艾曉輝, 孫 陽(yáng)

(1.東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150040； 2.哈爾濱理工大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150080)

0 引 言

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[14]設(shè)H是Hilbert空間，其內(nèi)元素是非空集合E上復(fù)值函數(shù)，函數(shù)K(s,t)滿足

K:E×E→C

(s,t)K(s,t)

是Hilbert空間H的再生核，其充分必要條件為:

(1) ?t∈E,K(.,t)∈H;

(2) ?t∈E, ?φ∈H， 〈φ,K(.,t)〉=φ(t)。

一個(gè)有再生核的復(fù)值函數(shù)的Hilbert空間叫做再生核Hilbert空間。

這里條件(2)被稱(chēng)為再生性。通過(guò)條件(1)和條件(2)可得：

?(s,t)∈E×E，K(s,t)=〈K(.,t),K(.,s)〉

定義2[15]任意的再生核是正定函數(shù)。

2 帶線性漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的再生核Hilbert空間

定理2.1[16]帶線性漂移的布朗運(yùn)動(dòng)X(t)=W(t)+μt，μ∈R+,t∈[0,1]的協(xié)方差K(s,t)s,t∈[0,1]為：

K(s,t)=s∧t+μ2st

(1)

證明

K(s,t)=E[X(s)X(t)]

=E[(W(s)+μ)(W(t)+μt)]

=E[W(s)W(t)+W(s)μt+W(t)μs+μ2st]

=E[W(s)W(t)]+E[W(s)]μt+E[W(t)]μs+μ2st

=s∧t+μ2st

定理2.2[14](Mercer定理)若K(s,t)是連續(xù)正定函數(shù)，則存在特征序列fn(·)∈HR和相應(yīng)的非負(fù)特征值λn，使得：

(2)

(3)

δmn是Kronecker delta函數(shù)，有：

(4)

式中，級(jí)數(shù)在T=(a,b)上一致收斂。

以上定義的內(nèi)積為:

(5)

定理2.3帶線性漂移布朗運(yùn)動(dòng)的KL展開(kāi)為：

(6)

式中λi，i=1, 2···,n，n∈N，為式(7)所示方程的解：

(7)

證明把帶線性漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的協(xié)方差函數(shù)K(s,t)代入等式(2)，得：

(8)

整理得：

(9)

等式(9)兩邊對(duì)t求導(dǎo),得:

(10)

對(duì)等式(10)兩邊同時(shí)關(guān)于t再次求導(dǎo)，得:

-f(t)=λf″(t)

(11)

整理得

λf″(t)+f(t)=0

(12)

對(duì)式(10)求解，可得:

(13)

由式(8)給出的邊值條件，求得:

f(0)=0 時(shí),c2=0

(14)

把c2=0代入式(13),得:

(15)

把式(15)代入式(8),得：

(16)

整理得：

下面利用文獻(xiàn)[9]中 5.2.2 命題2給出帶線性漂移布朗運(yùn)動(dòng)以協(xié)方差為再生核的Hilbert空間。

定理2.4帶線性漂移布朗運(yùn)動(dòng)X(t)=W(t)+μt,μ∈R+,t∈[0,1]以協(xié)方差函數(shù)K(s,t)作為再生核的Hilbert空間為:

其內(nèi)積為：

式中:

3 Demeaned布朗運(yùn)動(dòng)的再生核Hilbert空間

(17)

下面利用文獻(xiàn)[9]中5.2.2的命題1給出Demeaned布朗運(yùn)動(dòng)以協(xié)方差為再生核的Hilbert空間。

其內(nèi)積為:

式中

(18)

(19)

其導(dǎo)數(shù)為：

(20)

(21)

4 Demeaned布朗橋的再生核Hilbert空間

(22)

證明

下面利用文獻(xiàn)[9]中給出Demeaned布朗橋以協(xié)方差為再生核的Hilbert空間。

其內(nèi)積為:

式中

(23)

(24)

其導(dǎo)數(shù)為：

(25)

(26)

4 結(jié) 論

研究了三類(lèi)與布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)的高斯過(guò)程再生核Hilbert空間。從協(xié)方差函數(shù)出發(fā)，利用Karhunen-Loève展開(kāi)理論得到特征函數(shù)作為基函數(shù)構(gòu)造再生核Hilbert空間。這項(xiàng)研究豐富了再生核Hilbert空間理論研究，可更好地理解高斯過(guò)程協(xié)方差函數(shù)與再生核Hilbert空間的聯(lián)系，為研究高斯過(guò)程協(xié)方差提供了一種新思路。這項(xiàng)研究還可以從現(xiàn)有的阿基米德數(shù)域拓展到p-adic數(shù)域展開(kāi)再生核Hilbert空間理論探索。