一類帶齊次分裂核的群體平衡方程的相似分析及相似解

林府標(biāo),王 騫,張千宏

(1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院,貴州 貴陽 550025;2.貴州師范大學(xué)附屬中學(xué),貴州 貴陽 550001)

0 引言

群體平衡方程[1-4]廣泛應(yīng)用于實(shí)體工業(yè)、化學(xué)工程、輻射誘導(dǎo)、機(jī)械工程、高分子聚合物降解、巖石的破碎、顆粒物的粉磨、藥物的粉碎以及液滴、飛沫、微滴、霧滴、云滴的破裂過程等.微滴分裂過程恰好是一分為二的群體平衡方程[1-2],它可寫成

(1)

其中x代表微滴的內(nèi)部坐標(biāo),用于描述微滴種類固有的數(shù)量性態(tài)及特征,如尺寸、形狀、孔隙度、質(zhì)量、體積、長(zhǎng)度等;t代表時(shí)間,f(x,t)代表在t時(shí)刻尺寸是x的微滴分裂的尺寸演化性態(tài)分布.分裂核K(x,y)描述尺寸是x+y的微滴分裂成尺寸分別是x和y的速率,并且滿足

K(x,y)=K(y,x)≥0,

尺寸是x的微滴分裂的速率v(x)以及尺寸是y的微滴分裂成尺寸是x的平均數(shù)量b(x|y)分別定義為

b(x|y)=2K(x,y-x)/v(y).

(2)

b(x|y)滿足質(zhì)量守恒定律,分裂微滴的子代微滴的平均數(shù)量滿足關(guān)系式

(3)

準(zhǔn)確理解和應(yīng)用實(shí)體微粒系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)性態(tài)以及微粒尺寸演化分布規(guī)律,歸結(jié)為研究方程(1)的精確解[4].但在實(shí)體應(yīng)用領(lǐng)域中,由于缺乏精確求解的理論和方法,因而常用數(shù)值技術(shù)、矩方法、蒙特卡羅法、類方法、近似解析逼近理論等[1-4].

尺度變換群與量綱分析法常被用于純微分方程[5-9],文獻(xiàn)[8]介紹了量綱分析的理論基礎(chǔ)歸結(jié)于E. Buckingham的π-定理,并且給出了該定理的證明及其在包括1945年的核原子爆炸及熱傳導(dǎo)問題等純偏微分方程中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[10]探究了多參數(shù)尺度變換群的概念及相關(guān)理論,給出了單參數(shù)尺度變換群在涉及非黏性氣體的自相似解等純偏微分方程中的應(yīng)用.如今該方法也被用于積分-偏微分方程群體平衡方程[11-18].從純常微分方程和偏微分方程到積分-偏微分方程和群體平衡方程的應(yīng)用,并非簡(jiǎn)單地類推、拓廣、平移,這種推廣最主要的困難在于積分項(xiàng)及類型的影響.在文獻(xiàn)[5-18]的基礎(chǔ)上,本文用相似理論研究方程(1)的相似不變量、約化方程、相似解、精確解、解的動(dòng)力學(xué)性態(tài)及特征.

1 齊次分裂核與群體平衡方程

設(shè)λ和σ為非負(fù)實(shí)數(shù),σ次齊次分裂核K(x,y)滿足

K(λx,λy)=λσK(x,y).

(4)

其中式(4)廣泛應(yīng)用于氣溶膠科學(xué)、能源科學(xué)、醫(yī)藥科學(xué)、地球科學(xué)等,受到諸多物理學(xué)家、化學(xué)家、工程師、科學(xué)家等的關(guān)注[1-4].在數(shù)學(xué)上易處理的齊次分裂核有K(x,y)=κ0,K(x,y)=κ1(xm+ym),K(x,y)=κ2(xy)n,K(x,y)=κ3|xp-yp|,其中m、n、p和κi(i=0,1,2,3)均是正常數(shù),κi(i=0,1,2,3)代表動(dòng)力學(xué)參數(shù).令y=xs,由式(4)可得

K(x,y-x)=xσK(1,s-1),

K(y,x-y)=xσK(s,1-s),

(5)

針對(duì)式(4), 由式(2)和式(5)可得

1-s)/v(y),D(y)=2.

(6)

可驗(yàn)證方程(6)滿足式(3).事實(shí)上,由式(5)和式(6)可得

因此,將式(4)代入方程(1)可得

(7)

方程(7)的初值和邊值條件分別是

f(x,0)=f(x,t)|t=0,f(0,t)=f(x,t)|x=0,f(∞,t)=0.

(8)

f(x,0)=0表示在最初微粒系統(tǒng)中沒有微滴存在.f(∞,0)=0描述尺寸足夠大的微滴的密度分布趨于0.

2 相似分析

在文獻(xiàn)[9-18]的基礎(chǔ)上, 用尺度變換群法研究方程(7)的不變量、自相似解、自相似性的可行性.假設(shè)方程(7)接受單參數(shù)為a的尺度變換群

(9)

其中λ1、λ2和μ是常數(shù),則對(duì)于方程(7)的任一解f=f(x,t),需滿足

考慮方程(7)接受式(9)的假設(shè),式(9)將方程(7)的任一解f=f(x,t)變成如下方程的解:

(10)

(11)

因?yàn)閒=f(x,t)是方程(7)的任一解,所以由式(11)可推出

λ2=-(σ+1)λ1.

(12)

用量綱分析和尺度變換群法研究方程(7),且因變量個(gè)數(shù)m=1,自變量個(gè)數(shù)n=2,尺度變換群(9)的群參數(shù)r=1.于是m+n-r=2,因此存在2個(gè)相似不變量

J1(x,t,f)=xω11tω21fω31,J2(x,t,f)=xω12tω22fω32,

(13)

其中ω1i、ω2i、ω3i(i=1,2)為常數(shù).若要式(13)在式(9)的作用下保持不變,則有

依據(jù)式(9)和式(13)得到

λ1ω11+λ2ω21+μω31=0,λ1ω12+λ2ω22+μω32=0.

(14)

把式(12)代入方程(14),得到

λ1ω11-(σ+1)λ1ω21+μω31=0,

λ1ω12-(σ+1)λ1ω22+μω32=0.

(15)

3 相似解

類似于式(9),可驗(yàn)證方程(7)接受平移變換群

其中τ0是群參數(shù).若λ1=0,則方程(15)退化成

ω1i,ω2i∈R,ω3i=0(i=1,2).

因此,得到

(ω11,ω21,ω31)T=(1,0,0)T,(ω12,ω22,ω32)T=(0,1,0)T.

(16)

把解(16)代入式(13),得到

J1(x,t,f)=x,J2=(x,t,f)=t.

因此,對(duì)于此情形, 借助于Tτ0,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=eα(t+τ)φ(x),α∈R,

(17)

其中解(17)滿足式(8),φ(x)滿足約化方程

(18)

若λ1≠0,令α=μ/λ1,則α∈R,方程(15)可寫成

ω11-(σ+1)ω21+αω31=0,

ω12-(σ+1)ω22+αω32=0.

(19)

方程(19)的解為

(ω11,ω21,ω31)T=(σ+1,1,0)T,

(ω12,ω22,ω32)T=(-α,0,1)T.

(20)

將解(20)代入式(13),得到

J1(x,t,f)=xσ+1t,J2(x,t,f)=x-αf.

因此,借助于Tτ0,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=xαφ(z),z=xσ+1(t+τ0),

(21)

其中解(21)滿足式(8),φ(z)滿足約化方程

(22)

3.1 情形K(x,y)=κ0

針對(duì)K(x,y)=κ0,用性質(zhì)(4)得到σ=0.由式(17)和式(18)得方程(7)的相似解為

f(x,t)=eα(t+τ0)φ(x),

其中φ(x)滿足約化方程

(23)

類似地,由式(21)和式(22)知,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=xαφ(z),z=x(t+τ0),

其中φ(z)滿足約化方程

3.2 情形K(x,y)=κ1(xm+ym)

鑒于K(x,y)=κ1(xm+ym),由性質(zhì)(4)可得σ=m.由式(17)和式(18)知,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=eα(t+τ0)φ(x),

其中φ(x)滿足約化方程

類似地,由式(21)和式(22)知,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=xαφ(z),z=xm+1(t+τ0),

其中φ(z)滿足約化方程

3.3 情形K(x,y)=κ2(xy)n

針對(duì)K(x,y)=κ2(xy)n,由性質(zhì)(4)可得σ=2n.由式(17)和式(18)知,方程(7)的相似解為

f(x,t)=eα(t+τ0)φ(x),

其中φ(x)滿足約化方程

類似地,由式(21)和式(22)知,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=xαφ(z),z=x2n+1(t+τ0),

其中φ(z)滿足約化方程

3.4 情形K(x,y)=κ3|xp-yp|

對(duì)于K(x,y)=κ3|xp-yp|,由性質(zhì)(4)可得σ=p.由式(17)和式(18)知,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=eα(t+τ0)φ(x),

其中φ(x)滿足約化方程

類似地,由式(21)和式(22)知,方程(7)的相似解可寫成

f(x,t)=xαφ(z),z=xp+1(t+τ0),

其中φ(z)滿足約化方程

4 精確解及動(dòng)力學(xué)性態(tài)

方程(7)的精確解對(duì)理解微粒系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)、理論和實(shí)際應(yīng)用都是有價(jià)值和意義的.采用尺度變換群法能否獲得方程(7)的精確解,歸結(jié)為對(duì)約化方程的精確解的研究問題.針對(duì)K(x,y)=κ0,方程(7)可具體寫成

(24)

用觀察試探函數(shù)法[11-18],可驗(yàn)證φ(x)=(κ0x+α)-3是方程(23)的解,因此,方程(24)的精確解為

f(x,t)=(κ0x+α)-3eα(t+τ0).

(25)

假設(shè)f=f(x,t)是方程(24)的解,且滿足式(8),則0階矩M0(t)和1階矩M1(t)分別為

其中M0(t)表示在微粒系統(tǒng)中微滴的總數(shù)量,M1(t)表示在微粒系統(tǒng)中微滴的總質(zhì)量.若微滴在分裂過程中總保持質(zhì)量守恒,則M1(t)是時(shí)間t的不變量,即滿足dM1/dt=0.方程(24)兩邊關(guān)于變量x從0到∞同時(shí)積分,得到

(26)

采用M0(t)和M1(t)及式(26),可得

dM0/dt=κ0M1.

(27)

解(25)是方程(24)的真實(shí)解,將它滿足的動(dòng)力學(xué)性態(tài)逐一進(jìn)行分析.當(dāng)x→∞時(shí),f(x,t)→0,這表明微滴的密度函數(shù)滿足性質(zhì):當(dāng)微滴尺寸足夠大時(shí),微滴的密度函數(shù)值趨于0.若參數(shù)α>0,則當(dāng)t→∞時(shí),可推出f(x,t)→∞,這表明解是不穩(wěn)定的;若參數(shù)α<0,則當(dāng)t→∞時(shí),可推出f(x,t)→0,這表明解是穩(wěn)定的;若參數(shù)α=0,則微滴的密度函數(shù)f(x,t)是時(shí)間t的不變量,滿足?f(x,t)/?t=0,這表明微滴因分裂而出生與微滴因分裂而死亡保持平衡.解(25)對(duì)應(yīng)的初值和邊值條件分別為

f(x,0)=(κ0x+α)-3eατ0,f(0,t)=α-3eα(t+τ0),f(∞,t)=0.

假設(shè)L、T為正常數(shù),在閉矩形區(qū)域[0,L]×[0,T]上,對(duì)應(yīng)的初值和邊值條件分別是

f(x,0)=(κ0x+α)-3eατ0,f(0,t)=α-3eα(t+τ0),f(L,t)=(κ0L+α)-3eα(t+τ0).

考慮解(25),M0(t)和M1(t)及其相應(yīng)的變化率分別為

dM0/dt=eα(t+τ0)/(2κ0α),

M0(t)和M1(t)及其變化率的計(jì)算結(jié)果表明:解(25)滿足M0(t)的變化率與M1(t)的性質(zhì)(27).若參數(shù)α>0,則變化率dM0/dt>0,這表明在微粒系統(tǒng)中隨著微滴分裂的不斷演化,微滴的總數(shù)量不斷增加,出生的比死亡的更多;若參數(shù)α<0,則變化率dM0/dt<0,這表明在微粒系統(tǒng)中隨著微滴分裂的不斷演化,微滴的總數(shù)量不斷減少,死亡的比出生的更多.變化率dM1/dt>0表明在微粒系統(tǒng)中隨著微滴分裂的不斷演化,微滴的總質(zhì)量不守恒,且是非單調(diào)遞減的.本文分別選取參數(shù)α=0.6和α=-1.5,τ0=0,動(dòng)力學(xué)參數(shù)κ0=0.8和κ0=3.1,微滴分裂演化的動(dòng)力學(xué)性態(tài)和微滴的密度函數(shù)式(25)在矩形區(qū)域[0,2]×[0,0.8]上的圖像分別如圖1(a)和(b)所示.

(a)κ0=0.8,α=0.6,τ0=0 (b)κ0=3.1,α=-1.5,τ0=0圖1 微滴尺寸分布分裂演化行為函數(shù)式(25)的圖像

5 結(jié)束語

用尺度變換群法研究方程(7)的相似分析,不僅是有效的,而且構(gòu)造了相似不變量、約化方程、精確解,分析了精確解的動(dòng)力學(xué)性態(tài)及特征.如何構(gòu)造解析求解的方法探尋約化方程的精確解,并且給出原方程的精確解及動(dòng)力學(xué)性態(tài)分析,這些都值得在今后的研究工作中不斷創(chuàng)新.