戚立輝

(江蘇省興化中學(xué)，225700)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“高中數(shù)學(xué)課程體現(xiàn)社會(huì)發(fā)展的需求、數(shù)學(xué)學(xué)科的特征和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．……強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系,提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力,同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透．”并要求“不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值．”這使得高考數(shù)學(xué)試題由單純地對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查演變?yōu)閷?duì)在各種情境下數(shù)學(xué)閱讀的考查.本文結(jié)合幾道高考試題,對(duì)此進(jìn)行思考．

一、數(shù)學(xué)閱讀與建筑情境相結(jié)合

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)若多面體滿足:頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明:這類多面體的總曲率是常數(shù).

解(1)由題可知:四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和.可以從整個(gè)多面體的角度考慮,所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.易知四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn),5個(gè)面,其中4個(gè)為三角形,1個(gè)為四邊形.所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形,1個(gè)為四邊形組成,則其總曲率為2π×5-(4π+2π)=4π.

(2)設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為n，l，m,所以有n-l+m=2.設(shè)第i個(gè)面的棱數(shù)為xi,所以x1+x2+…+xm=2l.因而總曲率為2πn-π[(x1-2)+(x2-2)+…+(xm-2)]=2πn-π(2l-2m)=2π(n-l+m)=4π.故這類多面體的總曲率是常數(shù).

評(píng)注本題考查立體幾何的新定義問題,能夠正確讀懂“曲率”的概念是解決問題的關(guān)鍵.同時(shí)也讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題之余體會(huì)現(xiàn)代建筑之美,感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值.

例2攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖,清代稱攢尖.依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖.也有單檐和重檐之分.多見于亭閣式建筑,園林建筑.以八角攢尖為例(如圖2),它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正八棱錐,若此正八棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為α,則側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為( )

評(píng)注本題以中國(guó)古典建筑為問題情境,考查了數(shù)學(xué)閱讀的能力,以及空間問題角的實(shí)際運(yùn)用,考查空間想象能力．

二、數(shù)學(xué)閱讀與中外數(shù)學(xué)史情境相結(jié)合

例3我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí),提出了一個(gè)原理(祖暅原理):“冪勢(shì)既同,則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積,“勢(shì)”指高.這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體體積相等.利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差.圖4是一種“四腳帳篷”的示意圖,其中曲線AOC和BOD均是以1為半徑的半圓,平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD.用任意平行于帳篷底面ABCD的平面截帳篷,所得截面四邊形均為正方形.模仿上述半球的體積計(jì)算方法,可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱,從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐(如圖5),從而求得該帳篷的體積為( )

評(píng)注本題以課本閱讀部分的中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家祖暅提出的“祖暅原理”為問題情境,考查空間幾何體的體積,以及空間想象能力,激發(fā)考生的民族自豪感.

例4康威圓定理是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·康威引以為傲的研究成果之一.定理的內(nèi)容是這樣的:如圖6,?ABC的三條邊長(zhǎng)分別為BC=a,AC=b,AB=c.延長(zhǎng)線段CA至點(diǎn)A1,使得AA1=a,以此類推得到點(diǎn)A2,B1,B2,C1和C2,那么這六個(gè)點(diǎn)共圓,這個(gè)圓稱為康威圓.已知a=4,b=3,c=5,則由?ABC生成的康威圓的半徑為______.

解法2以C為原點(diǎn),CA所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,建立如圖7所示的平面直角坐標(biāo)系,則A1(7, 0),B1(0, 7),C1(0,-5),C1(-5, 0).

設(shè)康威圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把A1(7, 0),B1(0, 7),C1(0,-5)代入圓的方程,得

評(píng)注本題以“康威圓定理”為情境考查直線與圓的相關(guān)知識(shí),考生既可以用平面幾何知識(shí)解題,也可以用解析幾何的知識(shí)求解,并且要求考生在進(jìn)行認(rèn)真、仔細(xì)的數(shù)學(xué)閱讀后需要抓住問題的本質(zhì)才能夠解決問題.

三、數(shù)學(xué)閱讀與現(xiàn)代科學(xué)情境相結(jié)合

例5新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)疫情爆發(fā)以來,中國(guó)人民萬眾一心,取得了抗疫斗爭(zhēng)的初步勝利.面對(duì)秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險(xiǎn),某地防疫防控部門決定進(jìn)行全面入戶排查,過程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎密切接觸者,按要求進(jìn)一步對(duì)該5名成員逐一進(jìn)行核酸檢測(cè).若任一成員出現(xiàn)陽性,則該家庭定義為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性相互獨(dú)立,且概率均為p(0

評(píng)注本題以新冠疫情的核酸檢測(cè)為數(shù)學(xué)閱讀情境,了解核酸檢測(cè)的原理,感受疫情防控的刻不容緩和工作人員的辛苦,體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值.

四、數(shù)學(xué)閱讀與其他學(xué)科情境相結(jié)合

例6 將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為θ,δ為此時(shí)太陽直射緯度(當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年取負(fù)值),φ為該地的緯度值,如圖8.已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間,即δ∈[-23°26′,23°26′].北京天安門廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米,北京天安門廣場(chǎng)的緯度為北緯39°54′27″,若某天的正午時(shí)刻,測(cè)得華表的影長(zhǎng)恰好為9.57米,則該天的太陽直射緯度為( )

(A)北緯5°5′27″ (B)南緯5°5′27″

(C)北緯5°5′33″ (D)南緯5°5′33″

解由題意可知,天安門廣場(chǎng)的太陽高度角θ=90°-(39°54′27″-δ)=50°5′33″+δ,由華表的高和影長(zhǎng)相等可知θ=45°,所以δ=45°-50°5′33″=-5°5′33″.所以該天太陽直射緯度為南緯5°5′33″,故選D.

評(píng)注在許多考生的印象中地理偏向于文科學(xué)科,本題就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在地理學(xué)科中的應(yīng)用,考查考生的空間想象能力和數(shù)學(xué)理解能力.

國(guó)家提出以真情實(shí)景落實(shí)“五育并舉”、以理性思維踐行“立德樹人”的命題指導(dǎo)思想,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力提出了極高的要求．原江蘇卷閱讀量約1 200字,新高考Ⅰ卷的閱讀量約1 900字,閱讀量顯著增大．新教材無論是蘇教版還是人教版都增加了大量的數(shù)學(xué)閱讀材料,是實(shí)施數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的非常重要的教學(xué)資源,所以在平常的教學(xué)中，要注重滲透數(shù)學(xué)閱讀的教學(xué),切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力,將情境轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．