孫進(jìn)平 劉天趣 胡衛(wèi)東

（1.北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100191；2.國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410073）

1 引言

多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷達(dá)采用多發(fā)多收天線，可以靈活配置天線方向圖、合成虛擬陣列單元。對不同的任務(wù)環(huán)境，靈活的信號處理方式可以自適應(yīng)地最優(yōu)化MIMO雷達(dá)性能，比如提高抑制雜波和干擾的能力、提高參數(shù)估計(jì)精度以及改善系統(tǒng)能量利用率等［1-2］。這些優(yōu)勢均基于理想正交波形集的假定，但實(shí)際雷達(dá)波形的時(shí)寬帶寬是受限的，只能實(shí)現(xiàn)部分正交波形集。部分正交波形集性能的重要指標(biāo)為互相關(guān)函數(shù)，其值越小，波形集的正交性就越好?；ハ嚓P(guān)函數(shù)下界確定了MIMO雷達(dá)部分正交波形集設(shè)計(jì)的邊界條件，對MIMO 雷達(dá)的應(yīng)用方向具有非常重要的理論指導(dǎo)意義［3-4］。

MIMO 雷達(dá)波形的正交性或者分集可以基于以下三種方式來實(shí)現(xiàn)：時(shí)分、頻分、碼分。時(shí)分波形雖然簡單易實(shí)現(xiàn)，但會影響雷達(dá)脈沖重復(fù)頻率范圍和探測距離范圍。頻分波形在頻域?qū)ハ嚓P(guān)干擾進(jìn)行抑制，缺點(diǎn)是需要占用更寬的頻帶，且可能產(chǎn)生相參增益損失。碼分波形來源于通信領(lǐng)域中的碼分多址（Code Division Multiple Access，CDMA）技術(shù)，在時(shí)寬、帶寬利用率上比時(shí)分波形、頻分波形高。更高的時(shí)寬和帶寬利用率意味著更高的MIMO雷達(dá)分集增益，所以上述三種波形分集方案中，碼分波形更有優(yōu)勢。又因?yàn)镸IMO雷達(dá)系統(tǒng)輸出級的功放一般工作在飽和區(qū)，恒模波形有利于工程實(shí)現(xiàn)，所以恒模相位編碼波形集是被研究最多的MIMO雷達(dá)波形集［5-6］，本文對互相關(guān)函數(shù)下界的討論也限定為針對恒模波形。

MIMO 雷達(dá)一般為脈沖雷達(dá)，與通信領(lǐng)域中的CDMA技術(shù)不同，MIMO雷達(dá)希望波形集具有盡可能低的非循環(huán)互相關(guān)函數(shù)，以獲得更高的MIMO分集增益。為此，許多研究者提出了結(jié)構(gòu)化的相位編碼波形集表達(dá)式，或者對其參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)來獲得具有更低的自相關(guān)函數(shù)旁瓣與互相關(guān)函數(shù)峰值的波形集［7-9］。除了找到具有低互相關(guān)函數(shù)的波形集，確定互相關(guān)函數(shù)峰值的下界也是一個重要的研究方向，它確定了波形設(shè)計(jì)時(shí)互相關(guān)函數(shù)指標(biāo)值的邊界條件。盡管相關(guān)理論結(jié)果最初針對的是通信應(yīng)用，但其實(shí)質(zhì)是一個信號分析的基礎(chǔ)問題。本文對已有恒模相位編碼部分正交波形集相關(guān)函數(shù)下界的研究進(jìn)行了總結(jié)，將其分為相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界、相關(guān)函數(shù)積分旁瓣下界、互相關(guān)內(nèi)積下界、互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界四大類。相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界與雷達(dá)的工程應(yīng)用密切相關(guān)，相關(guān)函數(shù)積分旁瓣下界的提出是為了衡量相關(guān)函數(shù)的整體性能，互相關(guān)內(nèi)積下界早在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中被提出，互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界的提出是服務(wù)于互補(bǔ)序列的設(shè)計(jì)。在這些下界之中，MIMO 雷達(dá)研究者最關(guān)心的是非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界，但是該下界是所有下界中最難以從數(shù)學(xué)上進(jìn)行分析的。四類下界從不同角度反映了非循環(huán)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，除了從數(shù)學(xué)上直接推導(dǎo)更緊的非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界，現(xiàn)有研究表面，四類下界之間的聯(lián)系對求解下界也可以起到一定的輔助作用。

目前，國內(nèi)外幾乎沒有研究者提出非循環(huán)互相關(guān)函數(shù)達(dá)到或接近下界的結(jié)構(gòu)化波形集，但在循環(huán)相關(guān)函數(shù)條件下，有不少研究者提出了許多性質(zhì)優(yōu)良的波形集，典型的波形集包括：Chu 序列［10］、P 序列［11］、Bj?rck 序列［12］和Kasami 序列［13］等，本文仿真表明這些波形集中有幾種波形的非循環(huán)相關(guān)函數(shù)也較低。除此之外，基于Multi-CAN［14］和BiST［15］等方法也可得到非循環(huán)相關(guān)函數(shù)較低的MIMO雷達(dá)相位編碼波形集。本文仿真結(jié)果表明，已有的相關(guān)函數(shù)下界和現(xiàn)有波形集的相關(guān)函數(shù)指標(biāo)之間還存在一定距離，說明這些下界還不是緊的，而找到更緊的界對MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)具有重要意義。

2 恒模相位編碼波形集相關(guān)函數(shù)

恒模相位編碼波形集根據(jù)其信號相位的取值集合不同可分為二相編碼、多相編碼和連續(xù)相位編碼等。無論相位碼取值如何，MIMO 雷達(dá)恒模相位碼序列都可定義為

其中M和N分別為波形數(shù)和相位碼序列長度。對于連續(xù)相位碼而言，P 即為復(fù)數(shù)域C，對于其他進(jìn)制的相位碼而言，P 都是C 的子集。對恒模復(fù)序列xm，要求|xm[n]|=1。在已有的一些相位編碼波形集相關(guān)函數(shù)下界研究中，為了便于解析分析以得到近似解，有時(shí)會將恒模約束松弛為恒能量約束，即

無論具體相位碼取值如何，相位碼相關(guān)函數(shù)都被定義為

在MIMO 雷達(dá)中，相關(guān)函數(shù)最重要的性能指標(biāo)主要包括互相關(guān)函數(shù)峰值比（Peak Cross-Correlation Ratio，PCCR）、自相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣比（Peak Autocorrelation Side-lobe Ratio，PASR）和相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣（Peak Side-lobe Level，PSL），定義為

其中ruv[k]可代表循環(huán)或者非循環(huán)相關(guān)函數(shù)，下文中，如果指標(biāo)值的上標(biāo)為P，則其針對的是循環(huán)相關(guān)函數(shù)，如果指標(biāo)值的上標(biāo)為AP，則其針對的是非循環(huán)相關(guān)函數(shù)。上述三個性能指標(biāo)越低，MIMO 雷達(dá)各發(fā)射波形之間的互相關(guān)干擾以及自相關(guān)函數(shù)旁瓣就越低。由于自相關(guān)峰值總在時(shí)延為0 時(shí)取得，所以對于恒模相位碼序列而言，|ruu[0]|2=N2恒成立，無論討論相關(guān)函數(shù)何種性能指標(biāo)，均將其作為比較的基準(zhǔn)。除了上述三個指標(biāo)之外，常用的指標(biāo)還有相關(guān)函數(shù)積分旁瓣和互相關(guān)內(nèi)積比。相關(guān)函數(shù)積分旁瓣（Integrated Side-lobe Level，ISL）定義為

互相關(guān)內(nèi)積比（Inner-Product Ratio，IPR）不考慮相關(guān)時(shí)延，所以循環(huán)或是非循環(huán)相關(guān)函數(shù)不影響該指標(biāo)值，IPR的定義為

簡言之，ISL指標(biāo)計(jì)算了相關(guān)時(shí)延不為0處的自相關(guān)函數(shù)值，以及所有互相關(guān)函數(shù)值的平方和，反映了相關(guān)函數(shù)的整體特性。PSL指標(biāo)計(jì)算了自相關(guān)函數(shù)旁瓣峰值和互相關(guān)干擾峰值的最大值，反映了相關(guān)函數(shù)的局部特性。IPR 指標(biāo)僅僅計(jì)算了相關(guān)時(shí)延為0 處的互相關(guān)函數(shù)值。PSL、ISL、IPR 等指標(biāo)值均是越小越好，但不能小于下界，最緊的下界即數(shù)學(xué)意義上的下確界，在無法確定下確界時(shí)，更緊的下界離下確界更近。

3 相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界

MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)在匹配濾波之后希望相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣越小越好，確定相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界對波形設(shè)計(jì)有重要的參考價(jià)值，Sidelnikov最初在1971年提出了一種循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界［16-17］

其中PSLP代表循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣，參數(shù)k為整數(shù)且滿足0 ≤k≤N2，p代表Sidelnikov 界針對的是多相碼序列，且其相位取值為單位復(fù)數(shù)的p次根，Sidelnikov 界相關(guān)理論參見文獻(xiàn)［18］，單位復(fù)數(shù)的p次根滿足的方程為

此時(shí)式（1）中約束相位碼取值的集合為

針對相位碼取值為單位復(fù)數(shù)p次根的相關(guān)函數(shù)研究可參見文獻(xiàn)［19-20］。

Welch 與Sidelnikov 差不多同時(shí)提出了不同的相關(guān)函數(shù)下界［21］，Welch 用組合數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)了循環(huán)、非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣的下界。Welch 界和Sidelnikov 界的大小關(guān)系在不同(M，N)參數(shù)下不同。Welch 界對任意相位碼序列均適用，而Side?lnikov 界僅適用于多相碼序列的循環(huán)相關(guān)函數(shù)。在非循環(huán)相關(guān)函數(shù)情況下，Sidelnikov 界無對應(yīng)結(jié)論，只能參考Welch界，其定義為

其中q為正整數(shù)參數(shù)，PSLP和PSLAP分別代表循環(huán)和非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣，WP(M，N)和WAP(M，N)分別代表循環(huán)和非循環(huán)情況下的Welch 界。當(dāng)q>1 時(shí)，對大多數(shù)(M，N)取值而言，上述界的值小于零，所以一般只有q=1 時(shí)的結(jié)果對波形設(shè)計(jì)有一定參考意義，即

目前循環(huán)情況下有波形在部分(M，N)值時(shí)達(dá)到了WP(M，N)，但在非循環(huán)情況下沒有波形達(dá)到下界WAP(M，N)。Sarwate 將PASR 和PCCR 分開推導(dǎo)，在Welch界的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了更一般化的結(jié)果［22-25］

將PSL=max(PASR，PCCR)代入可得到與式（12）和式（13）所示的Welch界。

依照Welch 和Sarwate 的推導(dǎo)思路，只考慮相關(guān)時(shí)延靠近0的一部分區(qū)間內(nèi)的自相關(guān)函數(shù)副瓣和互相關(guān)函數(shù)，而忽略距離相關(guān)時(shí)延為0 位置較遠(yuǎn)的相關(guān)函數(shù)，這樣得出的界被稱為Tang-Fan界［26-27］

其中Lcz約束相關(guān)時(shí)延，|k|≤Lcz，循環(huán)相關(guān)函數(shù)情況下的Tang-Fan 界是WP的推廣，當(dāng)設(shè)置Lcz=N-1時(shí)，則下界考慮了相關(guān)函數(shù)所有時(shí)延位置的值，這樣得到的結(jié)果即為Welch 界。同理用相同方法對Sarwate界進(jìn)行操作，可得到類似結(jié)果［28-30］

可以驗(yàn)證當(dāng)Lcz=N-1時(shí)上式即為Sarwate界。Tang-Fan 界和一般化的Sarwate 界在相位編碼波形集設(shè)計(jì)領(lǐng)域也有重要參考意義。例如，We-CAN 算法［14］設(shè)計(jì)的一類波形集在自相關(guān)主瓣附近時(shí)延位置的互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)較低，而其他位置的相關(guān)函數(shù)可以高一點(diǎn)，當(dāng)使用We-CAN 算法設(shè)計(jì)波形集時(shí)，Tang-Fan 界和一般化的Sarwate 界就可以作為參考。

現(xiàn)有的Welch 界、Sarwate 界等相關(guān)函數(shù)下界的推導(dǎo)均以下面的求和式為起點(diǎn)

其中Sq代表所有時(shí)延位置相關(guān)函數(shù)模的2q次方之和。但由式（3）可以直接發(fā)現(xiàn)，非循環(huán)相關(guān)函數(shù)在時(shí)延為k時(shí)的計(jì)算過程為N-k項(xiàng)求和，而循環(huán)相關(guān)函數(shù)不管k取值如何，均為N項(xiàng)求和。在Welch 界、Sarwate 界中，Sq均為直接相加，并沒有考慮到非循環(huán)相關(guān)函數(shù)在不同時(shí)延位置的相關(guān)函數(shù)的獨(dú)特性，這有可能是Welch 界和Sarwate 界在非循環(huán)情況下不夠緊的原因。Levenshtein 首次在式（18）中引入加權(quán)系數(shù)來提高非循環(huán)相關(guān)函數(shù)的Welch界［31-34］，在說明如何加權(quán)之前首先介紹非循環(huán)相關(guān)函數(shù)的另一種表達(dá)方式，即

其中xu0N-1表示在序列xu后補(bǔ)N-1 個0 之后的長度為2N-1 的序列，Ts(?)表示循環(huán)移s位。經(jīng)過加權(quán)后的式（18）為

其中，w為待定的加權(quán)系數(shù)向量，其定義及約束條件為

在限定波形為二相編碼的條件下，對求和式（20）的不等關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)可得到更緊的界，其表達(dá)式為

其中N2是作為參照的自相關(guān)峰值，Q2N-1(w，a)是一個二次型，其定義為

Levenshtein 得到的界在均勻權(quán)系數(shù)，即wi=1(2N-1)，i=0，1，…，2N-2 時(shí)就等于Welch 界。不難發(fā)現(xiàn)，權(quán)重系數(shù)影響的是不同相關(guān)時(shí)延位置的相關(guān)函數(shù)值在求和式（20）的比重，這與非循環(huán)相關(guān)函數(shù)的本質(zhì)規(guī)律有聯(lián)系。所以問題轉(zhuǎn)化為求解式（22）所示的二相編碼序列相關(guān)函數(shù)峰值下界的最大值，即求解使二次型Q2N-1(w，a)最小的權(quán)系數(shù)向量w。二次型Q2N-1(w，a)的矩陣為

求二次型最小值的問題表示為

其中T 表示轉(zhuǎn)置，Q2N-1(a)是實(shí)對稱矩陣，一定可以對角化，其特征值為

目前上述二次規(guī)劃問題沒有解析解，并不能用常規(guī)的二次規(guī)劃方法求解，具體見文獻(xiàn)［35-36］。一種簡單直接的方式是嘗試不同的權(quán)系數(shù)，據(jù)此Lev?enshtein 提出了兩種界，均在一定的(M，N)取值范圍內(nèi)比Welch 界更緊。隨后Liu Zilong等［37-38］也提出了一些新的權(quán)系數(shù)，采用了類似于正弦窗函數(shù)加權(quán)等形式，同樣在部分(M，N)范圍內(nèi)得到了更緊的Levenshtein界，這些權(quán)系數(shù)向量、對應(yīng)的Levenshtein界以及約束條件歸納于表1中。

表1中的界是通過設(shè)置不同的加權(quán)系數(shù)得到的Levenshtein 界，其前提條件為波形集是二相編碼的。事實(shí)上，Arlery等［39］證明了公式（22）所示的Levenshtein 界的表達(dá)式其對恒模多相碼序列也成立，所以表1 中結(jié)論均可推廣到多相編碼情況下。除此之外，Arlery 所提下界還考慮了非循環(huán)相關(guān)函數(shù)在一些特定相關(guān)時(shí)延位置的特性，即

表1 Levenshtein界與其對應(yīng)權(quán)系數(shù)向量Tab.1 Levenshtein bounds and their weight vectors

上述特性利用了如下性質(zhì)：當(dāng)非循環(huán)相關(guān)函數(shù)時(shí)延為N-1 時(shí)，函數(shù)值一定為兩個模為1 的復(fù)數(shù)的乘積，所以其模為1，當(dāng)非循環(huán)相關(guān)函數(shù)時(shí)延為N-d時(shí)，函數(shù)值一定為d個模為1 的復(fù)數(shù)的積的和，所以一定小于等于d。在推導(dǎo)Levenshein 界的中間過程增加式（27）和（28）所示的條件，可以得到一個受參數(shù)D控制的結(jié)果

其中D為d的最大值，意味著只考慮時(shí)延為N-D到N-1的項(xiàng)，Ad和的詳細(xì)定義參見文獻(xiàn)［39-40］。

4 相關(guān)函數(shù)積分旁瓣下界

雖然已有很多非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界的結(jié)論，但目前優(yōu)化相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣較困難，所以現(xiàn)有的幾種性能最優(yōu)越的波形設(shè)計(jì)算法優(yōu)化的是相關(guān)函數(shù)的積分旁瓣，為了衡量它們的優(yōu)化效果，相關(guān)函數(shù)積分旁瓣下界也被提出。最初Sarwate推導(dǎo)了相關(guān)函數(shù)積分旁瓣的下界［41］，無論是非循環(huán)還是循環(huán)相關(guān)函數(shù)，積分旁瓣的下界均為

其中BISL為積分旁瓣下界，文獻(xiàn)［42］用另一方法得到了相同結(jié)果。目前在循環(huán)、非循環(huán)情況下均有波形幾乎達(dá)到該下界，所以該下界被認(rèn)為是緊的。除了考慮整體的積分旁瓣，Sarwate 還推導(dǎo)了更一般的相關(guān)函數(shù)求和式的不等關(guān)系［41］

若將上式中波形集（或稱為序列集）任意兩個序列的不等關(guān)系相加，即可得與式（30）相同的結(jié)果。

不同于相關(guān)函數(shù)積分旁瓣ISL 的定義，另一種類似的指標(biāo)相關(guān)函數(shù)整體平方和（Total Squared Correlation，TSC）的定義為

其中TSCP和TSCAP分別表示循環(huán)和非循環(huán)情況下的TSC求和式。

5 互相關(guān)內(nèi)積下界

互相關(guān)內(nèi)積下界原本就是一個數(shù)學(xué)問題，它的理論結(jié)果對分析相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)有一定意義，可以作為其他類下界研究的基礎(chǔ)。互相關(guān)內(nèi)積不考慮相關(guān)時(shí)延，相當(dāng)于只關(guān)心ruv[0]的大小，其對積分旁瓣、峰值旁瓣的大小有一定參考意義。Welch 也用類似于推導(dǎo)WP和WAP的方式推導(dǎo)了互相關(guān)內(nèi)積下界［21］，表達(dá)式為

其中WI表示W(wǎng)elch 互相關(guān)內(nèi)積下界，當(dāng)M≤N時(shí)WI=0。當(dāng)q=1時(shí)

不難發(fā)現(xiàn)，將式（36）中的M替換為乘積MN，則可得到式（12）所示的WP，這是因?yàn)樗鼈兌际歉鶕?jù)離散數(shù)學(xué)的相關(guān)理論推導(dǎo)得出的［21］。因此，雖然互相關(guān)內(nèi)積下界不直接影響MIMO 雷達(dá)波形集設(shè)計(jì)，但互相關(guān)內(nèi)積下界的研究對相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界的研究有參考意義。

文獻(xiàn)［47］中提及了一種互相關(guān)內(nèi)積下界，被稱為指數(shù)界（Exponential bound），在約束條件為M>2N-1的情況下為

文獻(xiàn)［48-49］中介紹并定義了另一種互相關(guān)內(nèi)積下界，當(dāng)M>N2時(shí)，表達(dá)式為

其推導(dǎo)過程與式（22）所示的Levenshtein非循環(huán)互相關(guān)峰值界類似。由于對M與N的限制條件，式（37）和式（38）所示下界對MIMO 雷達(dá)波形集無實(shí)際意義。

6 互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界

互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界的提出是為互補(bǔ)序列的應(yīng)用服務(wù)的，互補(bǔ)序列最早由Golay 提出，Golay提出的互補(bǔ)序列包含兩個碼組，每個碼組中的兩個序列分別通過匹配濾波器接收，最后求和［50］?；谶@種處理方式可以使得兩個碼組之間具有理想的互相關(guān)函數(shù)，互補(bǔ)序列隨后被推廣到更一般的多個碼組的情況［51-53］。類似于上述相位碼序列，對有M組互補(bǔ)序列組的波形集而言，每個互補(bǔ)碼組由L個碼長為N的相位碼序列組成。互補(bǔ)序列的相關(guān)函數(shù)定義為

用改進(jìn)WAP的相同的方法，文獻(xiàn)［54-57］推導(dǎo)了更緊的互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界

上述互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界均源自于Welch［21］和Levenshtein［34］對普通相位編碼序列相關(guān)函數(shù)的推導(dǎo)。除此之外，文獻(xiàn)［58］借鑒了Tang-Fan 界的思路，推導(dǎo)了互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)在指定時(shí)延范圍內(nèi)的下界?；パa(bǔ)序列的相關(guān)函數(shù)下界的結(jié)果大多可以從相位編碼序列的結(jié)果推廣而來，事實(shí)上相位編碼序列集可視為L=1 情況下的互補(bǔ)序列集?；パa(bǔ)序列有更多的自由度，所以推導(dǎo)互補(bǔ)序列的下界也有更多的可能性，文獻(xiàn)［59］給出了一種頻域方法來優(yōu)化權(quán)重系數(shù)向量w，得到了更緊的互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界

其中M的約束條件為

7 相關(guān)函數(shù)下界之間的聯(lián)系

從上述相關(guān)函數(shù)下界的結(jié)果中不難發(fā)現(xiàn)，其中很多結(jié)果有一定的聯(lián)系。Welch 界在循環(huán)與非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界、互相關(guān)內(nèi)積下界、互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界中均有結(jié)論，根據(jù)式（10）和式（35）可知，Welch所得循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界WP與互相關(guān)內(nèi)積下界WI有如下聯(lián)系

同理，非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界WAP、互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界與WAP存在如下聯(lián)系

這些下界之間的相互關(guān)系是基于Welch 的理論得出的，它們均來源于式（18）中的求和式及其不等關(guān)系?；谶@種數(shù)學(xué)上的聯(lián)系，對于某一類不夠緊的界而言，可以根據(jù)(M，N)的參數(shù)變換來改進(jìn)。例如，Soltanalian等［60］就通過比Welch 界更高的互相關(guān)內(nèi)積界、式（45）～式（47）所示的Welch 界之間的聯(lián)系給出了更緊的非循環(huán)互相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界。除了Welch 界自身之間的聯(lián)系，式（22）所示的Levenshtein 非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界(w，M，N)與Welch界也有聯(lián)系，即

上述相關(guān)函數(shù)下界之間的關(guān)系從不同角度反映了相關(guān)函數(shù)的特性，相關(guān)函數(shù)是一個非線性的非初等函數(shù)，其中非循環(huán)相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)最不好，但其峰值旁瓣下界恰恰是MIMO雷達(dá)關(guān)心的指標(biāo)。而循環(huán)相關(guān)函數(shù)、互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)以及互相關(guān)內(nèi)積的性質(zhì)與其有一定相似性，所以在求解非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界時(shí)，上述下界之間的關(guān)系有可能起到輔助作用。

8 相位編碼波形集相關(guān)函數(shù)下界數(shù)值仿真

現(xiàn)有的研究結(jié)果表明，循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界、積分旁瓣下界、互相關(guān)內(nèi)積下界和互補(bǔ)序列相關(guān)函數(shù)下界是緊的，即存在序列達(dá)到下界。而對MIMO 雷達(dá)正交波形集設(shè)計(jì)及應(yīng)用最重要的非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界卻不是緊的。所以本節(jié)主要仿真了不同波形數(shù)和相位碼序列長度下的非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界，并將現(xiàn)有的非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣較低的波形集與下界進(jìn)行了對比。

圖1為M=2 時(shí)相位編碼波形集非循環(huán)相關(guān)函數(shù)下界與現(xiàn)有相位編碼波形集的對比。圖1中圓圈表示Chu序列［10］的PSLAP指標(biāo)值，由于Chu序列只在碼長N為質(zhì)數(shù)時(shí)存在，按照其表達(dá)式能產(chǎn)生M=N-1 個互相關(guān)函數(shù)性能優(yōu)良的序列，而在其他(M，N)參數(shù)情況下沒有解，所以本文從原始Chu 序列集中優(yōu)選相應(yīng)數(shù)量的碼序列得到了圖1 的結(jié)果，其中N=(17，31，61，127，509，743，1031)。圖1 中Multi-CAN 算法［14］設(shè)計(jì)得到的波形集碼長為N=（16，80，144，208，272，336，400，464，528，592，656，720，784，848，912，976，1040）。BiST 算法［15］的參數(shù)設(shè)置與Multi-CAN 相同。圖1 中菱形表示文獻(xiàn)［34］中的Levenshtein 界，星形表示文獻(xiàn)［37］中的Leven?shtein 界。上述界的值均隨N單調(diào)遞減。從圖1 的結(jié)果可以看出在M=2 時(shí)，Welch 界比Levenshtein界更緊，現(xiàn)有的性能較好的相位編碼波形集PSLAP指標(biāo)值也比下界至少高5 dB。

圖2與圖3分別為M=4和M=16情況下的結(jié)果，其參數(shù)(M，N)設(shè)置與圖1完全相同。與圖1的Chu序列相似，圖2和圖3中Bj?rck序列［12］的PSLAP指標(biāo)值也是通過從原始Bj?rck序列集中優(yōu)選出M個序列得到的。與圖1對比可知，M=4時(shí)Levenshtein界和Welch界接近，M=16時(shí)Levenshtein界更緊。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，無論是M取值多少，最優(yōu)相位編碼波形集的PSLAP指標(biāo)值均遠(yuǎn)高于下界，總體而言M越大、N越大，差值就越大。在M=16，N=1040時(shí)，最優(yōu)的PSLAP指標(biāo)值比下界高了差不多10 dB。

為了仿真波形數(shù)M對不同相位碼序列和下界的影響，固定相位碼序列長度N=61 不變，波形數(shù)設(shè)置為M=(2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16)，計(jì)算下界和不同相位碼的PSLAP指標(biāo)值。仿真結(jié)果如圖4 所示，波形數(shù)M越大，下界越高。同時(shí)，現(xiàn)有相位碼序列PSLAP指標(biāo)值在不同波形數(shù)下均離下界有較大距離。

除了波形數(shù)M和相位碼序列長度N，相位編碼進(jìn)制K對相位碼的PSLAP指標(biāo)值也有影響。本文使用BiST 算法在不同相位編碼進(jìn)制K情況下設(shè)計(jì)了相位碼序列，參數(shù)取值為K=(2，4，8，16，32，64)以及(M，N)=(4，61)。仿真結(jié)果如圖5 所示，其中五角星代表BiST 算法設(shè)計(jì)的不同K值的相位碼序列。結(jié)果表明，隨著K變大，相位碼序列的PSLAP指標(biāo)值不斷變小。雖然四相碼的PSLAP指標(biāo)值比二相碼低很多，但更高編碼進(jìn)制的相位碼的PSLAP指標(biāo)值基本不變，它們?nèi)匀痪嚯x下界較遠(yuǎn)。

從圖1 到圖5 的結(jié)果可知，不同類型下界在特定的參數(shù)范圍下更緊，但沒有一種下界在本文仿真的參數(shù)范圍內(nèi)可以和現(xiàn)有序列接近。所以無論是找到更緊的下界，還是找到相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣更低的波形集都是亟待解決的問題。一方面可以對相位編碼波形集本身展開深入研究，例如CAZAC序列受限于碼長為質(zhì)數(shù)，如果能夠進(jìn)一步研究將CAZAC序列拓展到非循環(huán)、任意碼長的情況下，也許可以找到非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣更低的波形集。另一方面，可以更深入地分析相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣的性質(zhì)，例如Levenshtein 下界推導(dǎo)中的二次型涉及的Toeplitz矩陣［36］就與相關(guān)函數(shù)的本質(zhì)特性有關(guān)系，未來該矩陣的研究結(jié)論有可能對尋找更緊的下界或設(shè)計(jì)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣更低的波形集有幫助。除此之外，從仿真結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，Soltanalian 下界在所有參數(shù)下均比Welch界更緊或者相當(dāng)。利用這種思路，當(dāng)其他類型的下界理論有所突破時(shí)，可以利用不同類型下界之間的關(guān)系來改進(jìn)當(dāng)前的非循環(huán)峰值旁瓣下界。

9 結(jié)論

MIMO 雷達(dá)利用其波形自由度高的特點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)雷達(dá)探測性能的提升，如何快速有效進(jìn)行波形設(shè)計(jì)是MIMO 雷達(dá)的一個重點(diǎn)研究方向。MIMO 雷達(dá)波形相位編碼波形集相關(guān)函數(shù)下界研究是波形設(shè)計(jì)的一個邊界條件，對波形集設(shè)計(jì)有一定輔助作用。此外，非循環(huán)相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界可以確定MIMO 雷達(dá)探測性能的極限，對MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)也有重要的指導(dǎo)意義。

迄今為止，恒模相位編碼波形集相關(guān)函數(shù)性能指標(biāo)下界的研究主要包括相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣下界、相關(guān)函數(shù)積分旁瓣下界、互相關(guān)內(nèi)積下界以及互補(bǔ)序列互相關(guān)函數(shù)下界，目前的下界結(jié)論大部分都源自于Welch和Levenshtein的理論。本文的仿真結(jié)果表明，目前的下界都不夠緊，尤其在波形數(shù)較多、碼長較長時(shí)，即使在下界與波形集相差最小的參數(shù)下，下界也比最優(yōu)的波形集低5 dB。

從數(shù)學(xué)角度上看，下界的研究仍然是一個困難問題，Welch 和Levenshtein 的下界不夠緊的原因是它們使用的是松弛后的恒模約束條件，如何將嚴(yán)格的恒模約束條件與現(xiàn)有的理論相結(jié)合是一個可能的研究方向。除了直接從數(shù)學(xué)上解決該問題，MIMO 雷達(dá)波形集設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)化正交波形集的數(shù)學(xué)構(gòu)造方面的研究也很多，未來如果可以將波形設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)化波形集的構(gòu)造、下界研究這三者的理論有機(jī)結(jié)合，或許能發(fā)現(xiàn)更緊的下界。