趙淑君 農(nóng)林舒真 黃曉文 寇俊克*

（桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院,廣西 桂林541004）

在實際應用中,獲取的信號通常含有噪聲。這一現(xiàn)象的產(chǎn)生一方面是由于采集信號數(shù)據(jù)時容易受到外部雜音的影響,使得信號數(shù)據(jù)含有噪聲。另一方面原因在于信號采集設備的技術設計缺陷等,比如設備的數(shù)據(jù)精度、靈敏度等技術限制。噪聲的存在不僅影響信號的質(zhì)量,嚴重時還會淹沒原始信號。因此,信號去噪研究是信號處理領域中的基本研究問題[1-2]。小波作為“數(shù)字顯微鏡”,以其獨特的局部時頻分析特性而被廣泛應用于信號去噪[3-5]。經(jīng)典小波閾值去噪研究起源于Donoho[6]的工作,他依據(jù)小波信號分解特征提出了軟、硬閾值函數(shù)去噪算法,并取得了較好的去噪效果。然而,常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)在數(shù)學表達式上存在一些缺陷,比如硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù),軟閾值函數(shù)在閾值處不可導。這些數(shù)學性質(zhì)方面的不足可能會導致常規(guī)閾值函數(shù)進行信號去噪處理時出現(xiàn)邊緣模糊,甚至會出現(xiàn)信號部分失真的現(xiàn)象。為了克服常規(guī)軟硬閾值函數(shù)的上述缺點,牟雪姣等[7]借助圓切線的相關理論原理,提出了一種新的閾值函數(shù),提高了非平穩(wěn)信號的去噪效果。李維松等[8]針對小波閾值去噪算法中的閾值函數(shù)及閾值選取準則進行了改進完善,并選取Heavysine 信號以及Block 信號進行去噪效果驗證。為了最大程度上提高去噪效果,2021 年李樹勛等人[9]根據(jù)指數(shù)函數(shù)特性,在硬閾值函數(shù)的基礎上提出了一種改進的閾值函數(shù),并通過仿真實驗驗證了改進閾值函數(shù)具有更優(yōu)的去噪效果。然而,上述改進閾值函數(shù)沒有考慮大于閾值的小波系數(shù)處理問題,這就意味著該閾值函數(shù)并非最優(yōu)?；诖?本文將從數(shù)學表達式以及去噪實效兩方面分析常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)、改進閾值函數(shù)的優(yōu)缺點,引入平滑因子構(gòu)建一種新的閾值函數(shù)。同時,選取兩組具有不同特征的信號進行去噪仿真實驗,通過誤差分析對比發(fā)現(xiàn)新閾值函數(shù)具有更好的去噪效果。

1 小波閾值去噪

信號去噪的數(shù)學模型為

其中,S(t)為含噪聲信號,r(t)為原始信號,n(t)為噪聲。信號去噪的目的是盡可能的減少噪聲n(t)對S(t)的影響,進而獲得真實信號r(t)。在小波去噪過程中,含噪聲信號經(jīng)過小波分解以后,信號的能量將會集中在一些幅值較大的小波系數(shù)上。相反地,噪聲能量則會分布在整個小波域,這就意味著幅值較小的小波系數(shù)很大程度上以噪聲為主。基于這一特點,一般情況下默認幅值較大的小波系數(shù)為信號,而幅值較小的小波系數(shù)為噪聲。借助小波上述去相關性特征,小波在信號處理、圖像處理、數(shù)據(jù)分析與預測等[7-11]方面發(fā)揮著極其重要的作用。下面簡單介紹一下小波變換的相關定義。一維連續(xù)函數(shù)r(t)的連續(xù)小波變換為：

其中,WTr(a,b) 為相應的小波系數(shù),ψa,b(t)是小波函數(shù),ψ(t)為基本小波,a 是伸縮因子,b是平移因子。另一方面,小波逆變換為

下面簡要敘述一下小波閾值去噪的關鍵步驟：

(1) 分析含噪聲信號特性,選擇合適的小波函數(shù)以及分解層數(shù)進行小波分解,獲得不同尺度參數(shù)下的小波系數(shù)Wj,k。

(2) 借助適切的閾值函數(shù)以及閾值參數(shù),對獲取的小波系數(shù)進行閾值處理。

(3) 針對上述閾值算法處理后的小波系數(shù)進行小波重構(gòu),進而獲得去噪信號。

2 新閾值函數(shù)

縱觀小波閾值算法,閾值函數(shù)在去噪結(jié)果中發(fā)揮著決定性作用。下面我們將給出常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)的定義,并分析其優(yōu)缺點。

這里,Wj,k為含噪聲信號經(jīng)過小波分解后得到的小波系數(shù)j,k是閾值算法處理后的小波系數(shù), λ為閾值。其常規(guī)閾值函數(shù)圖像如圖1 所示。

圖1 軟、硬閾值函數(shù)圖像

通過閾值函數(shù)表達式可以看出,當小波系數(shù)絕對值小于閾值時,常規(guī)閾值函數(shù)都是直接將其變?yōu)榱?這一處理方法在很大程度上可以有效地去除噪聲。同時,硬閾值函數(shù)只關注于較小的小波系數(shù),這意味著硬閾值函數(shù)能夠保留原始信號更多的細節(jié)特征。然而,硬閾值函數(shù)在閾值處是不連續(xù)的,這會使得去噪處理后的信號產(chǎn)生局部抖動現(xiàn)象。對于軟閾值函數(shù)來說,該閾值函數(shù)整體上具有良好的連續(xù)性,所以利用軟閾值函數(shù)去噪處理后的信號較為平滑。但是,軟閾值函數(shù)算法中小波系數(shù)存在恒定偏差,進而導致信號去噪精度不高,甚至出現(xiàn)失真的現(xiàn)象。針對傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的不足,李樹勛等[9]提出利用指數(shù)函數(shù)的衰減特性,結(jié)合硬閾值函數(shù),通過在指數(shù)函數(shù)中加入?yún)?shù)來調(diào)整閾值函數(shù)的陡峭性,進而構(gòu)造了一種改進的閾值函數(shù),

其中,λ 為閾值, δ （δ ＞0）為調(diào)節(jié)因子。其函數(shù)圖像如圖2 所示。

圖2 文獻[9]閾值函數(shù)圖像

上述改進閾值函數(shù)通過結(jié)合硬閾值函數(shù)與指數(shù)函數(shù),使得與閾值接近的一部分小波系數(shù)能夠被保留,防止了對信號的過度去噪,取得了較好的去噪效果。需要指出的是,當小波系數(shù)絕對值大于閾值時,雖然小波系數(shù)主要以原始信號為主,但是也有可能含有部分噪聲。為了達到更加理想的去噪效果,必須改進完善硬閾值函數(shù)的處理方法,使其盡可能最大程度上消除噪聲。

通過上述關于常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)特性分析,為了取得更優(yōu)的去噪效果,本文繼承了常規(guī)閾值函數(shù)的優(yōu)勢,在文獻[9]閾值函數(shù)的基礎上提出了一種新的閾值函數(shù),

這里,α 為新引進的平滑因子。當 α增大時,新閾值函數(shù)越來越接近于硬閾值函數(shù)。當 α減小時,新閾值函數(shù)則變得更加平緩。眾所周知,硬閾值函數(shù)在信號去噪處理中可以較好地保留原始信號的細節(jié)特征,這就意味著硬閾值處理后的信號不夠光滑。基于這一特征,在借助上述新閾值函數(shù)進行信號去噪處理時,如果要保留更多的細節(jié)特征,則平滑參數(shù)α 可適當增大；若期望得到較為光滑的去噪信號,可以通過減小平滑參數(shù)實現(xiàn)。通過上述分析可以得出,新閾值函數(shù)的去噪效果一定程度上也依賴于平滑因子的取值。下面給出新閾值函數(shù)(α=0.9)與其他幾種閾值函數(shù)的對比圖像。

圖3 新閾值函數(shù)與文獻[9]閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)圖像對比

從數(shù)學表達式以及圖像可以看出：新閾值函數(shù)在(- ∞, +∞)是連續(xù)的；新閾值函數(shù)是以y=x 為漸近線的,即隨著Wj,k增 大,小波系數(shù)j,k越來越接近于原始系數(shù)Wj,k。同時,新閾值函數(shù)在形式上也越來越趨近于常規(guī)硬閾值函數(shù)。綜上所述,新閾值函數(shù)通過引入平滑因子對閾值函數(shù)進行重新構(gòu)造,改進了其對于大于閾值的小波系數(shù)的處理方式,理論上提升了信號的去噪質(zhì)量。新閾值函數(shù)在定義域上是連續(xù)的,避免了去噪過程中偽吉布斯現(xiàn)象的出現(xiàn)。此外,新閾值函數(shù)在接近閾值部分對小波系數(shù)進行減弱處理,在遠離閾值部分十分接近硬閾值函數(shù),盡可能保留了信號的有效部分。同時,利用新閾值函數(shù)進行信號去噪處理時,可以通過調(diào)整平滑參數(shù)進行去噪效果優(yōu)化,這一特點使得新閾值函數(shù)就有更強的適應性。

3 仿真實驗

為了驗證本文所提新閾值函數(shù)的有效性,借助MATLAB 軟件進行信號去噪仿真實驗。選取Doppler 信號,添加噪聲強度為26dB 的隨機噪聲。在小波閾值算法中小波函數(shù)選用sym8 小波,分解層數(shù)為5,平滑因子α取值2.36,其去噪結(jié)果如圖4、表1 所示。通過觀察圖4可以看出,本文所選Doppler 信號具有非平穩(wěn)特性,該信號的振蕩頻率逐步由強變?nèi)?且前端部分振蕩極強,故針對此信號的去噪處理具有一定的難度和代表性。

圖4 Doppler 信號去噪結(jié)果

表1 信噪比和均方根誤差對比表

由圖4 可以看出,上述四種閾值函數(shù)均可以有效地消除噪聲。另外,信噪比作為衡量信號去噪效果的關鍵指標之一,其信噪比數(shù)值越大,表示信號去噪效果越好。均方根誤差旨在度量去噪處理后的信號與原始信號的差距,即均方根誤差越小,則去噪處理后的信號越接近于原始信號,去噪效果越好。利用表1 中數(shù)據(jù)對比常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)、文獻[9]閾值函數(shù)、新閾值函數(shù)的去噪信噪比以及均方根誤差可以看出,新閾值函數(shù)去噪效果最好。為了驗證新閾值函數(shù)的一般性,下面采用quadchirp 信號進行處理,添加噪聲強度為19dB 的隨機噪聲,同樣選取sym8 小波函數(shù),分解層數(shù)為5,平滑因子取值1.7,其結(jié)果如圖5、表2 所示。通過觀察圖5 可以發(fā)現(xiàn),本文所選Doppler 信號以及quadchirp 信號均為非平穩(wěn)信號。Doppler 信號的振蕩頻率為由強逐漸變?nèi)?而quadchirp 信號的振蕩特性則為由弱變強。特別地,從圖5 還可以看出本文所選的quadchirp 信號在后端部分振蕩頻率極高。眾所周知,噪聲之所以稱之為噪聲,主要是由于噪聲相對于原始信號來說具有更高的頻率,也就是振蕩頻率較高。然而,本文所選的quadchirp 信號在后端具有極高的振蕩頻率,這一點在形式上與噪聲特征一致,這就大大增加了信號去噪的難度。但是,需要特別說明的是,從下述去噪實驗結(jié)果可以得出即使針對具有噪聲特征的含噪聲信號,本文所提出的新閾值函數(shù)仍然具有較好的去噪性能。

圖5 Quadchirp 信號去噪效果

表2 信噪比和均方誤差的對比表

通過觀察圖5 容易看出,常規(guī)閾值函數(shù)、文獻[9]閾值函數(shù)、新閾值函數(shù)都達到了有效去除噪聲的目的。然而,從表2誤差分析可以得出,新閾值函數(shù)相對于其他閾值函數(shù)具有更高的信噪比,且均方根誤差最小,這就表明了新閾值函數(shù)具有更好的去噪效果。

結(jié)束語

本文基于小波閾值去噪基本原理,通過分析傳統(tǒng)閾值函數(shù)和其他改進閾值函數(shù)的特點,提出了一種新閾值函數(shù)。新閾值函數(shù)不僅保持了常規(guī)軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點,同時又克服上述改進閾值函數(shù)的不足。仿真實驗結(jié)果表明：新閾值函數(shù)相對于其他閾值函數(shù)去噪效果更加明顯,具有較強的去噪優(yōu)勢。