陳澤宇，宋禮威，范傳翰，張宇航，肖幸鑫，董 亮

（1.江蘇大學流體機械工程技術研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212031；2.中廣核工程有限公司核電安全監(jiān)控技術與裝備國家重點實驗室，廣東 深圳 518124）

0 引 言

離心泵在運行過程中，如果泵的進口壓力小于環(huán)境溫度下的流動液體的飽和蒸汽壓時，液體中便會有大量的蒸汽溢出，并與氣體混合形成許多小汽泡，這些小汽泡隨著水流流入高壓區(qū)域，迅速凝結(jié)潰滅。汽泡的消失會導致局部的真空，液體質(zhì)點快速沖向氣泡中心，質(zhì)點相互碰撞，產(chǎn)生很高的局部壓力。如果汽泡在葉片表面凝結(jié)潰滅，則會以較強的作用力打擊葉輪表面，使得葉輪表面遭受破壞，并且會伴隨強烈的振動，這種現(xiàn)象稱為泵的空化現(xiàn)象［1］。這種現(xiàn)象會導致離心泵的揚程下降、效率降低，并且引起泵劇烈振動，產(chǎn)生噪音。當空化惡化時流道內(nèi)充滿汽泡，堵塞流道，最終使泵失去工作能力［2-6］。因此，離心泵內(nèi)部空化流動的研究對于離心泵的穩(wěn)定、高效運行具有極其重要的意義［7］。

離心泵空化曲線的常規(guī)擬合方法有多項式擬合法、非線性擬合法、三次樣條插值擬合法、最小二乘法、分段多項式擬合法。由于離心泵空化曲線的特殊性，空化曲線的形狀會直接影響到臨界空化余量（NPSH3）的取值［8］。為了獲得更高的擬合精度，國內(nèi)一些專家做出了很多嘗試。其中劉在倫、單麟婷等［9］通過采用分段多項式擬合的方法提高了對離心泵空化曲線的擬合精度；李樸蓉、劉在倫等［10］通過MATLAB 平臺對3 次、4 次、5次多項式以及非線性擬合方法的可行性進行了驗證，最終發(fā)現(xiàn)5次多項式和非線性擬合方法適用于泵空化曲線的擬合；田瑩、郭仁寧等［11］通過數(shù)值分析的方法詳細介紹了分段多項式擬合方程的推導過程，并驗證了分段多項式擬合方法能夠使得空化曲線更加光滑；唐平、李金伴等［12］基于改進遺傳算法對多項式擬合方程進行尋優(yōu)求解，通過與常規(guī)擬合方法相對比，證明了此方法的可行性。

本文主要通過建立分段多項式擬合方法的數(shù)學模型，采用PSO、WVPSO 算法對分段多項式的擬合方程的系數(shù)進行求解。并通過對比常規(guī)多項式擬合方法與基于PSO、WVPSO 算法的分段多項式擬合方法對離心泵空化試驗數(shù)據(jù)的擬合效果來驗證WVPSO算法用于離心泵空化試驗數(shù)據(jù)擬合的可行性。

1 概 述

1.1 空化曲線分段擬合定義及方法

在實際的空化曲線的擬合過程中，可用空化余量（NPSHA）與揚程（H）間并非存在一定的線性關系，常用的空化曲線的擬合方法大多為3次、4次、5次、6次多項式擬合，但這種多項式擬合方法易產(chǎn)生龍格（Runge）現(xiàn)象，使得擬合后的空化曲線的兩端產(chǎn)生激烈的震蕩［10］。因此，根據(jù)離心泵空化曲線的特點（如圖1），擬采用分段擬合方法，設分段點（S），其值應在揚程開始有下降趨勢附近。在S點的左邊采用多項式擬合方法，擬合式如式（1）所示，S點右側(cè)則采用直線擬合方法，擬合式如式（2）所示。

圖1 離心泵空化特性曲線Fig.1 Cavitation characteristic curve of centrifugal pump

另外，為了使得兩段擬合曲線在分段點S處連續(xù)且光滑，則要求式（1）、（2）在分段點處的函數(shù)值y1（S）=y2（S），導數(shù)y′1（S）=y′2（S）相等，即如式（3）、（4）所示：

聯(lián)合式（3）、（4）化簡可得：

因此，分段點S左側(cè)部分的多項擬合式為：

則空化曲線擬合問題轉(zhuǎn)換為求解最佳的a1，a2，k，b，S，使得式（2）、（7）在各數(shù)據(jù)點的函數(shù)值與實測值的誤差平方和最小，即要求式（8）取得最小值。

式中：xtest、ytest為原始數(shù)據(jù)的橫坐標和縱坐標。

通過對上述公式的推導和簡化，可以發(fā)現(xiàn)這屬于多參數(shù)的最小值優(yōu)化問題，采用一般的數(shù)學方法難以解決該問題，因此只能采用尋優(yōu)算法對該問題進行求解。

1.2 基本粒子群算法原理

基本粒子群算法（PSO）屬于進化算法的一種，源于對鳥類捕食行為的研究，在PSO 中，每個優(yōu)化問題的潛在解都被抽象為粒子，基本思想是通過個體與群體間的信息共享來尋找給定問題的最優(yōu)解［13］。

假設在一個D維的目標搜索空間中，有N個粒子組成一個粒子群，其中第i個粒子表示為Xi=（Xi1，Xi2，…，XiD），其中第i個粒子的飛行速度記為vid，且粒子的當前搜索到的最優(yōu)位置稱為個體最優(yōu)值，記為Pbest=（Pi1，Pi2，…，PiD），此時整個粒子群搜索到的最優(yōu)位置稱為群體最優(yōu)值，記為gbest=（Pg1，Pg2，…，PgD），得到個體以及集體最優(yōu)值后，粒子根據(jù)下式更新自己的速度和位置［14］：

式中：c1為個體學習因子；c2為群體學習因子；r1，r2為0～1之間的隨機數(shù)。

1.3 WVPSO算法原理

針對基本粒子群算法（PSO）易陷入早熟、收斂速度慢和收斂精度不高等一系列問題，加權(quán)變異的粒子群算法（WVPSO）在以下3個方面進行改進［15］：

（1）為提高算法全局搜索能力的同時平衡其局部搜索能力，加權(quán)變異的粒子群算法（WVPSO）通過自適應權(quán)重和自適應學習因子的方法，對式（1）中的權(quán)重w和學習因子c1，c2自動調(diào)整；

（2）為了增加粒子群的多樣性以及提高算法的搜索精度，加權(quán)變異的粒子群算法（WVPSO）通過在每次評估適應值后加入算數(shù)交叉和自然選擇機制來擇優(yōu)改變粒子的位置和速度；

（3）為了避免算法陷入早熟的問題，加權(quán)變異的粒子群算法（WVPSO）通過在陷入早熟時加入高斯擾動，來讓粒子能夠盡量地跳出局部最優(yōu)值。

變異加權(quán)粒子群（WVPSO）算法的主要計算步驟如下所示，主要步驟流程圖如圖2所示。

圖2 WVPSO算法流程圖Fig.2 Flow chart of WVPSO algorithm

（1）隨機產(chǎn)生粒子并初始化粒子的位置和速度，組成粒子群，設定相關參數(shù)；

（2）根據(jù)式（11）～（13）計算粒子群的慣性權(quán)重w，學習因子c1和c2。

式中：Maxi為算法的最大迭代次數(shù)；i為算法當前最大迭代次數(shù)；c1up、c1low為粒子自我學習因子的上下界；c2up、c2low為粒子群體學習因子的上下界；rand為0～1之間的隨機數(shù)。

（3）根據(jù)適應度函數(shù)計算粒子群中每個粒子的適應度，將每個粒子的適應度取絕對值，并將絕對值后的適應度值從小到大排列，如式（14）所示。將式（14）中的適應度值按照式（15）分割成四個部分，分別命名為ξ1、ξ2、ξ3、ξ4，其中ξ1、ξ4各占總體的20%，ξ2、ξ3各占總體的30%；

（4）將分割好的粒子適應度值中ξ2、ξ3這兩組適應度值通過式（16）～（17）進行算術交叉計算，將ξ1、ξ4這兩組值通過式（18）～（19）進行自然選擇計算；

式中：xξ1、xξ2、xξ3、xξ4分別為ξ1、ξ2、ξ3、ξ4組各粒子的位置，中νξ1、νξ2、νξ3、νξ4分別為ξ1、ξ2、ξ3、ξ4組各粒子的速度，rand為0～1之間的隨機數(shù)。

（5）根據(jù)式（9）～（10）更新每個粒子的位置和速度，以及每個粒子的歷史個體最優(yōu)值Pbest和群體最優(yōu)值gbest，并且判斷粒子是否陷入早熟，若陷入早熟則加入高斯擾動，讓粒子震蕩，使其擺脫早熟；

（6）經(jīng)過上述步驟的計算，若滿足終止條件，則輸出最優(yōu)結(jié)果，若未達到終止條件，則轉(zhuǎn)入到步驟（2），進行下一次尋優(yōu)計算。

2 空化試驗裝置及數(shù)據(jù)

本試驗臺為閉式試驗臺，試驗裝置主要由空化罐、真空泵、進出水管路、閥門、電磁流量計、試驗泵、電機、壓力變送器和水聽器組成，離心泵選用AIX32/16 型號，其具體參數(shù)如表1所示，離心泵空化試驗臺示意圖如圖3所示，泵機組實物圖如圖4所示?？栈囼灧謩e在小流量、額定流量、大流量進行，通過開啟真空泵改變離心泵進口壓力值得到轉(zhuǎn)速、流量為定值時的離心泵的揚程（H）值與可用空化余量（NPSHA）值。

圖3 離心泵空化試驗臺示意圖Fig.3 Schematic diagram of centrifugal pump cavitation test rig

圖4 離心泵機組實物圖Fig.4 Physical picture of centrifugal pump unit

表1 離心泵機組基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of centrifugal pump unit

本文選用NPSHA（m）=［0.91，0.92，0.93，0.99，1.06，1.17，1.29，1.39，1.95，2.03，2.19，2.4，2.71，3.36，4.81，6.15］；H（m）=［21.72，22.06，22.83，23.34，23.47，23.52，23.53，23.54，23.55，23.55，23.54，23.55，23.55，23.55，23.56，23.56］，其中NPSHA和H值均已轉(zhuǎn)換到額定轉(zhuǎn)速下的值。

3 擬合結(jié)果

3.1 多項式擬合結(jié)果

通過采用3 次、4 次、5 次、6 次多項式擬合方法對離心泵空化試驗數(shù)據(jù)進行擬合，擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5 多項式擬合結(jié)果Fig.5 Polynomial fitting results

通過對比圖5中3 次、4 次、5 次、6 次多項式擬合曲線，可以看出，相對于3 次、4 次、6 次多項式擬合曲線5 次多項式擬合曲線更為光滑，更能夠貼合數(shù)據(jù)點。且隨著多項式擬合的次數(shù)越高，擬合曲線在數(shù)據(jù)點稀疏的地方產(chǎn)生的震蕩現(xiàn)象尤為明顯。

因此3 次、4 次、6 次多項式并不適用于離心泵空化試驗數(shù)據(jù)的擬合，5次多項式適用于空化試驗數(shù)據(jù)點較為密集的情況，當數(shù)據(jù)點稀疏時，5 次多項式擬合曲線也會在稀疏點處產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象。

3.2 PSO與WVPSO擬合結(jié)果

對于本文使用的空化試驗數(shù)據(jù)，經(jīng)過實際的反復試算，PSO和WVPSO 算法的相關運行參數(shù)設置如下：初始粒子群規(guī)模M=50；最大迭代次數(shù)T=1 000；粒子飛行速度上限Vmax=2；粒子飛行速度下限Vmin=-2；WVPSO 的粒子自身學習因子上限c1up=2.5；下限c1low=0.5；群體學習因子的上限c2up=3.5；下限c2low=0.8。

運行參數(shù)設置完成后，通過MATLAB 平臺分別運行PSO 和WVPSO，其中PSO 和WVPSO 的尋優(yōu)迭代曲線如圖6所示，尋優(yōu)后最佳的a1、a2、k、b、s值如表2所示。

表2 PSO、WVPSO尋優(yōu)后最佳參數(shù)值Tab.2 Optimal parameter values of PSO and WVPSO after optimization

從圖6中可以看出，PSO 算法的迭代曲線呈階梯式下降的趨勢，而WVPSO算法的迭代曲線呈直線式下降趨勢。約200次迭代后WVPSO 算法的適應度值接近于0，而PSO 算法的適應度即使在1 000 次迭代后仍然與0 有一定差距。相比之下，WVPSO 算法對于離心泵空化試驗數(shù)據(jù)擬合的收斂速度更快，收斂精度更高。

圖6 PSO、WVPSO迭代曲線Fig.6 Iteration curves of PSO and WVPSO

上述值代入到式（5）～（6）中計算得出a3、a4，將參數(shù)分別代入到分段擬合方程（1）～（2）中得到離心泵空化曲線，如圖7所示。

圖7 PSO、WVPSO算法空化試驗數(shù)據(jù)擬合圖Fig.7 Fitting diagram of PSO and WVPSO algorithm cavitation experiment data

對比PSO 和WVPSO 這兩種算法對于空化試驗數(shù)據(jù)擬合的效果，WVPSO 算法在空化曲線分段擬合曲線拐點處的連接比較光滑，且空化曲線能夠很好的貼合數(shù)據(jù)點。而通過PSO 算法擬合的空化曲線在拐點處未能很好地貼合數(shù)據(jù)點，導致拐點處的連接不光滑，擬合效果欠佳。因此WVPSO 算法對離心泵空化試驗數(shù)據(jù)的擬合效果要優(yōu)于PSO算法。

將常規(guī)多項式擬合方法與基于WVPSO 算法的分段多項式擬合方法相比較可以發(fā)現(xiàn)，WVPSO 算法的分段多項式擬合方法能夠有效的消除多項式擬合方法產(chǎn)生的震蕩現(xiàn)象，并且能夠使得空化曲線更光滑。

4 結(jié) 論

本文依據(jù)空化曲線的擬合方法為研究對象，搭建了臥式離心泵閉式空化試驗臺，采集了空化試驗數(shù)據(jù)。通過不同擬合方法對試驗數(shù)據(jù)進行擬合與分析，現(xiàn)得出如下幾點結(jié)論。

（1）在常規(guī)多項式擬合方法中，5 次多項式擬合方法對于空化試驗數(shù)據(jù)的擬合效果最好，但在數(shù)據(jù)點稀疏的情況下易使空化曲線產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象。

（2）相比于PSO 算法，WVPSO 算法對于空化試驗數(shù)據(jù)的擬合具有收斂速度快、收斂精度高、分段多項式拐點處更光滑等特點。

（3）對于常規(guī)多項式擬合方法中空化曲線出現(xiàn)的震蕩現(xiàn)象，使用WVPSO 算法對空化試驗數(shù)據(jù)進行擬合能夠有效消除，使得空化曲線更加光滑，擬合效果更好。