建模教學(xué)：從理論學(xué)習(xí)走向現(xiàn)實(shí)生活

祁璽

摘 要：身處大數(shù)據(jù)時(shí)代的我們和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系越來越密切，因此，數(shù)學(xué)教育也應(yīng)順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)實(shí)用性的了解，讓學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)技能。數(shù)學(xué)模型作為運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題的一種重要手段，是完成這一目標(biāo)的有效途徑。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要基于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的實(shí)際需求，開發(fā)多元化的建模教學(xué)，鍛煉學(xué)生敢于質(zhì)疑的精神，讓學(xué)生主動地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從課堂理論走向現(xiàn)實(shí)生活。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);建模;教學(xué)

數(shù)學(xué)建模指對實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，建立數(shù)學(xué)模型，并且對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，根據(jù)獲得的結(jié)果解決實(shí)際中的問題[1]。在過去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師雖然會訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)用題解題能力，但是很少引導(dǎo)學(xué)生有意識地從數(shù)學(xué)建模的角度理解數(shù)學(xué)知識，導(dǎo)致學(xué)生雖然掌握了數(shù)學(xué)解題方法，卻無法理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，嚴(yán)重地影響了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，可以幫助學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言解讀現(xiàn)實(shí)生活中的問題，從而在潛移默化的過程中強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展建模教學(xué)是十分重要的。高中數(shù)學(xué)教師要對當(dāng)前數(shù)學(xué)建模教學(xué)中存在的不足形成清晰的認(rèn)識，了解提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的必要性和有效原則，從實(shí)際出發(fā)構(gòu)建真實(shí)有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中掌握必要的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量。

一、挖掘教材內(nèi)容，解析數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用十分廣泛，學(xué)生在和生活接觸的過程中，可以時(shí)刻感受到數(shù)學(xué)的存在，發(fā)現(xiàn)生活中蘊(yùn)含著的豐富的數(shù)學(xué)思想[2]。從廣義的角度來講，學(xué)生對每一個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)都是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，因此，教師要對教材內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘，尋找真正有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的分析，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，逐漸養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模意識。

比如，教師在進(jìn)行“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的教學(xué)時(shí)，需要讓學(xué)生學(xué)會利用函數(shù)的知識表述生活中的各種數(shù)學(xué)規(guī)律。因此，筆者組織學(xué)生開展了專門的探索活動，讓學(xué)生對函數(shù)模型的形成過程和方法形成深刻的認(rèn)識。

首先，筆者給學(xué)生展示了一張?jiān)诰W(wǎng)絡(luò)上找到的記錄某地不同身高的男性的體重平均值的表格，上面的數(shù)據(jù)分別對應(yīng)著不同身高男性的體重。在學(xué)生對表格上的信息進(jìn)行充分的觀察之后，筆者讓學(xué)生進(jìn)行簡單的猜想，說一說能不能將這張圖表中的數(shù)據(jù)代入已經(jīng)學(xué)習(xí)過的某種函數(shù)中，用函數(shù)反映這一地區(qū)的男性體重和身高之間的關(guān)系，如果可以，需要學(xué)生找到這個(gè)函數(shù)的解析式;如果不可以，則需要學(xué)生說出原因。在提出問題之后，筆者將學(xué)生分成幾個(gè)小組，讓學(xué)生合作討論。經(jīng)過討論之后，有的小組沒有找到對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，而有的小組則整理出了y=2×1.02x的函數(shù)模型，這個(gè)小組提出他們的結(jié)論之后，筆者讓其他小組來一起對其進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生通過代入數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系式可以較好地展現(xiàn)問題當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系。在該函數(shù)模型得到全班學(xué)生的一致認(rèn)可之后，筆者再對學(xué)生說道：“這個(gè)函數(shù)式是根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得來的，是一種對大數(shù)據(jù)的應(yīng)用，可以作為我們評判一定身高的男性的正常體重的參考，大家可以試著代入自己知道的男性的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，看看會得到什么結(jié)論吧！”從而讓學(xué)生利用這個(gè)函數(shù)式來判斷某一男性的體重是否正常，更大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生將自己獲得的模型廣泛應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。

除了上述的建模引導(dǎo)外，筆者還讓學(xué)生使用建模的思想來解釋其他的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。筆者告訴學(xué)生，學(xué)校準(zhǔn)備舉辦運(yùn)動會，花樣跳繩是其中的一個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目，學(xué)校給每個(gè)班級提供了一個(gè)參賽名額，而某個(gè)班級中有兩名學(xué)生想要報(bào)名參加這個(gè)項(xiàng)目，這該怎么辦呢？聽到筆者的問題，學(xué)生都回答應(yīng)該按照兩人的實(shí)力來確定參賽的人選。于是，筆者再拿出提前準(zhǔn)備好的這兩名學(xué)生的體能測試數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)顯示在相同條件下，兩個(gè)人每分鐘的跳繩情況，班內(nèi)學(xué)生利用這些信息確定參賽人員。之后，筆者和學(xué)生一起對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計(jì)算出這兩名學(xué)生跳繩的平均數(shù)，發(fā)現(xiàn)這兩名學(xué)生每分鐘跳繩的平均數(shù)是相同的，所以無法通過這項(xiàng)數(shù)據(jù)做出決定。對此，有學(xué)生想到了可以利用標(biāo)準(zhǔn)差的知識，以此找到了建立有效數(shù)學(xué)模型的方向。

高中階段的學(xué)生正處于邏輯思維成長的黃金時(shí)期，學(xué)生上完課之后基本上可以掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，但是還無法高效地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。因此，教師應(yīng)凸顯數(shù)學(xué)建模的過程[3]，對數(shù)學(xué)模型構(gòu)造和應(yīng)用的過程進(jìn)行深入解析，從而促進(jìn)學(xué)生舉一反三，幫助學(xué)生逐漸形成良好的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

二、優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)實(shí)際應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識有著較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識從了解到科學(xué)地運(yùn)用，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。因此，教師要對學(xué)生進(jìn)行必要的訓(xùn)練，讓學(xué)生形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識得到發(fā)展。課堂提問是教師和學(xué)生進(jìn)行課堂互動的重要手段，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過課堂提問的方式，營造充滿啟發(fā)性的課堂學(xué)習(xí)氛圍，從而有效地完成對學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)。過去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)存在課堂提問質(zhì)量不理想的問題，學(xué)生很難在教師的提問下對數(shù)學(xué)知識形成深刻的認(rèn)識。對此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，認(rèn)識到提問的目的不是向?qū)W生灌輸知識，而是引起學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的思考。因此，教師要精心設(shè)計(jì)問題，啟發(fā)學(xué)生的思維，引起學(xué)生對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的重視。

比如，在教學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一節(jié)內(nèi)容的過程中，筆者在課堂上向?qū)W生提出了這樣一道問題：隨著人們生活水平的提高，私家車的普及范圍在不斷地?cái)U(kuò)大，如果我們現(xiàn)在想要買一輛價(jià)格為18萬元的汽車，除了這輛車本身的價(jià)格，每年還需要交養(yǎng)路費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)共1.3萬元;并且每年還有維修費(fèi)用，第一年需交納0.4萬元，因?yàn)槠嚨哪p會越來越嚴(yán)重，所以之后的維修費(fèi)用會每年增加0.2萬元，那么這輛汽車使用多少年最為劃算？這樣的問題對學(xué)生而言是十分有趣的，因其向?qū)W生展示了很多他們以前沒有接觸過的信息，從而極大地開拓了學(xué)生的視野，讓學(xué)生產(chǎn)生主動學(xué)習(xí)和討論的欲望。之后，筆者和學(xué)生一起分析問題，讓學(xué)生意識到要想讓這輛車使用起來最劃算，需要讓每年的平均費(fèi)用最低，從而建立相應(yīng)的等量關(guān)系。281C1894-11D8-4464-A7BE-27C7D0572966

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于向?qū)W生提出具有實(shí)際應(yīng)用背景的問題，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度感受數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，并且學(xué)會有的放矢地使用自己學(xué)到的數(shù)學(xué)建模思想，促使學(xué)生深入地感知數(shù)學(xué)模型的意義。

三、創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教育，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的之一就是促進(jìn)學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成，使學(xué)生學(xué)會從更多的角度去思考問題，感受數(shù)學(xué)的魅力。而在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，受到傳統(tǒng)教育思想的影響，教師經(jīng)常使用灌輸式的教育手段，讓學(xué)生通過記憶數(shù)學(xué)概念以及大量做題的方式學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生逐漸喪失深度思考的能力，不利于學(xué)生思維潛能的釋放。對此，在基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的教學(xué)情境，擴(kuò)展學(xué)生思維的深度和廣度，讓學(xué)生在發(fā)散思維的引導(dǎo)下形成對生活中數(shù)學(xué)問題的有意關(guān)注，在留心生活的過程中逐漸獲得數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升。

比如，在教學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一節(jié)內(nèi)容的過程中，筆者選擇了生活中常見的積分換取優(yōu)惠的情境來啟發(fā)學(xué)生的思維。筆者告訴學(xué)生：學(xué)校附近新開了一家文具店，這家店為了吸引顧客，開展了優(yōu)惠活動，如果你在這家店購買三盒筆芯，就可以憑借這三盒筆芯的票據(jù)換取一盒新的筆芯。在看到這個(gè)消息之后，有個(gè)班級的學(xué)生就想讓班長幫他們統(tǒng)一購買筆芯。組團(tuán)參與活動的學(xué)生一共有9人，再加上班長就有10人，那么他們一共可以得到多少盒筆芯？這樣的問題對學(xué)生來說是十分有趣的，并且也是學(xué)生在日常生活中會遇到的問題，因此很快引起了學(xué)生的熱烈討論。這個(gè)問題對學(xué)生來講并不困難，學(xué)生很快就建立出對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，找到了解決問題的方法。之后，為了進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維，筆者還讓學(xué)生對這個(gè)優(yōu)惠活動進(jìn)行更改，讓學(xué)生設(shè)想買一贈一的情境，如果買一盒筆芯可以得到一盒贈送的筆芯，那么可以建立起怎樣的等量關(guān)系？從而讓學(xué)生從另一種角度構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化學(xué)生的思維方式。

在上面的案例中，其問題雖然簡單，卻可以很好地起到鍛煉學(xué)生思維的作用，并且能夠有效地活躍課堂，營造良好的課堂學(xué)習(xí)氛圍，讓每一名學(xué)生都樂于參與課堂討論，使其形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

四、構(gòu)建建模環(huán)境，體驗(yàn)建模過程

數(shù)學(xué)建模能力和意識的培養(yǎng)對學(xué)生以后解決其他方面的問題也有很大的幫助，可以促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展[4]。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將數(shù)學(xué)建模教學(xué)納入日常教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生從更多的角度體會數(shù)學(xué)建模的妙用，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解。教師要積極構(gòu)建多元化的數(shù)學(xué)建模環(huán)境，為學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)造更多的機(jī)會。

首先，教師可以組建數(shù)學(xué)建模興趣小組。數(shù)學(xué)建模知識并不簡單，對學(xué)生有一定的要求，因此，教師可以通過興趣小組的方式，讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中存在的數(shù)學(xué)問題，從而在不斷的積累中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展。比如，教師在教學(xué)函數(shù)的內(nèi)容時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)知識在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用十分廣泛，適合學(xué)生展開建模學(xué)習(xí)。因此，教師可以讓感興趣的學(xué)生加入建模小組，選擇現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)據(jù)和變量關(guān)系比較明顯的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生在和同伴的交流中展示自己多樣的想法，從而逐漸增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

其次，教師要多鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的比賽，并且主動為學(xué)生創(chuàng)造相應(yīng)的學(xué)習(xí)環(huán)境。隨著素質(zhì)教育的發(fā)展，一些數(shù)學(xué)建模競賽也逐漸出現(xiàn)在我們眼前，學(xué)生參與這些比賽不僅可以鞏固對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識，而且可以通過良好的氛圍促進(jìn)自身發(fā)散性思維的形成，積累更加豐富的建模經(jīng)驗(yàn)。因此，教師要鼓勵(lì)學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的競賽，并且在必要時(shí)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際知識水平在本校創(chuàng)辦相應(yīng)的競賽，給學(xué)生提供更多展示自我的機(jī)會，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面的深度探究。

最后，教師要積極為學(xué)生挖掘多種形式的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)資源?，F(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)教師開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)所使用的教學(xué)資源主要是教材，而提升建模素養(yǎng)需要學(xué)生不斷練習(xí)和積累，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有必要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要挖掘更多形式的建模教學(xué)資源，豐富學(xué)生的建模經(jīng)歷。如今，教育正向著信息化的方向發(fā)展，教師可以利用這一趨勢，開發(fā)利用網(wǎng)絡(luò)形式的建模教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生瀏覽數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)專欄，為學(xué)生傳遞更多有價(jià)值的數(shù)學(xué)建模知識，從而拓展學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的見識。

五、轉(zhuǎn)變教師角色，深入建模本質(zhì)

現(xiàn)今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)雖然由于新課程改革的發(fā)展而得到一定的優(yōu)化，但還是存在課堂教學(xué)以教師為中心的問題，學(xué)生的主體地位仍然未能真正體現(xiàn)，給數(shù)學(xué)建模教學(xué)帶來了很大的阻礙[5]。因此，要想真正地使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)建模意識，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確認(rèn)識學(xué)生的成長需要，意識到數(shù)學(xué)建模是一個(gè)需要學(xué)生不斷進(jìn)行合作交流的過程，教師需要真正落實(shí)以學(xué)生為中心的教學(xué)模式，改變傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)思想，提升學(xué)生在教學(xué)中的參與度，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中找到適合自己的數(shù)學(xué)建模方法。

數(shù)學(xué)建模的過程是十分靈活的，沒有固定的答案，這也正是數(shù)學(xué)建模的魅力所在。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要為學(xué)生提供充足的交流機(jī)會。比如，教師可以在學(xué)生合作學(xué)習(xí)建立模型的基礎(chǔ)上，以學(xué)生隊(duì)友、對手或者裁判等各種身份參與學(xué)生的建?；顒?，讓學(xué)生感受到教師對自己的支持和尊重。只有這樣，教師創(chuàng)設(shè)的問題情境才會真正被學(xué)生接受，學(xué)生才會樂于在問題情境探究中大膽地表達(dá)自己的各種意見，抒發(fā)自己對模型的看法。此外，教師也要及時(shí)地對學(xué)生在建模過程中提出的問題進(jìn)行反饋，促使學(xué)生主動地提出各種具有個(gè)性化的想法，愿意持續(xù)不斷地提出自己的疑問。總之，突出學(xué)生的主體性以及教師的引導(dǎo)性，對于完善數(shù)學(xué)建模教學(xué)有很大的幫助，教師應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際成長需求出發(fā)，探索符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)建模教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用信息的掌握，讓學(xué)生在和諧的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍中獲得數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的不斷發(fā)展。

六、總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)將建模的思想滲入教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，時(shí)刻注重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的意識來理解數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，體會數(shù)學(xué)知識和現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系，從而幫助學(xué)生走出過去一味依賴大量做題來提高考試成績的困境，真正地掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法，發(fā)展學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有實(shí)效性，從而不斷地挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，逐漸實(shí)現(xiàn)對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。

[參考文獻(xiàn)]

翟立英.數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2019.

牛偉強(qiáng).高中生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2019.

楊慧春.數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究[D].南充：西華師范大學(xué)，2017.

童永健.高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的分析及再設(shè)計(jì)[D].上海：華東師范大學(xué)，2016.

孟振蘋.高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法與策略研究[D].新鄉(xiāng)：河南師范大學(xué)，2014.281C1894-11D8-4464-A7BE-27C7D0572966