趙 憶

(1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225000；2.江蘇省丹陽市第五中學(xué)，212300)

一、問題陳述

北京卷、天津卷、上海卷的三道題都可以采用通項(xiàng)方法求解,但是對于浙江卷,由于多項(xiàng)式是(x-1)3，(x+1)4的和,套用通項(xiàng)公式就顯得復(fù)雜,具體體現(xiàn)在以下幾個方面.

從上述例子可以看出，機(jī)械地套用公式會將簡單問題復(fù)雜化,同時還需要防止丟項(xiàng)、漏項(xiàng)及多個字母的混用等問題．

二、方法溯源

如何從根本上解決學(xué)生的困惑呢?需回歸二項(xiàng)式定理的基本內(nèi)容:

表1

這里,表格的使用克服了組合計(jì)數(shù)推導(dǎo)法書寫繁瑣、耗時長的缺點(diǎn),使得抽象的組合計(jì)數(shù)推導(dǎo)法變得更加具體、清晰,且易于推廣．

三、應(yīng)用舉例

例1求(3+2x)7展開式中x3的系數(shù).

解兩項(xiàng)和的展開,第一項(xiàng)為3,第二項(xiàng)為2x,求x3的系數(shù),具體選取過程見表2表示.

表2

評析對于這種標(biāo)準(zhǔn)的二項(xiàng)式展開系數(shù)問題,通項(xiàng)公式法與組合推導(dǎo)表格法相比,雖然在解題繁簡上沒有明顯區(qū)別,但是表格使得思維過程一目了然．

例2求(1+2x)3(1-x)4展開式中x3系數(shù)．

解兩因式(1+2x)3,(1-x)4乘積,考慮x3的系數(shù),x分別來自于兩個因式,冪指數(shù)之和等于3即可,具體選取過程見表3.

表3

評析對于求(a+b)n(c+d)m兩個因式乘積展開式中特定項(xiàng)的系數(shù),通項(xiàng)公式法需對每個因式進(jìn)行展開后再組合通項(xiàng)公式,再討論求和,易導(dǎo)致缺項(xiàng)、漏項(xiàng)．采用表格,則每個構(gòu)成項(xiàng)的系數(shù)都直接的展現(xiàn)出來,一目了然,具有一定的規(guī)律性,檢查起來也更加方便．

例3求(x2+3x+4)4的展開式中x2的系數(shù)．

表4

評析對于求(a+b+c)n三項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù),通項(xiàng)公式法需將三項(xiàng)看成兩項(xiàng)進(jìn)行展開,并對其中兩項(xiàng)部分再次展開,再討論求和.該方法不僅繁瑣，還夾雜著二元一次方程的求解,易導(dǎo)致缺項(xiàng)、漏項(xiàng)和字母的混亂．采用表格,則每個構(gòu)成項(xiàng)的系數(shù)都直接展現(xiàn)出來,具有一定的規(guī)律性,可有效避免復(fù)雜的求通項(xiàng)的過程,解題步驟更加簡明．

面對機(jī)械運(yùn)用公式求解二項(xiàng)式定理展開式系數(shù)問題出現(xiàn)的解題困境,依據(jù)課標(biāo)要求,回顧二項(xiàng)式定理推導(dǎo)過程給出組合計(jì)數(shù)推導(dǎo)法,并創(chuàng)造性地以表格的形式呈現(xiàn)出組合計(jì)數(shù)推導(dǎo)法,使得學(xué)生理解和書寫起來更加直觀具體,簡單易懂．基于牛頓二項(xiàng)定理的組合推導(dǎo)表格法在知識層面上層層遞進(jìn),在思想層面上循序漸進(jìn),在數(shù)學(xué)方法上由抽象到具體,彰顯了數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的魅力,同時又展示了數(shù)學(xué)對簡潔性的追求．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出，“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本……同時注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透．”教師更應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)文化的作用,結(jié)合學(xué)生的主體性地位,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程,結(jié)合數(shù)學(xué)史,尋找數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的歷史淵源,再現(xiàn)人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程,讓數(shù)學(xué)文化服務(wù)于數(shù)學(xué)課堂．