李 巖，隨歲寒

(1．商丘工學(xué)院 教育與現(xiàn)代藝術(shù)學(xué)院，河南 商丘476000; 2．商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 商丘476000)

在機(jī)械工程中傳動(dòng)帶、帶鋸和纜索等皆可模型化為軸向運(yùn)動(dòng)梁，受到電機(jī)振動(dòng)的影響，這些軸向運(yùn)動(dòng)構(gòu)件在工作中也不可避免地發(fā)生振動(dòng)。軸向運(yùn)動(dòng)速度與這些裝備的工作效率息息相關(guān)，且軸向速度對(duì)振動(dòng)又有重要影響，過快的軸向速度會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)失穩(wěn)而對(duì)裝備造成破壞，因而有必要對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性展開研究。近年來，軸向運(yùn)動(dòng)梁振動(dòng)及其穩(wěn)定性的研究成果被大量報(bào)道。劉金建等[1]采用多尺度法和微分求積法研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Euler梁自由振動(dòng)的穩(wěn)定性。王波等[2]利用微分求積法研究軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Rayleigh梁的非線性受迫振動(dòng)。林鵬程等[3]基于Timoshenko梁理論研究了3種不同邊界條件下軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度材料梁在熱沖擊載荷作用下的自由振動(dòng)響應(yīng)。周遠(yuǎn)等[4]研究了黏彈性阻尼作用下軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的振動(dòng)特性。Lee等[5]在經(jīng)典梁理論的基礎(chǔ)上建立了傳遞矩陣方法，研究軸向拉伸載荷和移動(dòng)速度對(duì)3種不同端部條件下軸向移動(dòng)梁固有頻率的影響。Wang等[6]基于非局部應(yīng)變梯度理論，考慮兩種尺度效應(yīng)，利用Galerkin方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)納米梁的分叉和混沌。Liu等[7]對(duì)軸向加速黏彈性Timoshenko梁的參數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析和數(shù)值研究。Hao等[8]結(jié)合Timoshenko梁理論研究了帶有形狀記憶合金層合梁的軸向運(yùn)動(dòng)非線性動(dòng)力特性。Sarparast等[9]采用非局部應(yīng)變梯度Rayleigh梁模型，研究了黏彈性基礎(chǔ)上軸向小尺度運(yùn)動(dòng)梁在濕熱環(huán)境下的振動(dòng)行為和動(dòng)力穩(wěn)定性。劉慧賢等[10]基于Euler梁模型研究了中間支撐條件下軸向運(yùn)動(dòng)微梁的自由振動(dòng)問題。

需要指出的是，現(xiàn)有文獻(xiàn)多是研究基于Euler-Bernoulli梁模型[1,5,10-11]和Rayleigh梁模型[2,9,12-13]的細(xì)梁，也有部分文獻(xiàn)研究了基于Timoshenko梁模型的粗梁[3,4,7-8]，但利用三階剪切梁模型研究軸向運(yùn)動(dòng)梁振動(dòng)及其穩(wěn)定性的文獻(xiàn)鮮有報(bào)道。相對(duì)于Timoshenko梁模型，三階剪切梁模型不需要剪力修正系數(shù)，且無論細(xì)梁還是粗梁在三階剪切模型下都能獲得很好的求解精度。由于軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)中科氏加速度的存在，使得特征值難以解析求解，故諸多數(shù)值方法被用于求解該類問題，如微分求積法[2]、傳遞矩陣法[5]、Galerkin法[6]等。有限元法作為一種應(yīng)用廣泛的數(shù)值方法，擁有標(biāo)準(zhǔn)化的操作流程，推導(dǎo)系統(tǒng)有限元方程的過程中不需要導(dǎo)出系統(tǒng)控制方程，故利用有限元法分析軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)特性具備一定優(yōu)勢(shì)。目前，利用有限元法研究軸向運(yùn)動(dòng)梁的文獻(xiàn)多集中在軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁方面[12-14]。在實(shí)際應(yīng)用中，軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)往往在兩端受到支承，本研究正是針對(duì)這一應(yīng)用形式開發(fā)了對(duì)應(yīng)的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型。目前在商業(yè)計(jì)算軟件(如ANSYS、ABAQUS等)中尚無針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁類問題的專用模塊，本研究建立的通用有限元模型可同時(shí)適用于細(xì)梁和粗梁，是一種簡(jiǎn)便的建模方法。

Stylianou等[12]首創(chuàng)利用Lagrangian方程得到軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁有限元?jiǎng)恿W(xué)方程，后來用有限元法研究軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的文獻(xiàn)也多采用這一方法[13]。國(guó)內(nèi)也有學(xué)者利用Lagrangian方程得到兩端支承軸向運(yùn)動(dòng)梁的有限元方程[14]，但該研究?jī)H限于細(xì)梁。Hamilton原理[15]和虛功原理[16]常被用來建立動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的有限元方程，且虛功原理便于明確速度相關(guān)項(xiàng)的物理意義，進(jìn)而深入揭示軸向運(yùn)動(dòng)梁動(dòng)力學(xué)特性的成因。本研究從虛功原理出發(fā)，考慮三階剪切理論下的位移場(chǎng)并結(jié)合幾何方程和物理方程，經(jīng)推導(dǎo)得到了軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)的有限元方程，并探討了軸向運(yùn)動(dòng)速度的衍生項(xiàng)即離心力和科氏力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)規(guī)律的貢獻(xiàn)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

為得到軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)有限元方程，利用虛功原理表達(dá)式

δU=δW+δF，

(1)

式中：δU、δW和δF分別為系統(tǒng)勢(shì)能變分、慣性力虛功、科氏力與離心力虛功。

采用一種2節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧?，沿梁長(zhǎng)度方向?qū)⒘簞澐譃槿舾蓚€(gè)單元，單元橫向位移和截面轉(zhuǎn)角利用形函數(shù)表達(dá)[17]如下：

(2)

(3)

式中：N1和N2是拉格朗日形函數(shù)；H1～H4是Hermite形函數(shù)。

首先，利用Reddy三階梁理論的位移場(chǎng)[18]

(4)

w(x,z)=w(x)，

(5)

式中：α=4/3h2。利用式(4)、(5)并結(jié)合式(2)、(3)，得慣性力虛功

(6)

為得到應(yīng)變能變分，利用如下幾何方程：

(7)

(8)

然后，利用式(2)、(3)，將幾何方程整理成矩陣形式

(9)

式(9)可簡(jiǎn)化為

ε=[B]j5i0abt0b，

(10)

及物理方程

(11)

將方程(11)簡(jiǎn)化為

σ=[D]ε。

(12)

利用式(10)、(12)，可得應(yīng)變能變分

(13)

最后，給出科氏力和離心力虛功[19-20]：

(14)

將式(6)、(13)、(14)代入虛功原理表達(dá)式(1)，得到軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)有限元平衡方程

(15)

2 數(shù)值驗(yàn)證

將方程(15)結(jié)合兩端固支的邊界條件，可求解得到軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)的各階固有頻率。這一頻率通常為復(fù)數(shù)，虛部代表固有頻率的數(shù)值，實(shí)部用于表征系統(tǒng)穩(wěn)定性，實(shí)部為0或者為負(fù)值代表系統(tǒng)穩(wěn)定，實(shí)部為正值代表系統(tǒng)失穩(wěn)。所需材料的物理參數(shù)如表1所示。

表1 物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters

為驗(yàn)證本研究建立的有限元模型的可靠性，在軸向速度為0的條件下，分別給出3種典型細(xì)長(zhǎng)比對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)前三階固有頻率，并將其與ANSYS軟件所得結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比(表2至表4)。由表2至表4可知，從細(xì)梁到粗梁的變化過程中，前三階固有頻率的最大誤差不超過1.7%，證明所建立的有限元模型有效。

表2 本研究解與ANSYS軟件解對(duì)比(h/L=0.01)Tab.2 Solution of this study and comparison with ANSYS (h/L=0.01)

表3 本研究解與ANSYS軟件解對(duì)比(h/L=0.1)Tab.3 Solution of this study and comparison with ANSYS (h/L=0.1)

表4 本研究解與ANSYS軟件解對(duì)比(h/L=0.2)Tab.4 Solution of this study and comparison with ANSYS (h/L=0.2)

圖1至圖3分別給出了3種典型細(xì)長(zhǎng)比條件下，系統(tǒng)前三階復(fù)固有頻率隨軸向速度的變化趨勢(shì)。對(duì)比3組圖可見，固有頻率實(shí)部和虛部的變化規(guī)律類似，所不同的是特定位置的具體數(shù)值。以圖1為例，當(dāng)軸向速度增至94 m/s時(shí)，固有頻率虛部降低到0，這一速度為臨界速度。達(dá)到臨界速度后，若繼續(xù)增加速度，則固有頻率的實(shí)部開始出現(xiàn)正值，即系統(tǒng)失穩(wěn)，第一階失穩(wěn)速度為94～136 m/s。算例顯示，在軸向速度大于臨界速度后，速度的任何微小波動(dòng)都會(huì)造成系統(tǒng)固有頻率的實(shí)部在正值和負(fù)值之間跳躍。如圖1顯示，每個(gè)橢圓形包含的速度范圍都是一個(gè)失穩(wěn)速度區(qū)域，速度繼續(xù)增加，超過了這一橢圓包含區(qū)后，系統(tǒng)又表現(xiàn)出穩(wěn)定性，即兩個(gè)橢圓之間的間隙區(qū)域所對(duì)應(yīng)的速度范圍系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，這一穩(wěn)定速度為137～147 m/s。第二個(gè)橢圓包含的速度區(qū)域代表第二階固有頻率的失穩(wěn)區(qū)域，第二階失穩(wěn)速度為148～186 m/s，與第一階頻率的第二次失穩(wěn)速度范圍重合。后續(xù)經(jīng)歷較短暫的穩(wěn)定區(qū)域后，緊接著出現(xiàn)第一階固有頻率的第三次失穩(wěn)區(qū)域。對(duì)比圖1的實(shí)部和虛部可以發(fā)現(xiàn)，第二階和第三階固有振動(dòng)失穩(wěn)時(shí)，相應(yīng)階次固有頻率的虛部并不降低到0。同理，第三階固有頻率也有相應(yīng)的失穩(wěn)區(qū)域。

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)梁固有頻率實(shí)部和虛部與速度的關(guān)系(h/L=0.01)Fig.1 The relationship between natural frequencies and axial velocity (h/L=0.01)

圖2 軸向運(yùn)動(dòng)梁固有頻率實(shí)部和虛部與速度的關(guān)系(h/L=0.1)Fig.2 The relationship between natural frequencies and axial velocity(h/L=0.1)

圖3 軸向運(yùn)動(dòng)梁固有頻率實(shí)部和虛部與速度的關(guān)系(h/L=0.2)Fig.3 The relationship between natural frequencies and axial velocity (h/L=0.2)

為探究速度增加則各階固有頻率降低的根源，考察方程(15)可以發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于無軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，這一方程增加了離心力項(xiàng)和科氏力項(xiàng)，可以據(jù)此判定系統(tǒng)固有頻率降低是因?yàn)槭艿诫x心力和科氏力的共同作用。為深入揭示這兩項(xiàng)在多大程度上影響固有頻率，圖4至圖6分別給出了3種典型細(xì)長(zhǎng)比條件下，系統(tǒng)第一階復(fù)固有頻率(虛部)與軸向速度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并給出了僅考慮離心力和僅考慮科氏力這兩種條件下的對(duì)比數(shù)據(jù)?？梢?，低速運(yùn)動(dòng)時(shí)3條線比較接近，因?yàn)榇藭r(shí)離心力和科氏力都不大。當(dāng)速度較高時(shí)，僅考慮離心力的情形更接近實(shí)際，也就是說高速運(yùn)動(dòng)時(shí)離心力起主導(dǎo)作用?？剖狭κ禽S向速度和梁中面轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積，由于離心力的主導(dǎo)作用，速度較高時(shí)梁中面轉(zhuǎn)動(dòng)角速度較低，此時(shí)科氏力進(jìn)一步被削弱。

圖4 離心力和科氏力對(duì)第一階固有頻率的影響(h/L=0.01)Fig.4 The impact of centrifugal force and Coriolis force on first natural frequencies(h/L=0.01)

圖5 離心力和科氏力對(duì)第一階固有頻率的影響(h/L=0.1)Fig.5 The impact of centrifugal force and Coriolis force on first natural frequencies(h/L=0.1)

圖6 離心力和科氏力對(duì)第一階固有頻率的影響(h/L=0.2)Fig.6 The impact of centrifugal force and Coriolis force on first natural frequencies(h/L=0.2)

3 結(jié)論

本研究針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁，基于三階剪切理論和虛功原理建立了一個(gè)對(duì)細(xì)梁和粗梁通用的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型，給出了3種典型細(xì)長(zhǎng)比條件下的系統(tǒng)前三階復(fù)固有頻率，并通過與ANSYS軟件的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，證實(shí)了本模型的準(zhǔn)確性。具體結(jié)論如下：

(1) 所建立的有限元模型對(duì)細(xì)梁和粗梁都有較高的計(jì)算精度。

(2) 第一階固有頻率進(jìn)入失穩(wěn)區(qū)域的標(biāo)志是固有頻率的虛部降至0。

(3) 各階固有頻率都有特定的失穩(wěn)區(qū)域，相鄰兩階失穩(wěn)區(qū)域之間會(huì)有一段穩(wěn)定區(qū)域。

(4) 速度增加而各階固有頻率降低的原因是系統(tǒng)離心力和科氏力的共同作用，且離心力起主導(dǎo)作用。