當(dāng)使用14階Chebyshev插值時(shí)，MEO衛(wèi)星精密星歷Z坐標(biāo)分量精度達(dá)到最高，RMS值為 3.34 mm；Chebyshev插值階數(shù)在5~11階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度隨之提升，Chebyshev插值階數(shù)在 14~20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，插值精度降低。對(duì)MEO衛(wèi)星而言，與Chebyshev插值方法相比，滑動(dòng)式Lagrange插值方法有效避免“龍格”現(xiàn)象的產(chǎn)生。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文借助武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心提供的BDS精密星歷產(chǎn)品，基于滑動(dòng)式 Lagrange插值和Chebyshev插值方法對(duì)三種類型軌道衛(wèi)星進(jìn)行精密星歷插值分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：滑動(dòng)式Lagrange插值和Chebyshev插值方法對(duì)GEO衛(wèi)星精密星歷最佳可達(dá)到亞毫米級(jí)精度，對(duì)IGSO、MEO衛(wèi)星精密星歷最佳可達(dá)到毫米級(jí)精度，均可滿足高精度導(dǎo)航定位的需求；與Chebyshev插值方法相比，滑動(dòng)式 Lagrange插值方法有效避免“龍格”現(xiàn)象的產(chǎn)生；滑動(dòng)式Lagrange插值和Chebyshev插值方法的階數(shù)均不宜過(guò)高或過(guò)低，同一種插值方法對(duì)應(yīng)不同衛(wèi)星所達(dá)到最佳精度時(shí)階數(shù)不同，同一衛(wèi)星對(duì)應(yīng)不同的插值方法最佳精度時(shí)階數(shù)亦不相同。因此，今后在獲取任意時(shí)刻BDS精密星歷時(shí)，需針對(duì)不同衛(wèi)星采取不同插值方法不同階數(shù)以達(dá)到插值精度效果最佳的目的。