紀亞榮

(浙江省義烏市第五中學 322000)

1 引言

三角函數(shù)對比其他基本初等函數(shù)，它的對應法則與它們不一樣，理解三角函數(shù)的意義需要數(shù)形結(jié)合，吃透三角函數(shù)那么多的性質(zhì)也是不容易的.所以，對于剛剛學完三角函數(shù)這章的同學們而言，很需要三角單元復習課幫助他們深入理解三角這個模塊的知識，在深入學習中不斷提升自己的數(shù)學核心素養(yǎng).三角單元復習的知識點比較多，一節(jié)課容量比較小，故本節(jié)課選取三角函數(shù)周期性這個點入手，對三角單元進行深入學習.我們可以創(chuàng)設物理、生物等自然界中的周期現(xiàn)象的情境，來深入體會三角函數(shù)是周期函數(shù).

2 教學片段與實施

高一學生學完三角函數(shù)這章，大部分學生不知道三角的相關數(shù)學史，通過下面兩道歷史名題，激發(fā)學生深入理解與研究三角的興趣，體會到三角函數(shù)是研究社會生活中周期現(xiàn)象的數(shù)學模型，并且有著廣泛地應用.

圖1

問題1：閱讀完上面的歷史名題，你有哪些感受？

生1：古人真的敢想，動手試驗創(chuàng)新能力很強，應該也試驗了很多次，遇到困難沒有放棄，所以平時我們在數(shù)學解題中遇到難題時要想方設法解決，不可輕易放棄.

生2：這個歷史名題涉及到弧長，角度，半徑之間的關系，埃拉托色尼測出地球半徑后，如果我們知道角度，就可以算出任意兩地之間的距離.這讓我想到了弧度數(shù)公式，即δ.φθ=90°-|φ-δ|

設計意圖1.天文學的研究促使三角學的發(fā)展，三角學與天文學關系緊密；2.涉及角與弧長，體會三角的研究對象是角與邊；3.如果我是學生，我會覺得那個時候的人很厲害.4.考查學生對應用題的閱讀理解能力以及數(shù)學抽象數(shù)學建模能力.

基于以上的歷史名題，我們新教材課后有一道習題與此題圖像類似，我稱其為歷史名題改編題，提供給各位讀者繼續(xù)思考，如下：

歷史名題改編題1 在地球公轉(zhuǎn)過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始的變化.

圖2

假設地球表面某個地方正午太陽高度角為θ，δ為這個時候太陽直射點的緯度，φ為當?shù)氐木暥戎?，則這些量滿足θ=90°-|φ-δ|.某科技小組以某年春分(太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間)為初始時間，統(tǒng)計了連續(xù)400天太陽直射點的緯度平均值(太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負值).下面這些是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當?shù)靥柛叨冉菙?shù)據(jù)：

觀測站ABC觀測站所在緯度φ/度40.00023.4390.000觀測站正午太陽高度角θ/度66.38782.94673.614太陽直射點的緯度δ/度太陽直射點的緯度平均值/度

請根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的表格(計算結(jié)果精確到0.001)

設計意圖學生需要閱讀理解上述材料，對于有些學生而言是有困難的，必要時刻老師給予提醒與幫助，但大部分學生有了上一題埃拉托色尼測地球的直徑的體驗后，學生對解決這題有了經(jīng)驗.本題讓學生體會到三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型，并且三角學與天文地理關系緊密.現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復始、循環(huán)反復特點的周期運動變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來解決.

歷史名題2 國科大發(fā)出最具想象力的錄取通知書.讓學生聆聽來自宇宙深處的聲音！2020年8月10日，中國科學院大學發(fā)出首封本科生特殊的錄取通知書，一起送到的是一張黑膠光盤，來自宇宙深處的聲音刻錄在這張光盤上.這些聲音是由該校老師學生通過“中國天眼”FAST捕獲的15顆脈沖星信號，且經(jīng)過轉(zhuǎn)換和小限度處理后，以現(xiàn)在音頻的形式展現(xiàn)在大家面前.這其中，13顆脈沖星信號是首次向全世界公布.

圖3

圖4

問題2：聽完這來自宇宙深處的聲音之后，有什么感受？

生3：聽覺上此起彼伏，感受上很震撼.

生4：圖像上看起來是正弦函數(shù)，但又不完全是.

師：這里涉及到大學里的傅里葉級數(shù)，現(xiàn)在向大家動畫形象演示傅里葉級數(shù)原理.

設計意圖周期函數(shù)產(chǎn)生了我們生活中美妙的音樂.聲音中包含了正弦函數(shù)，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是y=Asinwt，音有四要素：音調(diào)、響度、音長和音色.這也都與正弦函數(shù)的參數(shù)相關，希望激發(fā)學生學習周期函數(shù)的興趣.

歷史名題改編題2 如左圖(1)所示的是某次試驗測得的交變電流i隨時間t變化的圖像.將測得的圖像放大，得到右邊圖像(2).

圖5

求電流i隨著時間t變化的函數(shù)解析式；

設計意圖交變電流是理想化的運動變化現(xiàn)象，可以用三角函數(shù)模型準確地描述它的運動變化規(guī)律.學生解決這道題相對而言比較容易，鼓勵學生多多發(fā)言.通過這個題目給我們啟發(fā)，歷史名題2所呈現(xiàn)的問題背景是多么的讓學生震撼，那么我們怎么樣改編可以讓目前的高中學生接受呢？我想這個題給我們提供了線索，我們可以截取聲波中部分圖形，將其放大，結(jié)合傅里葉級數(shù)簡單的部分進行命題.這其中當然少不了信息技術的運用，所以作為當代教師必須具備較高的知識素養(yǎng)和責任當擔，讓我們的研究繼續(xù)傳承下去.

3 設置自主探究環(huán)節(jié)，讓學生分組自主研究課本習題

自出生之日起，呈周期變化的有人的體力、情緒、智力等心理、生理狀況.根據(jù)心理學家的統(tǒng)計，人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段.以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日，這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.

設計意圖人體是一個包含多種周期運動的生物體，醫(yī)學上把周期為24小時的生理運動稱為中周期運動，如血壓、血糖濃度的變化；小于24小時的叫短周期運動，如心跳，脈搏；大于24小時的叫長周期運動，如人的情緒、體力、智力等.

創(chuàng)設情境，博古通今解三角應用題.整節(jié)課創(chuàng)設歷史名題這樣的情境，跟學生之間的互動一問一答，歷史名題的選取從古到今，把類似的歷史名題放到一起讓學生對比研究學習.不能想當然，覺得周期性很簡單，在教學過程中就有意識的忽略它，而是要讓學生明白周期性屬于三角函數(shù)，盡管別的函數(shù)也有周期性，但是我們要讓學生腦海中一想到周期性就馬上浮現(xiàn)三角函數(shù).這樣的題組教學是很有必要的，有名題的引領，生活情境的滲透，讓學生明白生活和數(shù)學密不可分.

基于歷史名題的三角單元復習課的教學實踐仍處于摸索階段，希望通過此文能拋轉(zhuǎn)引玉，吸引更多的研究者去實踐研究，讓三角函數(shù)單元知識能更加系統(tǒng)的呈現(xiàn)在學生面前.