耦合變分包含系統(tǒng)解的存在性

熊益英, 何家洪

(北部灣大學(xué) 理學(xué)院，廣西 欽州 535011)

0 引言

在文獻(xiàn)[1-7]中引入一類耦合變分包含系統(tǒng)問題，求解(x0,y0)∈H1×H2，使得

(1)

其中,H1,H2為實(shí)Hilbert空間，F(xiàn)1∶H1→2H1；F2∶H2→2H2為給定的非空集值映射，f1∶H1×H2→H1；f2∶H1×H2→H2為給定的非空單值映射。

該問題的求解有以下幾種特別的情形:

(a)如果H1=H2=H,η∶H×H→H,F1(x)=Δηg1(x),F2(y)=Δηg2(y),其中，Δηg1(·)和Δηg2(·)分別表示真η-次可微泛函g1∶H→∪{+∞}和g2∶H→∪{+∞}的η-次微分映射(參見文獻(xiàn)[8])，那么問題(1)變?yōu)椋呵蠼?x0,y0)∈H×H，使得

(2)

問題(2)稱為非線性似變分不等式系統(tǒng)問題。

(b)如果F1(x)=?g1(x),F2(y)=?g2(y),其中，?g1(·)和?g2(·)分別表示真凸下半連續(xù)泛函g1∶H1→∪{+∞}和g2∶H2→∪{+∞}的次微分映射，那么該問題退化為：求解(x0,y0)∈H1×H2,使得

(3)

問題(3)稱為非線性變分不等式系統(tǒng)問題。文獻(xiàn)[9-10]研究了該問題。

(4)

其中，K1,K2分別為H1,H2中的非空凸閉集。文獻(xiàn)[11-12]研究了該問題。

(e)如果H1=H2=H,f1(x,y)=-g(x,y),f2(y,x)=-g(y,x),F1(x)=G(x),F2(y)=G(y),問題(4)退化為：求解(x0,y0)∈H×H，使得

g(x0,y0)∈G(x0),g(y0,x0)∈G(y0)。

(5)

由于G為多值映射，問題(5)也稱為多值耦合重合點(diǎn)問題。特別地，如果G(x)={φ(x)}，問題(5)退化為：求解(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=φ(x0),g(y0,x0)=φ(y0)。

(6)

問題(6)也稱為耦合重合點(diǎn)問題。文獻(xiàn)[13]證明了它的解存在。如果φ是恒等映射，問題(6)退化為:存在(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=x0,g(y0,x0)=y0。

(7)

問題(7)也稱為耦合不動(dòng)點(diǎn)問題。文獻(xiàn)[14]證明了它的解存在。

本文主要研究在賦范線性空間中，問題(1)的解的存在性及其相關(guān)問題。在文獻(xiàn)[5-6]研究的問題中，集值映射要求的條件非常強(qiáng)，且并未給出實(shí)例，很難找到滿足條件的映射。因此，本文在文獻(xiàn)[5-6]的基礎(chǔ)上，將集值凸映射的條件去掉，適當(dāng)加強(qiáng)單值映射條件，利用KKM引理來(lái)研究問題(1)，改進(jìn)了文獻(xiàn)[5-6]的研究結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為賦范空間,對(duì)任意的集合A,B?X,定義αA+βB={αa+βb|a∈A,b∈B}，α,β∈和本文在集合上定義的‖·‖并非范數(shù)，而是一個(gè)記號(hào),它具有如下的性質(zhì):(i)A?B?‖B‖≤‖A‖;(ii)‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖。

注1.1 ‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立，例如:X=,A=[1,2],B=[3,4],‖A‖=1,‖B‖=3,‖A‖-‖B‖=1-3=-2。另一方面，‖A-B‖=‖[-3,-1]‖=1，因此，‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立。

定義1.1[15]設(shè)X為賦范空間,A,B?X,A與B的Hausdorff度量H(·,·)定義如下:

定義1.2[16]設(shè)X為賦范空間,{Bn}為X中的非空集合序列，稱{Bn}在Hausdorff度量下收斂于B，當(dāng)且僅當(dāng)H(Bn,B)→0。

定義1.3[17]設(shè)X是賦范空間,K和U是X中的非空凸集,f:K×K→X。如果對(duì)任意的(x,y),(x1,y1)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1)-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

則稱f是幾乎擬凸映射。

定義1.4[17]設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g，集值映射F:X→2Y,x0∈X。若對(duì)包含F(xiàn)(x0)的任一開集U,存在x0的鄰域V，使得F(V)?U,則稱F在x0處上半連續(xù)。F在每一點(diǎn)x處上半連續(xù)，則稱F為X上的上半連續(xù)映射。

定義1.5[17]設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g，集值映射F:X→2Y,x0∈X。若對(duì)任意的y∈F(x0)和對(duì)X中收斂于x0的一個(gè)網(wǎng){xn,n∈+}，存在網(wǎng){yn,n∈+}滿足對(duì)任意的n∈+，yn∈F(xn)，且{yn}收斂于y，則稱F在x0處下半連續(xù)。F在每一點(diǎn)x處下半連續(xù)，則稱F為X上的下半連續(xù)映射。

定義1.6[17]設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g,集值映射F:X→2Y。對(duì)任意的x∈X，若F在x處既上半連續(xù)又下半連續(xù)，則稱F在x處是連續(xù)的，若F在x中的任一點(diǎn)都連續(xù)，稱F在X上連續(xù)映射。

定義1.7[17]設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g，非空集值映射F:X→2Y，若對(duì)任意的x∈X，F(xiàn)(x)為閉集(凸、有界、緊等)集，則稱F為閉值(凸值、有界值、緊值等)映射。

引理1.1[18]設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g,F:X→2Y為緊值映射，那么F是連續(xù)映射，當(dāng)且僅當(dāng)F在Hausdorff度量下連續(xù)。

定理1.2 設(shè)X是賦范空間,K是X中的非空凸集,U?X,如果f:K×K→X為幾乎擬凸映射，則對(duì)任意的(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖}。

證明：由f為幾乎擬凸映射,(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

由于-u∈X,故‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+u‖≤max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}。

當(dāng)max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}=‖f(x,y)+u‖時(shí)，兩邊分別取下確界,則有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x,y)+U‖。

同理，則有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x1,y1)+U‖。因此，‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖}，故定理1.2成立。

證明：由定理1.1和定理1.2可得推論1.1成立。

2 主要結(jié)論

定理2.1 設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,fi:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,Fi:K→2X是連續(xù)、緊值映射,i=1,2，則存在(x0,y0)∈K×K，使得

證明：定義集值映射G:K×K→2K×K,對(duì)任意的(u,v)∈K×K,

G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(x,y)‖≤‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(u,v)‖}。

步驟1 對(duì)任意的(u,v)∈K×K,(u,v)∈G(u,v),故G(u,v)≠?。

步驟2 任意固定的(u,v)∈K×K,任意序列{(xn,yn)}?G(u,v),(xn,yn)→(x,y),有

‖F(xiàn)1(xn)+f1(xn,yn)‖+‖F(xiàn)2(yn)+f2(xn,yn)‖≤‖F(xiàn)1(xn)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(yn)+f2(u,v)‖。

因?yàn)镕i是連續(xù)、緊值映射,i=1,2,由引理1.1知Fi在Hausdorff度量下連續(xù)，由文獻(xiàn)[15]知

|‖F(xiàn)1(xn)+f1(xn,yn)‖-‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖|≤H(F1(xn)+f1(xn,yn),F1(x)+f1(x,y))=0。

則有‖F(xiàn)1(xn)+f1(xn,yn)‖=‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖。

同理可得

‖F(xiàn)2(yn)+f2(yn,xn)‖=‖F(xiàn)2(y)+f2(y,x)‖，

‖F(xiàn)1(xn)+f1(u,v)‖=‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖，

‖F(xiàn)2(yn)+f2(v,u)‖=‖F(xiàn)2(y)+f2(v,u)‖。

故有

‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(x,y)‖≤‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(u,v)‖。

且(x,y)∈K×K，因此(x,y)∈G(u,v)，故G(u,v)為閉集。

步驟3 由于K為X中的緊集，且對(duì)任意的(u,v)∈K×K，閉集G(u,v)?K×K，故對(duì)任意的(u,v)∈K×K,G(u,v)為緊集。

‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖>‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(ui,vi)‖。

因此當(dāng)i=1,2,…,n時(shí)，有

‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖>max{‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(ui,vi)‖}。

‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖≤max{‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖,i=1,2,…,n}，

‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F(xiàn)2(v0)+f2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n}。

故‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(vi,ui)‖}，這與假設(shè)產(chǎn)生矛盾，因此假設(shè)不成立，故G是KKM映射。

定理2.2 設(shè)X為賦范空間，K是X中的非空凸緊集,fi:K×K→2X是連續(xù)、線性映射,Fi:K→2X是連續(xù)、凸緊值映射，則存在(x0,y0)∈K×K，使得

證明：定義集值映射G:K×K→2K×K，任意(u,v)∈K×K,

G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(x,y)‖≤‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(u,v)‖}。

由定理2.1的證明步驟1至步驟3可知G為非空、閉值和緊值映射。

下面用反證法證明G是KKM映射。假設(shè)存在有限點(diǎn)集{(ui,vi)}∈K×K,i=1,2,3，…,n,

‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(u0,v0)‖>‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+g2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n。

因?yàn)閒i是線性映射，且Fi為凸值映射，i=1,2,由定理1.1有

故

這與假設(shè)產(chǎn)生了矛盾，因此假設(shè)不成立，故有G是KKM映射。

定理2.3 假設(shè)定理2.1的條件成立，對(duì)任意的(x,y)∈K×K，

0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)

成立，則存在(x0,y0)∈K×K,使得問題(1)的解存在，即存在(x0,y0)∈K×K，使得

證明：由定理2.1知，存在(x0,y0)∈K×K，使得

‖F(xiàn)1(x0)+f1(x0,y0)‖+‖F(xiàn)2(y0)+f2(x0,y0)‖=0，

即存在(x0,y0)∈K×K，使得問題(1)的解存在。

類似地，由定理2.3推知有下述定理成立。

定理2.4 假設(shè)定理2.2的條件成立，對(duì)任意的(x,y)∈K×K，

0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)成立，則存在(x0,y0)∈K×K，使得問題(1)的解存在，即存在(x0,y0)∈K×K，使得

3 耦合變分包含問題的相關(guān)問題

在這一部分，主要研究問題(1)的相關(guān)問題。應(yīng)用定理2.3得到多值耦合重合點(diǎn)定理。

定理3.1 設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,F:K→2X是連續(xù)、緊值映射,i=1,2,使得f(K,K)?F(K),則f和F有一個(gè)多值耦合重合點(diǎn)。

證明：對(duì)任意的x,y∈K,令f1(x,y)=-f(x,y),f2(y,x)=-f(y,x),F1(x)=F(x)，F(xiàn)2(y)=F(y)，那么f和F滿足定理2.3的要求，因此存在(x0,y0)∈K×K，使得

0∈F(x0)-f(x0,y0),0∈F(y0)-f(y0,x0)，那么f(x0,y0)∈F(x0),f(y0,x0)∈F(y0)，即f和F有一個(gè)多值耦合重合點(diǎn)。

推論3.1設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,g:K→X是連續(xù)映射，使得f(K,K)?g(K)，則f和g有一個(gè)耦合重合點(diǎn)。

證明：對(duì)任意的x∈K,F(x)={g(x)},運(yùn)用定理3.1，就可以得到f(x0,y0)=g(x0)，f(y0,x0)=g(y0)，即f和g有一個(gè)耦合重合點(diǎn)。

推論3.2設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)，則f有一個(gè)耦合不動(dòng)點(diǎn)。

證明：對(duì)任意的x∈K,g(x)=x,運(yùn)用推論3.1，就可以得到f(x0,y0)=x0,f(y0,x0)=y0，即f有一個(gè)耦合不動(dòng)點(diǎn)。

接下來(lái)，應(yīng)用定理2.1得到耦合最佳逼近定理。

定理3.2 設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集，f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,F:K→2X是連續(xù)、緊值映射,i=1,2,則存在(x0,y0)∈K×K,使得

證明：對(duì)任意x,y∈K×K,令f1(x,y)=-f(x,y)，f2(y,x)=-f(y,x)，F(xiàn)1(x)=x,F2(y)=y，那么f,F滿足定理2.1的要求，因此存在(x0,y0)∈K×K，使得結(jié)論成立。

推論3.3設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集，f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射，g:K→X是連續(xù)映射，則存在(x0,y0)∈K×K,使得

證明：對(duì)任意的x∈K,令F(x)={g(x)}，應(yīng)用推論3.2，則存在(x0,y0)∈K×K，使得結(jié)論成立。

推論3.4設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集，f:K×K→X為連續(xù)映射，則存在(x0,y0)∈K×K,使得

證明：對(duì)任意的x∈K，令g(x)=x，應(yīng)用推論3.3，則存在(x0,y0)∈K×K，使得結(jié)論成立。