考慮擺動腿動態(tài)的變長度柔性雙足機(jī)器人步態(tài)切換控制研究1)

廖發(fā)康 周亞麗 張奇志

(北京信息科技大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100192)

1990年，McGeer[1]首次提出了被動動態(tài)行走(passive dynamic walking, PDW), 它是一類依靠重力作用和腿的自然擺動便能沿著斜坡向下行走的雙足機(jī)器人。與主動驅(qū)動系統(tǒng)(如本田ASIMO)相比，基于PDW原理設(shè)計(jì)的機(jī)器人效率要高得多[2]。然而，由于它們依賴于重力勢能，因此無法實(shí)現(xiàn)在平地上行走。此外，這種機(jī)器人的腿是剛性的，與人類的柔性腿有很大的不同。

1989年，Blickhan[3]首次提出了描述人類奔跑與跳躍的彈簧–質(zhì)點(diǎn)模型。雖然人的腿具有復(fù)雜的神經(jīng)控制系統(tǒng)，但在跑步階段，腿會表現(xiàn)出簡單的彈簧狀行為，可以用彈簧–質(zhì)點(diǎn)模型來描述。2006年，Geyer等[4]在彈簧–質(zhì)點(diǎn)模型的基礎(chǔ)上，建立了雙足彈簧負(fù)載倒立擺(spring-loaded inverted pendulum, SLIP)模型。Geyer的研究表明：如果要使一個雙足機(jī)器人在行走過程中具有類人步態(tài)，必須采用柔性腿而不是剛性腿。這是因?yàn)槿嵝酝饶軠?zhǔn)確地模擬人類行走過程中髖關(guān)節(jié)運(yùn)動的軌跡和站立時(shí)的動力學(xué)特性。更重要的是，借助于彈簧的彈性勢能，基于柔性腿的雙足機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)平地行走。

盡管SLIP模型可以以類人的步態(tài)在平地上行走，但其抗干擾能力較差。2010年，Rummel等[5]研究了機(jī)器人行走時(shí)腿部剛度與魯棒性之間的關(guān)系。研究表明：可變腿剛度能有效地抑制外部干擾對機(jī)器人的影響，并且，系統(tǒng)的能量效率也會隨著腿剛度的增加而提高。2012年，Visser等[6]將SLIP模型擴(kuò)展為變腿剛度的V-SLIP模型，顯著地提高了雙足機(jī)器人對外界擾動的魯棒性。2020年，張瑞等[7]以V-SLIP模型為研究對象，提出了一種能量高效、步態(tài)自然的模仿人類行走的控制策略，實(shí)現(xiàn)了零輸入的純被動周期行走。

但V-SLIP模型存在一個顯著的缺點(diǎn)，模型假設(shè)中沒有考慮腿的質(zhì)量，即忽略了擺動腿的動力學(xué)對機(jī)器人行走的影響。為此，2013年，Visser等[8]將V-SLIP模型擴(kuò)展為考慮擺動腿動力學(xué)的V-SLIP-SL模型，即在每條腿的末端增加了一個腳質(zhì)量。仿真結(jié)果表明，在控制器的作用下，機(jī)器人具有足夠的魯棒性，能夠抑制由擺動腿動態(tài)所引起的擾動。2017年，Vu等[9]在Visser 模型的基礎(chǔ)上，增加了軀干裝置，提出了帶軀干V-TSLIP模型。采用線性二次型調(diào)節(jié)器(discrete linear quadratic regulator, DLQR)實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。

雖然雙足機(jī)器人的變剛度控制能使機(jī)器人擁有良好的魯棒性能，但變剛度實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)和制造都比較復(fù)雜[10-11]，而變長度的實(shí)驗(yàn)裝置要簡單得多[12]。2005年，Asano等[13]提出了一種基于參數(shù)激勵的動態(tài)步態(tài)生成方法，在這種情況下，能量的恢復(fù)是由變長度的伸縮腿上下運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)的。2008年，Asano等[14]針對平面伸縮腿雙足機(jī)器人模型，提出了一種簡單的控制律，在不考慮零力矩點(diǎn)(zero moment point, ZMP)條件的情況下，通過伸縮擺動腿即可輕松實(shí)現(xiàn)水平步態(tài)生成。2012年，Asano[15]針對具有伸縮腿的平面極限環(huán)步行器，提出了一種基于前傾碰撞姿態(tài)的步態(tài)生成方法。該方法的主要目的是使機(jī)器人的質(zhì)心向前傾斜或移動，從而容易克服中間位置的勢壘，恢復(fù)機(jī)器人的機(jī)械能。首先，引入了一個由8個伸縮腿組成的平面無緣輪模型，并研究了所提方法的有效性。其次，將該方法推廣到帶有制動彈簧的平面伸縮腿雙足機(jī)器人，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。仿真結(jié)果表明，只需將碰撞姿態(tài)微微前傾，即可獲得穩(wěn)定的動態(tài)步態(tài)。2017年，Hanazawa等[16]提出了一種利用非對稱擺動腿運(yùn)動來提高雙足機(jī)器人極限環(huán)步行速度的新方法。通過數(shù)值模擬證明了擺動腿運(yùn)動對步行速度的影響。然后用數(shù)學(xué)方法證明了擺動腿運(yùn)動的收縮和伸長會產(chǎn)生推進(jìn)效果的力矩?；诖嗽?，采用非對稱擺腿運(yùn)動的雙足機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)較高的步行速度。2018年，Harata等[17]研究了包含伸縮腿的欠驅(qū)動雙足機(jī)器人的穩(wěn)定性。將輸出跟隨控制律應(yīng)用于機(jī)器人的線性化運(yùn)動方程中，將被控機(jī)器人的運(yùn)動方程指定為一個線性時(shí)變系統(tǒng)。建立了誤差轉(zhuǎn)移方程來評估穩(wěn)定性。通過數(shù)值計(jì)算說明了腿部伸縮運(yùn)動對穩(wěn)定性的影響: 伸縮擺動腿的運(yùn)動比支撐腿的運(yùn)動更穩(wěn)定。

上述文獻(xiàn)的變長度伸縮腿控制基本采用的都是剛性腿，本課題組在此基礎(chǔ)上，對雙足機(jī)器人變長度的柔性伸縮腿控制展開研究。2019年，張奇志等[18]研究半被動伸縮腿雙足機(jī)器人行走控制和周期解的全局穩(wěn)定性問題，設(shè)計(jì)了腿伸縮長度的支撐腿角度反饋控制率，證明了伸縮腿雙足機(jī)器人行走過程不動點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。同年，宋嘉琦等[19]采用變長度柔性伸縮腿結(jié)構(gòu)，研究了半被動雙足機(jī)器人的平面穩(wěn)定行走的控制問題。結(jié)果表明變長度控制算法可以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的穩(wěn)定行走，并具有較強(qiáng)的抗干擾性。

雖然雙足機(jī)器人的模型在過去的幾十年里得到了很好的發(fā)展，但是不同步態(tài)之間的切換仍然是一個具有挑戰(zhàn)性的研究方向。2014年，Roozing等[20]采用分段SLIP 模型[21]即S-SLIP模型，及V-SLIP模型，通過控制腿的剛度和擺動腿觸地角實(shí)現(xiàn)了步態(tài)切換。在他們的研究中，未曾考慮軀干和擺動腿動力學(xué)對系統(tǒng)性能的影響。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文提出了考慮擺動腿動力學(xué)的變腿長度VL-TSLIP-SL模型。提出了一種通過控制腿部長度和髖關(guān)節(jié)力矩來實(shí)現(xiàn)步態(tài)切換的控制策略，從而改變平均步行速度。針對機(jī)器人模型高度非線性的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了反饋線性化控制器來跟蹤髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)的期望軌跡，調(diào)節(jié)擺動腿和軀干的姿態(tài)。仿真結(jié)果表明，該控制器能夠有效地控制軀干和擺動腿的姿態(tài)，控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)兩種不同速度的自然步態(tài)之間的切換，形成穩(wěn)定的極限環(huán)。

1 雙足機(jī)器人動力學(xué)模型

1.1 機(jī)器人模型描述

VL-TSLIP-SL模型如圖1所示，由質(zhì)量為M的髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)連接著一個剛性軀干和兩條彈簧腿組成，每條腿的末端各有一個質(zhì)量為mf的腳。髖關(guān)節(jié)的姿態(tài)定義為變量(x,y)=:qh∈Qh。軀干是長度為l，中心質(zhì)量為m的剛性桿，轉(zhuǎn)動慣量為I。雙腿為可變長度的伸縮腿,長度為L0+ui，i=1,2 ，其中L0為原長度，ui(i=1,2 )為可控部分的腿長度。彈簧剛度為k0，并假設(shè)為單向的，只能被壓縮。髖關(guān)節(jié)力矩τ1和τ2用來控制軀干姿態(tài)角α和擺動腿與法線夾角β。

圖1 VL-TSLIP-SL模型Fig. 1 The VL-TSLIP-SL model

由于機(jī)器人的運(yùn)動是周期性的，因此我們只需研究周期步態(tài)中的一個周期。考慮到機(jī)器人雙腿的對稱性，定義一個步態(tài)周期為：一個支撐腿垂直站立狀態(tài)(vertical leg orientation, VLO)到另一個支撐腿垂直站立狀態(tài)之間的時(shí)間間隔。如圖2所示，機(jī)器人的行走在單支撐階段(single support, SS)與雙支撐階段(double support, DS)之間交替。一個周期步態(tài)從處于VLO瞬間開始，此時(shí)，左腿(黑色)處于SS階段，右腿(藍(lán)色)處于擺動階段。當(dāng)右腿以原長度L0，與地面夾角θ接觸地面時(shí)，機(jī)器人進(jìn)入DS階段。由于系統(tǒng)有足夠的能量，它將繼續(xù)向前移動，直到左腿完全伸展，達(dá)到原長度，此時(shí)左腿離地，機(jī)器人進(jìn)入右腿SS階段。當(dāng)?shù)竭_(dá)下一個VLO時(shí)，一個周期步態(tài)結(jié)束。

圖2 雙足機(jī)器人的運(yùn)動過程Fig. 2 Locomotion process of the biped robot

由此可得，從SS切換到DS的條件是

DS切換為SS的條件為

其中，Li是后支撐腿的長度。

1.2 系統(tǒng)動力學(xué)

利用拉格朗日方程建立VL-TSLIP-SL模型的動力學(xué)方程。拉格朗日函數(shù)為

其中，K為系統(tǒng)的動能，P為系統(tǒng)的勢能。

動力學(xué)方程為

其中n為系統(tǒng)的自由度，qi為系統(tǒng)的變量，F(xiàn)i為作用于系統(tǒng)的廣義力。

1.2.1 單支撐階段的動力學(xué)方程

SS階段的簡化模型如圖3所示。右腿(藍(lán)色)是擺動腿，長度為L0，與法線夾角為β，因?yàn)樵诖穗A段不需要對右腿進(jìn)行變長度控制，所以假設(shè)為剛性腿。在這個階段，可控腿長度u1，力矩τ1和τ2是控制髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，軀干姿態(tài)角和擺動腿夾角的控制輸入，系統(tǒng)狀態(tài)變量為(x,y,α,β)T=:qSS∈QSS，其中α和β的方向定義為順時(shí)針。

圖3 SS階段的簡化模型Fig. 3 Simplified model during the SS

首先計(jì)算雙足機(jī)器人系統(tǒng)的動能K和勢能P，則拉格朗日函數(shù)L可表示為

其中g(shù)是重力加速度。

其次，將式(3)代入式(2)，則SS階段的動力學(xué)方程為

最后，根據(jù)虛功原理，計(jì)算廣義力得

則動力學(xué)方程用矩陣形式可表示為

其中

1.2.2 雙支撐階段的動力學(xué)方程

DS階段的簡化模型如圖4所示。此時(shí)雙腿接觸地面，由于右腿與法線夾角β可以通過髖關(guān)節(jié)位置和腳觸地點(diǎn)計(jì)算得到，因此系統(tǒng)的狀態(tài)變量為(x,y,α)T=:qDS∈QDS。在這個階段中，可控腿長度u1，u2和力矩τ1是控制髖關(guān)節(jié)運(yùn)動和軀0<干y姿≤態(tài)L0角sin的θ}輸 入。其 中：QDS={qDS∈QDS|

圖4 DS階段的簡化模型Fig. 4 Simplified model of the biped robot during the DS

采用與SS階段相同的推導(dǎo)方法，得到DS階段的動力學(xué)方程

其中

其中L2為右腿的長度，a為步長，a=x+L0cosθ。

由式(9)和式(10)可知，系統(tǒng)在SS階段為欠驅(qū)動模型，在DS階段為全驅(qū)動模型，但總的來說，系統(tǒng)是欠驅(qū)動系統(tǒng)。

1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式

為了便于后續(xù)的反饋線性化控制器的設(shè)計(jì)，將動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間表達(dá)式。在SS階段，通過引入

式(9)的等效狀態(tài)方程為

其中

為了簡潔起見，省略參數(shù)zSS，則SS階段的狀態(tài)方程可以簡寫為

類似地，在DS階段，通過引入

可得

其中，

同理，DS階段的狀態(tài)方程可以簡寫為

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 問題陳述

在本節(jié)中，我們提出了三個需要完成的任務(wù)：(a) 跟蹤髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)的期望高度y?(x) 和期望水平速度(x) ；(b) 跟蹤SS階段擺動腿運(yùn)動的參考軌跡β?(x) ；(c) 保持軀干直立。

由于水平位置x隨時(shí)間單調(diào)遞增，因此這里采用x替代時(shí)間t作為自變量，即采用空間軌跡方式。定義

期望軌跡可以表示為

為了避免符號混亂，省略函數(shù)參數(shù)z1。定義控制目標(biāo)的誤差函數(shù)為

由于系統(tǒng)在SS階段處于欠驅(qū)動狀態(tài)，所以水平方向速度誤差ev在SS階段是不受控制的。在DS階段，兩腳都與地面接觸，所以誤差eβ不需要控制。

控制的目標(biāo)是使誤差盡可能地收斂到0的鄰域，即

其中εp，εα，εβ和εv為大于0的足夠小的數(shù)。

2.2 反饋線性化控制

在本節(jié)中，通過反饋線性化方法來控制腿部長度和髖關(guān)節(jié)力矩，使機(jī)器人的行走能夠穩(wěn)定到期望的步態(tài)。

2.2.1 單支撐階段

在SS階段，控制變量為髖關(guān)節(jié)高度軌跡y，軀干姿態(tài)角α，擺動腿夾角β。則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

為了將該非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)線性形式，首先需要確定誤差的關(guān)系度γSS={γp,γα,γβ}。對于位置誤差

其中Lgτ1Lfep=0 ，Lgτ2Lfep=0 ，Lg1Lfep=0 。

所以關(guān)系度γp=2 ，同理可得γα和γβ的關(guān)系度也為2。因此，在SS階段中，誤差的關(guān)系度γSS={γp,γα,γβ}={2,2,2}。

根據(jù)反饋線性化原理，可得

其中

由于ASS是可逆的，所以反饋控制律定義為

其中v1,v2和v3是新的控制輸入。本文采用比例微分控制

因此

根據(jù)式（18）和式（21）可得，誤差動力學(xué)方程為

其中kdτ1s，kpτ1s，kdτ2s，kpτ2s，kDS和kps為可調(diào)控制器系數(shù)。

2.2.2 雙支撐階段

在DS階段，控制變量為髖關(guān)節(jié)高度y，軀干姿態(tài)角α和前進(jìn)速度。則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

采用與SS階段相同的方法，可以得到關(guān)系度γDS={γp,γα,γv}={2,2,1}，則

其中

誤差動力學(xué)方程為

其中kdτ1d，kpτ1d，kdd，kpd和kvd是控制參數(shù)，比例微分控制用于控制髖關(guān)節(jié)高度y，軀干姿態(tài)角α，比例控制用于控制髖關(guān)節(jié)前進(jìn)速度。

3 步態(tài)切換

為了實(shí)現(xiàn)雙足機(jī)器人能在不同的自然步態(tài)之間切換的目標(biāo)，本節(jié)給出了步態(tài)切換的優(yōu)化準(zhǔn)則和切換策略。

3.1 生成所需的行走步態(tài)

文獻(xiàn)[5]表明，在合適的初始條件和系統(tǒng)參數(shù)下，SLIP模型的行走表現(xiàn)為一種穩(wěn)定的被動極限環(huán)步態(tài)，稱為自然步態(tài)。在SLIP模型中，假設(shè)腿是無質(zhì)量的彈簧腿，行走時(shí)沒有能量損失，因此，機(jī)器人不需要額外的能量來維持穩(wěn)定的步態(tài)。本文將該理想SLIP模型作為VL-TSLIP-SL模型的參考模型，將其髖關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡作為VLTSLIP-SL模型的期望軌跡。這樣做的理由是：如果系統(tǒng)能收斂到該期望軌跡，則所提的控制策略是節(jié)能的。一般情況下，對于SLIP模型來說，很難找到解析解[22]，因此我們采用傅里葉級數(shù)展開式來擬合期望的自然步態(tài)，但自然步態(tài)與參考步態(tài)之間的微小不匹配是不可避免的。

3.2 步態(tài)切換的優(yōu)化準(zhǔn)則

在SLIP模型中，當(dāng)(θ,k0) 值相等時(shí)，給定兩個不同的初始前進(jìn)速度，可以生成兩個不同的自然步態(tài) Σi和 Σj，本文要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)是雙足機(jī)器人能從 Σi切換到 Σj?？梢杂米兞縳來確定從一種步態(tài)到另一種步態(tài)的準(zhǔn)確過渡點(diǎn)。因此，在步 態(tài) Σi和 Σj中 需 要 考 慮 兩 點(diǎn)，即 Σi中 執(zhí) 行 切換的點(diǎn)xi和切換到 Σj中的點(diǎn)xj。目標(biāo)是找到一個最優(yōu)組合(xi,opt,xj,opt) 使準(zhǔn)則J最小化。

優(yōu)化準(zhǔn)則J(xi,xj) 定義為

其中，μ1，μ2，μ3為權(quán)重。優(yōu)化準(zhǔn)則J除了包含變量和外，髖關(guān)節(jié)高度y也包括在內(nèi)，這樣有利于在兩個步態(tài)軌跡接近的點(diǎn)進(jìn)行切換，這樣得到的高度位置誤差將更小。

通過使準(zhǔn)則J相對于xi和xj最小化，可得最優(yōu)切換點(diǎn)，即

一旦達(dá)到當(dāng)前步態(tài)的最優(yōu)切換點(diǎn)，系統(tǒng)就可以切換到新的步態(tài)。值得注意的是，xi,opt和xj,opt應(yīng)該對齊，以保證雙足機(jī)器人可以從步態(tài) Σi的最優(yōu)點(diǎn)切換到步態(tài) Σj的最優(yōu)點(diǎn)。

3.3 切換策略

如圖5所示，如果雙足機(jī)器人處于當(dāng)前步態(tài)的SS階段，則可以切換到新的步態(tài)的SS階段，反之亦然。但從步態(tài) Σi的DS階段到步態(tài) Σj的SS階段(或反之)的切換是無效的，因?yàn)樵谶@種情況下，當(dāng)控制器控制切換步態(tài)時(shí)，機(jī)器人的腳需要騰空離地，這顯然是不可行的。

圖5 狀態(tài)切換Fig. 5 State transitions

考慮到機(jī)器人整體為欠驅(qū)動系統(tǒng)，前進(jìn)速度僅在DS階段進(jìn)行控制，所以步態(tài)切換在DS階段通過改變腿的長度和髖關(guān)節(jié)力矩來實(shí)現(xiàn)。其基本原理是：步態(tài)的切換可以被認(rèn)為是對系統(tǒng)的一個擾動，系統(tǒng)可以通過閉環(huán)調(diào)整控制輸入來抑制此擾動。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提的控制器對雙足機(jī)器人控制的有效性，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行了仿真分析，系統(tǒng)參數(shù)和初始條件如表1所示。首先，從理想SLIP模型中得到期望的自然步態(tài)，分別用二階和六階傅里葉級數(shù)擬合得到參考軌跡z2?和z5?。軀干的期望角度z3?=0 ，擺動腿期望軌跡設(shè)計(jì)為

表1 系統(tǒng)參數(shù)和初始條件Table 1 System parameters and initial conditions

其中b1=b2=0.24 。取單支撐階段的控制參數(shù)為kdτ1s=100 ，kdτ2s=50 ，kpτ1s=100 ，kpτ2s=100 ，kps=100 ，kDS=50 ，雙支撐階段的控制參 數(shù) 為kpτ1d=50 ，kdτ1d=100 ，kpd=100 ，kdd=50 ，kvd=100 。系統(tǒng)仿真20步，運(yùn)行情況如下。

4.1 步態(tài)分析

圖6給出的是髖關(guān)節(jié)高度y，軀干姿態(tài)角α和擺動腿夾角β的軌跡圖。可以看出，所提出的控制器能夠維持穩(wěn)定的周期步態(tài)，并保持軀干直立。從圖中可以看出：由于SLIP模型動力學(xué)是受彈性力作用的二階系統(tǒng)，穩(wěn)定自然步態(tài)的解是周期的，因此髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡也呈現(xiàn)周期性變化趨勢。從圖7中可以看出，得到的誤差曲線收斂于零的鄰域，在DS階段，因?yàn)閿[動腿角度β在此階段沒有定義，所以eβ≡0 。此外，如前所述，系統(tǒng)在SS階段處于欠驅(qū)動狀態(tài)，僅在DS階段控制水平速度，因此，誤差ev在DS階段趨于零，而在單支撐階段，存在一定的誤差。

圖6 髖關(guān)節(jié)高度、軀干姿態(tài)角和擺動腿夾角軌跡Fig. 6 Hip trajectories, the torso angle, and the swing leg orientation

圖7 穩(wěn)態(tài)誤差Fig. 7 Error functions in steady state

圖8給出了穩(wěn)定狀態(tài)下的控制輸入變化曲線，灰色部分為DS階段。黑色虛線對應(yīng)腿原長度(L=1 m)。理想的SLIP參考模型可以在沒有任何控制輸入的情況下(即u1=u2=0 )維持穩(wěn)定的步態(tài)。本文提出的VL-TSLIP-SL模型包括軀干姿態(tài)和擺動腿控制，這些非理想動態(tài)都被認(rèn)為是系統(tǒng)的外部擾動，因此需要較大的控制輸入來抑制這些擾動，在圖8中可以清楚地看到控制輸入隨著機(jī)器人的行走做出的變化，由于擺動腿夾角β在DS階段沒有定義，所以在DS階段τ2≡0 。另外，由于在行走的過程中，左右腿交替作為擺動腿，所以在SS階段，控制輸入 u1和u2交替為零。

圖8 穩(wěn)態(tài)控制輸入Fig. 8 Control inputs in steady state

系統(tǒng)的能量曲線如圖9所示，其中虛線為理想SLIP模型的能量水平。可以看出，總能量在SLIP模型的能量水平上波動。一方面原因是控制器作用在軀干和擺動腿上，需要消耗能量；另一方面原因是期望軌跡由傅里葉級數(shù)擬合而來，存在著一定的偏差。因此，實(shí)際上能量水平不是恒值，存在一定的波動。

圖9 能量曲線Fig. 9 Energy curves

4.2 步態(tài)切換

在本節(jié)中，給定步態(tài)1平均速度為1.1 m/s，步態(tài)2平均速度為1.31 m/s。圖10給出的是這兩個自然步態(tài)在一步內(nèi)的髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡。設(shè)定權(quán)重 { μ1,μ2,μ3}={15,2,5} ，通過計(jì)算準(zhǔn)則J，可以得到最優(yōu)切換點(diǎn)( x1,opt,x2,opt)=(0.3244,0.3258) ，如圖10中的實(shí)點(diǎn)所示。

圖10 兩種自然步態(tài)在一步內(nèi)的髖關(guān)節(jié)軌跡Fig. 10 Hip trajectories of two natural gaits during asingle step

假定機(jī)器人以步態(tài)1開始行走，在1 m時(shí)切換到步態(tài)2，然后在4.84 m時(shí)切換回步態(tài)1。經(jīng)計(jì)算，最優(yōu)切換距離圖11給出了步態(tài)切換過程中的髖關(guān)節(jié)軌跡和水平速度軌跡，藍(lán)色虛線表示發(fā)出切換命令點(diǎn)，綠色虛線表示最優(yōu)切換點(diǎn)?？梢钥闯?，系統(tǒng)在1.472 m(第一條綠色虛線)從步態(tài)1切換到步態(tài)2，在5.337 m (第二條綠色虛線)從步態(tài)2切換回步態(tài)1。

圖11 步態(tài)轉(zhuǎn)換的髖關(guān)節(jié)軌跡Fig. 11 The hip trajectory for gait transition

圖12給出了系統(tǒng)的髖關(guān)節(jié)軌跡與自然參考步態(tài)的比較?？梢钥闯觯到y(tǒng)軌跡在三步內(nèi)便能收斂到新的步態(tài)，我們發(fā)現(xiàn)，由于腿變長度的控制，機(jī)器人在步態(tài)切換時(shí)，伸縮腿得到調(diào)整，以維持髖關(guān)節(jié)的初始高度保持不變。圖13和圖14給出的是誤差函數(shù)和控制輸入。如第3節(jié)所述，步態(tài)切換被看作是一種施加在系統(tǒng)上的外部擾動?？梢钥闯?，通過調(diào)整腿部長度和髖關(guān)節(jié)的力矩，可以迅速抑制切換到新步態(tài)時(shí)引起的擾動。經(jīng)過一段時(shí)間后，系統(tǒng)穩(wěn)定到一個新的步態(tài)，誤差收斂到零的鄰域。

圖12 髖關(guān)節(jié)軌跡與參考步態(tài)的對比Fig. 12 The hip trajectory compared with the gait references

圖13 誤差函數(shù)Fig. 13 Error functions

圖14 控制輸入Fig. 14 Control inputs

由圖15的系統(tǒng)能量變化圖可以看出，系統(tǒng)從步態(tài)1切換到步態(tài)2后總能量增加，包括動能和彈性勢能的增加，由于變長度控制器的作用，并未引起髖關(guān)節(jié)高度的較大變化，因此，系統(tǒng)的重力勢能維持穩(wěn)定的變化規(guī)律。當(dāng)系統(tǒng)從步態(tài)2切換回步態(tài)1時(shí)，系統(tǒng)的能量變化回到步態(tài)1的能量水平。

圖15 能量變化圖Fig. 15 Energy curves

圖16 給出了步態(tài)切換過程中的極限環(huán)。系統(tǒng)以步態(tài)1啟動。在第21步切換到步態(tài)2，然后在第41步切換回步態(tài)1?？梢郧宄乜吹?，機(jī)器人的相位軌跡在兩個極限環(huán)之間切換，特別是在步態(tài)切換后，系統(tǒng)依然可以形成穩(wěn)定的極限環(huán)，總的來說，該系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

圖16 步態(tài)切換極限環(huán)Fig. 16 Limit cycles for gait transition

5 結(jié)論

本文提出了VL-TSLIP-SL模型，該模型由一個髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)、一個剛性軀干和兩條柔性腿組成，每條腿的末端都有一個腳質(zhì)量。本模型包含了軀干姿勢控制和擺動腿動力學(xué)。針對機(jī)器人模型高度非線性的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了反饋線性化控制器來跟蹤髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)的期望軌跡，以及調(diào)節(jié)軀干和擺動腿的姿態(tài)。將理想的SLIP模型作為參考，并將其髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡作為目標(biāo)軌跡，從而實(shí)現(xiàn)了能量的高效控制?；趦?yōu)化準(zhǔn)則的最小化原則，提出了通過控制腿部長度和髖關(guān)節(jié)力矩來實(shí)現(xiàn)步態(tài)切換的控制策略。該方法實(shí)現(xiàn)了行走過程中的步態(tài)切換和前進(jìn)速度的改變。實(shí)際上，控制器之所以能夠調(diào)節(jié)軀干和擺動腿姿態(tài)并進(jìn)行步態(tài)切換，是因?yàn)檫@些非理想動力學(xué)都被認(rèn)為是外部擾動，閉環(huán)系統(tǒng)可以通過調(diào)節(jié)控制輸入來抑制這些擾動。仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)能夠在3步內(nèi)跟蹤期望步態(tài)，并實(shí)現(xiàn)步態(tài)切換。在本文理論研究和仿真實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行硬件實(shí)驗(yàn)平臺的驗(yàn)證是需要進(jìn)一步研究的課題。