圖形變換：解決幾何問題的“殺手锏”

文／帥建卓

“圖形變換”包括平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等，一般不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置。你嘗試過運(yùn)用“圖形變換”解題嗎？告訴你，運(yùn)用“圖形變換”，可以讓你在探究圖形問題的過程中收獲意外的驚喜。

一、“平移”——等量變換的捷徑

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像相交于點(diǎn)B（n，1）。點(diǎn)C為直線AB上方反比例函數(shù)圖像第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且△ABC的面積為9，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

圖1

【思路分析】利用點(diǎn)B確定反比例函數(shù)表達(dá)式后需要進(jìn)一步思考△ABC的面積與點(diǎn)C坐標(biāo)之間的關(guān)系。由于△ABC沒有邊與坐標(biāo)軸平行或重合，直接求三角形的面積比較困難。那么，能否考慮將其轉(zhuǎn)化為有一邊與坐標(biāo)軸平行或重合的三角形呢？答案是肯定的。將直線AB向上平移且經(jīng)過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D（如圖2），由平行線間距離處處相等得S△ABC=S△ABD=9，從而求得則直線CD表達(dá)式為再將直線CD與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組即可求點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4）。

圖2

【反思?xì)w納】我們在處理坐標(biāo)與圖形面積問題時(shí)，利用“平移”可達(dá)到“化斜為正”的目的，將不方便求解的三角形轉(zhuǎn)化為底和高易求的圖形。

二、“翻折”——線段重組的蹊徑

例2如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值是多少？

圖3

【思路分析】本題從哪里入手呢？研讀條件，我們可以發(fā)現(xiàn)：動(dòng)點(diǎn)P相對于其他定點(diǎn)顯得尤為突出，不妨從點(diǎn)P入手。那么點(diǎn)P如何運(yùn)動(dòng)呢？由于故△PAB中AB邊上的高h(yuǎn)=2，可見點(diǎn)P在距離AB上方2 個(gè)單位的直線l上運(yùn)動(dòng)（如圖4）。一般來說，探究兩條線段和最小的問題常常轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決。要想知道點(diǎn)P在何處時(shí)PA+PB最小，而PA與PB又位于直線同側(cè)，故可考慮將PA與PB兩條線轉(zhuǎn)化到直線兩側(cè)。轉(zhuǎn)化的手段是“翻折”，將PA沿直線l翻折到PE的位置，由軸對稱性質(zhì)可知PA=PE，再由兩點(diǎn)之間線段最短可知PE+PB≥BE，根據(jù)勾股定理得，即PA+PB的 最 小值為

圖4

【反思?xì)w納】“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！苯Y(jié)合圖4，我們可以將《古從軍行》中的內(nèi)容抽象為，將軍觀望烽火后從山腳A出發(fā)，再走到河邊點(diǎn)P處飲馬，最后回到B點(diǎn)宿營，求馬的最短行程。本例也是運(yùn)用“翻折”將著名的“將軍飲馬”問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的經(jīng)典案例。

三、“旋轉(zhuǎn)”——更換位置的妙法

例3如圖5，△ABC是邊長為7 的等邊三角形，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=8，求PB+PC的最小值。

圖5

【思路分析】根據(jù)例2 的分析，同學(xué)們可能會(huì)由例2 的經(jīng)驗(yàn)考慮利用“翻折”轉(zhuǎn)化。這里，點(diǎn)A可看成定點(diǎn)，而PA=8，故點(diǎn)P可看成在以A為圓心、8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，看來“翻折”方法行不通了?？刹豢梢赞D(zhuǎn)化呢？我們嘗試“旋轉(zhuǎn)”。如圖6，將△PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針“旋轉(zhuǎn)”60°，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P落在P′處，則△PBC≌△P′AC，PB=P′A，CP=CP′。因?yàn)榍『眯D(zhuǎn)了60°，所以此時(shí)△PP′C為等邊三角形，則PC=PP′，PB+PC=P′A+PP′。在△APP′中，P′A+PP′≥PA，當(dāng)A、P′、P三點(diǎn)共線時(shí)，P′A+PP′最小為8，即PB+PC的最小值為8。

圖6

【反思?xì)w納】解決線段和（差）最大（?。﹩栴}時(shí)，如果用“翻折”受阻，而有等長線段（如等腰三角形、正方形）的條件時(shí)，不妨考慮“旋轉(zhuǎn)”。

通過上面幾道例題的分析，同學(xué)們是不是發(fā)現(xiàn)：“圖形變換”能讓你在探究圖形問題的過程中收獲意外的驚喜。因此，大家在探究圖形問題時(shí)，要充分發(fā)揮想象力與創(chuàng)造力，多維度思考,多角度變換，合理構(gòu)造，一定會(huì)有更大的收獲。