張鳳 孔德洲 梁穎

摘?要：本文通過懸鏈線和擺線的討論生動形象地引入了可分離變量微分方程的概念以及求解方法，然后借助MATLAB強大的圖形繪制功能來實現(xiàn)微分方程的可視化，讓學(xué)生獲得生動直觀的感性認(rèn)識，加深學(xué)生對抽象函數(shù)以及概念的理解，提高課堂教學(xué)的整體效果。

關(guān)鍵詞：懸鏈線;擺線;MATLAB;分離變量法

高等數(shù)學(xué)一直給學(xué)生的印象就是抽象、晦澀、難懂、掛科率高，甚至好多學(xué)生談高數(shù)色變，特別是微分方程這一章。我們知道所謂微分方程就是含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的方程，它里面蘊含了自變量、未知函數(shù)以及各階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，而我們學(xué)習(xí)的目標(biāo)就是抽絲剝繭，通過學(xué)習(xí)微分方程的解法，探求函數(shù)與自變量之間的函數(shù)關(guān)系。要讓晦澀難懂的概念變得生動形象，我們要從引入上下文章，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)來源于生活又高于生活。

1?概述

1.1?懸鏈線的討論

我們以懸鏈線為例展開討論，所謂懸鏈線就是把一個繩子自由懸掛于兩定點之間形成的曲線.日常生活中大家隨處可見像懸鏈線這樣的曲線，如雨后的蜘蛛絲、黃昏下的高壓線（圖1），跨海大橋上也能看到懸鏈線的模樣。

其實早在1690年，數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利就建立了懸鏈線所滿足的微分方程組：

dyds=sa2+s2，ys=0=a

dxds=aa2+s2，xs=0=0

其中a是由繩子本身性質(zhì)和懸掛方式?jīng)Q定的常數(shù)。

這雖然是一個微分方程組，但是對于學(xué)過積分的同學(xué)來說是小菜一碟，對兩個方程應(yīng)用直接積分法就解決了，解法如下：

dyds=sa2+s2，ys=0=a

y=∫sa2+s2ds=12∫1a2+s2d（a2+s2）

=a2+s2+C

?ys=0=aC=0

y=a2+s2dxds=aa2+s2，xs=0=0

x=∫aa2+s2ds

=aln（s+a2+s2）+C

xs=0=0C=-alna

x=aln（s+a2+s2）-alna

s=aexae-xa2y=a2+s2

s=aexae-xa2

y=aexa+e-xa2

解得懸鏈線方程為：

y=aexa+e-xa2

同學(xué)們可能對這個方程代表懸鏈線表示懷疑，那我們用MATLAB繪圖功能來畫出這個方程所表示的曲線。

1.2?用MATLAB繪制懸鏈線方程

懸鏈線的曲線方程為雙曲余弦函數(shù)，我們分別以a=1，a=2為例編寫程序，程序如下：

>>x=2.5：0.1：2.5;

>>y=0.5*（exp（x）+exp（x））;

>>plot（x，y，'r'）

>>grid?on

>>text（1.3，2，'＼＼leftarrow?a=1'，'FontSize'，14）

>>xlabel（'x'，'fontsize'，18）

>>ylabel（'y'，'fontsize'，18）

>>hold?on

>>x=2.5：0.1：2.5;

>>y=exp（0.5*x）+exp（0.5*x）;

>>plot（x，y，'k'）

>>grid?on

>>text（0，2.3，'＼＼downarrow?a=2'，'FontSize'，14）

>>xlabel（'x'，'fontsize'，18）

>>ylabel（'y'，'fontsize'，18）

這是數(shù)學(xué)的理論推導(dǎo)計算功能和MATLAB的程序設(shè)計繪圖功能的強強聯(lián)合，讓學(xué)生從中獲得生動直觀的感性認(rèn)識。

這個懸鏈線微分方程組我們應(yīng)用直接積分法就解決了，原因是它的結(jié)構(gòu)簡單，方程的左邊是導(dǎo)數(shù)，右邊是單純關(guān)于自變量的函數(shù)，井水不犯河水，但不是所有的微分方程都如此簡單，下面來看擺線方程。

1.3?擺線方程的討論

擺線是幾何學(xué)中的海倫，絕對的幾何學(xué)中的女神，在17世紀(jì)，大批卓越的數(shù)學(xué)家熱心于研究這一曲線的性質(zhì)，如伽利略、帕斯卡、笛卡爾、費爾馬、約翰·伯努利、萊布尼茲、牛頓等，每個都是學(xué)術(shù)界的大神。筆者對雅各布情有獨鐘，我們還是討論雅各布.伯努利建立的擺線微分方程：

dydx=a3b2ya3

該方程雖然看起來不難但是卻無法用直接積分法，原因很明顯，方程的右邊是關(guān)于未知函數(shù)y的函數(shù).但是通過交叉相乘方程可變?yōu)椋?/p>

b2ya3dy=a3dx

大家仔細(xì)觀察，此時等式的左邊只與y有關(guān)，而右邊是單純關(guān)于x的表達式，實現(xiàn)了變量分離，因而這個擺線方程就是可分離變量的微分方程，從而很自然地引出可分離變量微分方程的概念。

2?可分離變量微分方程

2.1?可分離變量微分方程的定義及解法

定義：通過等價變形可以寫成g（y）dy=f（x）dx形式的一階微分方程叫做可分離變量的微分方程。

解法?第一步，分離變量：

∫g（y）dy=∫f（x）dx

第二步，兩邊積分：

∫g（y）dy=∫f（x）dx，

得到：

G（y）=F（x）+C

第三步，由G（y）=F（x）+C就確定了方程的隱式通解，獲得了函數(shù)y與自變量x的隱式方程，大家知道隱函數(shù)未必可以顯化，所以大多數(shù)時候我們只能接受隱式通解。

2.2?用分離變量法求解擺線方程

由前面的討論我們知道擺線方程是可分離的，所以由：

dydx=a3b2y-a3，yx=0=a3b2

第一步，分離變量得：

b2ya3dy=a3dx

第二步，兩邊積分得：

∫b2ya3dy=∫a3dx

23b2（b2y-a3）32=xa3+C

yx=0=a3b2

根據(jù)初始條件，獲得擺線方程為：

23b2（b2y-a3）32=xa3

同學(xué)們可能又要產(chǎn)生疑慮了，這可是隱函數(shù)啊，它真的代表的是擺線嗎？其實大家不知道的是，要用MATLAB畫出二元方程所確定的一元隱函數(shù)是非常容易的。

2.3?用MATLAB繪制擺線

擺線方程是一個隱函數(shù)23b2（b2y-a3）32=xa3，我們以a=1，b=1為例繪制擺線，程序如下：

>>ezplot（'2/3*（y1）^（1.5）x'）;

>>xlabel（'x'，'fontsize'，18）

>>ylabel（'y'，'fontsize'，18）

>>title（'＼＼bf?圖2?擺線'，'FontSize'，20）

>>grid?on;

>>axis（[0，6，1，6]）

繪制的圖形如圖3所示：

3?例題

例：求一階微分方程dydx=2yx+1的解，并畫出解曲線。

分析：這是一個可分離變量的微分方程。

解：（1）求出微分方程的通解。

第一步，分離變量得：

dyy=2dxx+1

第二步，兩邊積分得：

lny=2ln（x+1）+lnC

即：

y=C（x+1）2

（2）用MATLAB繪制積分曲線族，程序如下：

>>xm=3;

>>x=xm：0.01：xm;

>>ym=2;

>>x0=xm：0.5：xm;

>>c=ym./（x0+1）.^2;

>>[C，X]=meshgrid（c，x）

>>Y=C.*（X+1）.^2;

>>figure

>>plot（x，Y，x，Y）

>>grid?on;

>>axis（[xm，xm，ym，ym]）;

>>y0=ym：0.5：ym;

>>c=y0./（xm+1）.^2;

>>[C，X]=meshgrid（c，x）

>>Y=C.*（X+1）.^2;

>>hold?on

>>plot（x，Y）

>>y=2*（x+1）.^2;

>>plot（x，y，'.'）

>>title（'微分方程的解曲線'，'FontSize'，18）

>>xlabel（'x'，'FontSize'，18）

>>ylabel（'y'，'FontSize'，18）

繪制的圖形如圖4所示：

結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)中，微分方程是難點也是重點，需要分析方程的類型，確定相應(yīng)的解法，具體求解需要扎實的積分計算能力，得到通解或者特解之后就確定了函數(shù)和自變量的直接關(guān)系，但是根據(jù)函數(shù)的解析式還是無法想象該函數(shù)所代表的曲線，這時我們借助MATLAB所擁有的可視化功能可以很方便地將一些抽象的函數(shù)尤其是隱函數(shù)形象地表示出來，給學(xué)生更直觀的講述效果，使高等數(shù)學(xué)不再晦澀難懂，MATLAB的可視化功能的輔助改變了傳統(tǒng)的粉筆加黑板的課堂教學(xué)模式，進一步加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有力工具。

參考文獻：

[1]何正風(fēng).Matlab在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[2]薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的Matlab求解[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3]董霖.Matlab使用詳解[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

基金項目：山東省自然科學(xué)基金（ZR2017MA034）;山東省重點研發(fā)計劃（2019GGX101024）

作者簡介：張鳳（1980—?），女，漢族，山東泰安人，理學(xué)碩士，山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué);梁穎（1980—?），女，漢族，山東肥城人，理學(xué)碩士，山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

*通訊作者：孔德洲（1981—?），男，漢族，山東曲阜人，理學(xué)博士，山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。