潘 蕾，沈中華，劉祥恩，闞威威

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094)

雙層板狀材料具有剛度大、沖擊性能好、成本低等優(yōu)點(diǎn)，在建筑、汽車制造、航空航天、壓力容器制造及鍍膜等行業(yè)都有非常廣泛的應(yīng)用，如表面帶涂層的渦輪葉片、飛機(jī)多層黏合材料或搭接材料等。板狀材料的厚度是該結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，因此對其厚度進(jìn)行表征尤為重要。

超聲波測量方法具有對被測結(jié)構(gòu)要求低、空間分辨率高、受測試環(huán)境影響小、對人體無害等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于物體厚度的測量。目前，常用的超聲波測量方法有脈沖回波法、表面波法和Lamb波法。脈沖回波法通過測量超聲脈沖在樣品中的傳播時間，然后根據(jù)傳播速度求得樣品厚度。但該法通常會在測量的樣品厚度為波長量級時達(dá)到極限，被測樣品上、下表面、交界面處的反射回波混疊在一起，導(dǎo)致無法計(jì)算層厚[1-2]。黃巧盛等[3]針對三層結(jié)構(gòu)測量中的回波混疊問題，采用RLS自適應(yīng)濾波算法處理提取下界面回波信號，成功測量了0.15，0.17，0.19，0.21 mm等4種硅橡膠層的厚度，最大誤差為3.5%。KRUGER等[4]通過在TiN膜表面處激發(fā)出表面波，測量薄膜的厚度，測量誤差為3%。XIAO等[5]通過研究薄膜厚度對聲表面波頻散現(xiàn)象的影響，提出了一種基于理論和試驗(yàn)色散曲線的厚度計(jì)算方法，測得SiO2膜厚度的相對誤差最大為2.18%，但該方法只適用于測量層厚較厚(大于波長量級)的雙層結(jié)構(gòu)；對于兩層都很薄的雙層板，可采用Lamb波法，Lamb波法通常利用Lamb波在頻域上產(chǎn)生的尖銳明顯的共振峰信號來測量厚度[6-7]。GRUENSTEIDL等[8]提出了一種利用零群速度Lamb波同時確定各向同性板厚度及縱向和剪切彈性波速度的方法，厚度測量誤差為1.7%。CHO等[9]將其應(yīng)用于多層結(jié)構(gòu)中幾十毫米厚的中間層厚度測量，各模態(tài)零群速度頻率隨連接層厚度增加而單調(diào)下降，對厚度的測量誤差在微米量級。Lamb波群速度共振法雖能很好地對雙層薄板進(jìn)行測量，但在試驗(yàn)中不易觀察到明顯的共振現(xiàn)象。

因此，需要一種當(dāng)雙層薄板各層厚度在波長量級甚至小于波長時，也能夠很好地測量各層厚度的方法以解決上述問題。筆者提出了一種基于超聲Lamb波截止頻率測量雙層薄板各層厚度的方法，理論推導(dǎo)了雙層薄板Lamb波截止頻率與兩板厚度比的關(guān)系。以雙層薄板(非鋁/鋁)為研究對象，理論計(jì)算了不同厚度比的雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率，得到A1模態(tài)截止頻率隨厚度比變化的曲線，并分析了非鋁板橫波速度對其變化的影響。

1 雙層薄板Lamb波截止頻率的理論研究

Lamb波是一種板波，橫波分量和縱波分量在雙層板狀材料中傳播時，在上下邊界和交界面處會發(fā)生反射，且縱波與橫波間會發(fā)生模式轉(zhuǎn)換，形成Lamb波[10-11]。Lamb波具有衰減小、傳播距離遠(yuǎn)、信號強(qiáng)、多模態(tài)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于薄板材料的無損檢測與缺陷評估中。

為了簡化分析，假定雙層薄板各層都是各向同性的，薄板在x和y方向上無限均勻延伸，在z方向上有限，交界面與兩自由表面平行，雙層板的幾何描述如圖1所示。其中兩板的縱波速度為cLi；橫波速度為cTi；厚度為hi；密度為ρi，i(i=1，2)表示層數(shù)；d為兩板總厚度。

圖1 雙層板的幾何描述示意

通常采用Helmholtz分解法求解運(yùn)動方程[12]，每一層得到兩個獨(dú)立的波動方程，即

(1)

(2)

式中：φi為縱波；ψi為橫波勢函數(shù)。

φi=[AiLcos(piz)+BiLsin(piz)]exp[i(kx-ωt)]

(3)

ψi=[AiTcos(qiz)+BiTsin(qiz)]exp[i(kx-ωt)]

(4)

切向位移ux和法向位移uz滿足

(5)

切向應(yīng)力σxz和法向應(yīng)力σzz滿足

(6)

式中：λ和μ為拉梅常數(shù)。

在兩板的自由表面處(z=-h2和z=h1)應(yīng)力都為零；在交界面處(z=0)，位移和應(yīng)力連續(xù)。所有表達(dá)式略去exp[i(kx-ωt)]項(xiàng)，方程組有非平凡解則令系數(shù)矩陣行列式為零，得到波數(shù)k和頻率f的關(guān)系。

厚度共振響應(yīng)表現(xiàn)為k=0，f≠0的點(diǎn)處，此時頻率f為截止頻率，表示為fc，代入到值為零的行列式中，得到

(7)

當(dāng)固定雙層薄板總厚度和其中一層材料參數(shù)時，Lamb波截止頻率與兩板厚度比和另一層材料的性質(zhì)有關(guān)，分析時用橫波速度來描述材料性質(zhì)。下面以總厚度1 mm的雙層薄板(非鋁/鋁)為研究對象，計(jì)算不同厚度比的雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率，得到A1模態(tài)截止頻率隨厚度比變化的曲線，分析非鋁板橫波速度對其變化的影響。

2 雙層薄板Lamb波截止頻率的計(jì)算

對雙層薄板Lamb波截止頻率進(jìn)行理論計(jì)算，計(jì)算時固定薄板總厚度為1 mm，第一層材料為鋁，改變第二層材料和兩板厚度比，厚度比r為鋁板厚度與非鋁板厚度的比值。為了系統(tǒng)地研究不同材料性質(zhì)對雙層薄板Lamb波截止頻率的影響，設(shè)定m為非鋁板橫波速度與鋁板橫波速度的比值。筆者分別選取橫波速度比鋁的橫波速度小很多(0.2≤m≤0.6)、相對接近(0.6

表1 理論計(jì)算時使用的材料及其物理參數(shù)

以表1中材料組成的非鋁/鋁雙層薄板為研究對象，其總厚度為1 mm，改變兩板厚度比r，r的變化范圍為[1/9，9]。研究時取Lamb波A1模態(tài)截止頻率，計(jì)算不同厚度比對應(yīng)的截止頻率，作出其隨厚度比變化的曲線，根據(jù)變化規(guī)律將m分成4種情況：0.2≤m≤0.6；0.6

由圖2可見，當(dāng)厚度比趨近于9時， A1模態(tài)截止頻率逐漸趨近于1 mm鋁單板A1模態(tài)截止頻率；當(dāng)厚度比趨近于1/9時，截止頻率逐漸趨近于1 mm非鋁單板A1模態(tài)截止頻率。

圖2 m不同時雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率隨厚度比的變化曲線

如圖2(a)所示，當(dāng)0.2≤m≤0.6時，非鋁板與鋁材料性質(zhì)差別很大。雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率隨厚度比單調(diào)遞增或除某一段區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)截止頻率平臺外單調(diào)遞增?？梢郧逦乜闯鲢U/鋁雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率在[1/9，9]內(nèi)單調(diào)遞增，截止頻率與厚度比一一對應(yīng)，當(dāng)試驗(yàn)測得A1模態(tài)截止頻率時，可以在曲線上找到唯一的厚度比，從而求出薄板各層厚度；而金/鋁和銀/鋁雙層薄板A1模態(tài)截止頻率分別在r為2.4和1.9時出現(xiàn)略微下降，后趨于平緩，截止頻率分別在1.08 MHz和1.18 MHz左右出現(xiàn)平臺，也就是說當(dāng)測得截止頻率在這兩個值附近時，無法區(qū)分厚度比，測量誤差較大，而在其他頻率處測量薄層厚度是可行的。

如圖2(b)所示，當(dāng)0.6

如圖2(c)所示，當(dāng)0.9≤m≤1.1時，即非鋁板與鋁材料性質(zhì)相近，雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率同樣隨厚度比先增加后降低再增加，但與上一種情況不同的是，截止頻率會超出1 mm鋁單板A1模態(tài)截止頻率與1 mm非鋁單板A1模態(tài)截止頻率的范圍。同樣地，在該區(qū)間內(nèi)需要更高階截止頻率來確定唯一的厚度比。

如圖2(d)所示，當(dāng)m很大(m=1.99)時，曲線趨勢與m在1附近時類似。由于m很大，氮化硅與鋁材料性質(zhì)差別很大，1 mm氮化硅板A1模態(tài)截止頻率是1 mm鋁板的m倍，相差很大。曲線上兩個峰值頻率對應(yīng)的厚度比在計(jì)算區(qū)間的兩個端點(diǎn)附近，所以氮化硅/鋁雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率在大的厚度比區(qū)間[1/9，7]內(nèi)單調(diào)遞減，非常適合測雙層薄板各層厚度；當(dāng)r大于7時，截止頻率開始緩慢遞增，在1.54 MHz處出現(xiàn)平臺，導(dǎo)致在[7，9]區(qū)間內(nèi)無法區(qū)分厚度比，又由于該區(qū)間厚度比都很大，試驗(yàn)測量時并不會出現(xiàn)較大誤差。

3 結(jié)語

筆者利用Lamb波A1模態(tài)在截止頻率處產(chǎn)生的厚度共振，對雙層薄板各層厚度進(jìn)行表征，理論推導(dǎo)出了雙層薄板截止頻率與兩板厚度比之間的關(guān)系。理論計(jì)算時以總厚度1 mm的非鋁/鋁雙層薄板為研究對象，計(jì)算不同厚度比的雙層薄板Lamb波A1模態(tài)截止頻率，得到了截止頻率隨厚度比變化的曲線，發(fā)現(xiàn)非鋁板橫波速度對變化曲線有著重要的影響。當(dāng)兩種材料橫波速度相差很大時，用Lamb波A1模態(tài)截止頻率測量厚度是可行的；當(dāng)橫波速度相差相對較小時，則需要更高階截止頻率來確定唯一的厚度比，來得到雙層薄板各層厚度。

筆者通過雙層薄板Lamb波厚度共振的激發(fā)探測試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性，試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)截止頻率隨厚度曲線上同一截止頻率對應(yīng)多個厚度比時，需要求得更高階截止頻率與厚度比的變化曲線，并排除不期望的厚度比。